人教版七年级下册第五章 相交线与平行线5.1 相交线5.1.2 垂线综合训练题

第02讲 与垂线有关的计算（原卷版）

第一部分  专题典例剖析+针对训练

专题1 运用垂直的定义进行计算

典例1 如图10-1-8，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠COE＝55°，则∠BOD的度数是（     ）．

A．40°  B．45°  C．30°  D．35°

典例2 如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝40°，EO⊥CD，垂足为点O．求∠DOB，∠BOE的度数．

典例3 如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON＝21°，求∠AOM的度数．

针对训练1

1．如图，AC⊥BC，直线EF经过点C，若∠1＝37°，则∠2的度数是 　   　．

第1题图

2． 如图，直线AB、EF相交于点O，OC⊥AB，∠DOE＝2∠AOE，∠BOF＝33°，则∠AOD＝__________，∠DOC＝__________，∠COE＝__________，∠DOF＝__________．

3．如图，已知直线AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，∠DOE＝127°，求∠AOF．

专题2 运用方程思想进行计算

典例4 如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD∶∠BOE＝4∶1，求∠AOF的度数．

典例5 （2021秋•韶关期末）如图1，点O是直线AB上的一点，CO⊥DO，OE平分∠BOC．

（1）如图1，若∠AOC＝50°，求∠DOE的度数．

（2）如图2，若∠COE＝∠DOB，求∠AOC的度数．

针对训练2

4． 如图，AO⊥BO，CO⊥DO，∠AOC∶∠BOC＝1∶5，则∠BOD＝（     ）

 A．105°   B．112.5°   C．135°   D．157.5°

5．如图，AB、CD、EF相交于点O，EF⊥AB，OG、OH分别为∠COF、∠DOG的平分线，若∠AOC：∠COG＝4：7，求∠DOF．

6．（2021春•武昌区期中）如图，直线MD、CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD内的一条射线，∠MON＝70°．

（1）若∠BOD∠COD，求∠BON的度数；

（2）若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度数．

专题3 先计算再证明垂直

典例7 （2021春•海安市月考）如图，已知∠1＝142°，∠ACB＝38°，CD平分∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H．

（1）问AB与CD是否垂直？并说明理由．

（2）求∠ADE．

典例8（2021春•秦都区月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠BOE，∠DOF＝25°，∠AOC＝40°，OE与CD垂直吗？为什么？

针对训练3

7．如图，点O是直线AB上一点，∠AOC＝40°，OD平分∠AOC，∠COE＝70°．

（1）请你说明DO⊥OE；

（2）OE平分∠BOC吗？为什么？

8．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝28°，∠BOF＝59°，OF平分∠DOE，OE与AB垂直吗？为什么？

第二部分 专题提优训练

1．如图，直线BC，DE相交于点O，AO⊥BC，OM平分∠BOD，如果∠AOE＝50°，那么∠BOM的度数是 　   　．

2．（2021秋•盱眙县期末）如图，直线AB与直线MN相交，交点为O，OC⊥AB，OA平分∠MOD，若∠BON＝25°，求∠COD的度数．

3．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥OD．

（1）若∠AOC＝60°，求∠EOF的度数．

（2）画OE的反向延长线OG，OG是∠AOC的平分线吗？请说明理由．

4．（2021秋•宁波期末）如图，OA⊥OB，∠COD＝60°．

（1）若OC平分∠AOD，求∠BOC的度数．

（2）若∠BOC＝∠AOD，求∠AOD的度数．

5．（2021秋•滨江区期末）如图，OC⊥AB于点O，∠COD＝∠BOD，OE平分∠BOD．

（1）求∠COE和∠AOE的度数．

（2）过点O作射线OF，若OF⊥OE，求∠BOF的度数．

6．如图，直线AB交CD于点O，由点O引射线OG、OE、OF，使OC平分∠EOG，∠AOG＝∠FOE，∠BOD＝56°，求∠FOC．

．

7．（2021秋•西山区期末）如图，已知点O为直线AB上的一点，OM平分∠AOC，∠AOC＝80°，CO⊥OD．

（1）求∠MOD的度数；

（2）若∠BOP与∠AOM互余，求∠DOP的度数．

8．（2021秋•香坊区期末）已知，直线AB、CD交于点O，EO⊥AB，∠EOC：∠BOD＝7：11．

（1）如图1，求∠DOE的度数；

（2）如图2，过点O画出直线CD的垂线MN，请直接写出图中所有度数为125°的角．

9．（2021秋•淮阴区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，射线OF平分∠AOC，∠AOF＝25°．

求：（1）∠BOD的度数；

（2）∠COE的度数．

10．（2020秋•盱眙县期末）如图，点O在直线AB上，OC．OD是两条射线，OC⊥OD，射线OE平分∠BOC．

（1）若∠DOE＝140°，求∠AOC的度数．

（2）若∠DOE＝α，则∠AOC＝　     　（ 请用含α的代数式表示）．

11．（2021秋•南岗区校级期中）如图，AB、CD交于点O，OE⊥AB，且OC平分∠AOE，过O点作射线OF，且∠DOF＝4∠AOF，求∠FOC的度数．

12．（2021春•舞钢市期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系．

（1）如图1，AB⊥DE，BC⊥EF．∠1与∠2的数量关系是：　 　．

（2）如图2，AB⊥DE，BC⊥EF．∠1与∠2的数量关系是：　 　．说明理由．

（3）由（1）（2）你得出的结论是：如果 　 　，那么 　 　．

（4）若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的3倍少40°，则求这两个角度数．

13．如图，射线OC、OD把∠AOB分成三个角，且度数之比是∠AOC：∠COD：∠DOB＝2：3：4，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD．

（1）若∠AOB＝144°，求∠COM的度数；

（2）若OM⊥ON，求∠COD的度数．

14．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．

（1）若∠1＝40°，求∠BOD的度数；

（2）如果∠1＝∠2，那么ON与CD互相垂直吗？为什么？

15．（2021秋•鄞州区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC．

【基础尝试】

（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；

【画图探究】

（2）作射线OF⊥OC，设∠AOC＝x°，请你利用图2画出图形，探究∠AOC与∠EOF之间的关系，结果用含x的代数式表示∠EOF．

【拓展运用】

（3）在第（2）题中，∠EOF可能和∠DOE互补吗？请你作出判断并说明理由．