初中数学人教版七年级下册第六章 实数综合与测试精练

这是一份初中数学人教版七年级下册第六章 实数综合与测试精练，文件包含第07讲实数中蕴含的数学思想及实数大小比较技巧解析版-2021-2022学年七年级数学下册常考点数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升docx、第07讲实数中蕴含的数学思想及实数大小比较技巧原卷版-2021-2022学年七年级数学下册常考点数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
专题1特殊到一般的思想
专题解读：各种特殊情形往往包含着一般性的规律，我们常常通过研究特殊情形时问题的答案或解法，然后猜想、归纳出一般性的规律，并把这个规律运用到一般情形．例如我们通过研究一些正数、0、负数的平方根或立方根，从而归纳、总结出平方根、立方根的性质．
典例1 请你观察下列计算过程：因为112=121，所以=11；用样，因为1112=12321，所以=111；…；由此猜想=________．
思路引领：观察被开方数121、12321、…，这些数字都是从两头1开始，往中间依次递增的对称型数字；而121=112，12321=1112，…这就是说121，12321…，这些数的算术平方根分别是11，111，…，这些算术平方根全部由1组成，1的个数与被开方数中从两头到中间的位数一样．根据这个规律，可以猜想12345678987654321=1111111112，所以=111111111．
答案：111111111．
点睛：本题考查数字规律问题，考查学生观察推测能力．
针对训练1
1．观察下面的式子：1+13=213，2+14=314，3+15=415⋯请你将猜想到的规律用含正整数n（n＞1）的式子表示出来是 ．
解：由题意可知n−1+1n+1=n1n+1；
故答案为：n−1+1n+1=n1n+1
专题2 转化思想
专题解读：转化思想就是将一个待解决的问题A，转化为另一个较容易解决或已经解决的问题B，从而获得问题A的答案．转化思想是数学中的核心思想．如：求一个负数的立方根转化为求一个正数立方根的相反数，求无理数的混合运算可以通过取近似数转化为有理数的运算，比较两个同次根无理数的大小可以转化为比较两个有理数的大小．
典例2 （2021秋•信都区期中）比较大小：−13和−25．
思路引领：两个负数比较大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的反而小．可以对两个绝对值分别平方，去掉根号，比较两个有理数的大小．
解：∵|−13|=13，|−25|=25，
（13）2=13，（25）2=25，
而13＜25，
∴−13＞−25．
点睛：本题考查实数的大小比较，掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解题关键．
针对训练2
2．（2021秋•榆阳区校级月考）通过估算比较6+12与32的大小？
思路引领：先判断出6与2的大小，再把32化成2+12，从而得出6+12与32的大小．
解：∵6＞2，
∴6+12＞2+12，
∴6+12＞32．
点睛：此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是比较出6与2的大小．
专题3 分类思想
专题解读：当一个问题包含有多种情形时，需要逐一讨论，然后汇总得出问题的答案．如在本章中对实数进行分类时，如果按不同的标准，就有不同的分类方法．
实数， 实数．
典例3 求方程(x－3)2＝9中x的值．
解：两边开平方得x－3=±3，
①当x－3=3时，解得x=12；
②当x－3=－3时，解得x=0．
∴x的值为0或－12．
针对训练3
3．求x的值：4（x﹣1）2＝25．
思路引领：首先根据4（x﹣1）2＝25，求出（x﹣1）2的值；然后根据平方根的含义和求法，求出x﹣1的值，进而求出x的值即可．
解：∵4（x﹣1）2＝25，
∴（x﹣1）2=254，
∴x﹣1=−52或x﹣1=52，
解得：x=−32或x=72．
专题4 数形结合思想
专题解读：“数”与“形”是对立统一的，借助于数轴，可以把抽象的无理数或实数直观地表示出来，达到“以形启数”、“以数助形”的目的．
典例4 实数a、b在数轴上的位置如图6－1所示，请化简|a＋b|＋．
图6－1
思路引领：由数轴可知，b＜－1＜0＜a＜1，
∴a＋b为负数，b－a也为负数，
解：|a＋b|＋＝|a＋b|＋|b－a|＝－(a＋b)－(b－a)＝－2b．
点睛：本题考查了实数的大小比较，数轴，绝对值，负数的平方及开方，熟练掌握绝对值的意义以及正确地判断符号是解题关键．
针对训练4
4．（2021秋•福田区校级期末）a、b、c在数轴上的位置如图所示，则：
（1）用“＜、＞、＝”填空：﹣b ＞ 0，b﹣a ＞ 0，a﹣c ＜ 0；
（2）化简：|﹣b|﹣|b﹣a|+|a﹣c|．
思路引领：（1）根据a、b、c在数轴上的位置，可得a＜b＜0＜c，即可判断；
（2）先化简每一个绝对值，然后再进行计算即可解答．
解：（1）由题意得：
a＜b＜0＜c，
∴﹣b＞0，b﹣a＞0，a﹣c＜0，
故答案为：＞，＞，＜；
（2）由（1）得：﹣b＞0，b﹣a＞0，a﹣c＜0，
∴|﹣b|﹣|b﹣a|+|a﹣c|
＝﹣b﹣（b﹣a）+c﹣a
＝﹣b﹣b+a+c﹣a
＝﹣2b+c．
5．（2021春•崇川区校级月考）已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示：
化简：3b3−a2−|b+c|+(a−b−c)2．
思路引领：本题涉及负数的平方及开方，观察数轴确定数的正负，再根据平方及开方的运算法则即可得到结果．
解：由数轴上的各点位置可判断a＜b＜0＜c，且|c|＞|b|，
可得b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，
故3b3=b，a2=−a，|b+c|＝b+c，(a−b−c)2=−（a﹣b﹣c），
所以原式＝b﹣（﹣a）﹣（b+c）﹣（a﹣b﹣c）
＝b+a﹣b﹣c﹣a+b+c
＝b．
专题5 实数的大小比较
在比较两个实数大小时候，要根据题目的特点，选用不同的方法，下面给出几种常见的比较方法．
方法一、绝对值比较法
典例5 比较－与－的大小．
解：因为|－|=， |－|=，
又因为＞，根据两个负数，绝对值大的反而小，可知－＜－．
点睛：“两个负数，绝对值大的反而小”在实数比较大小中同样使用．
方法二、求差法
典例6 当0＜x＜1时，x2,x,从小到大的顺序是 .
思路引领：因0＜x＜1,则1－x＞0,x＋1＞0故x－x2=x(1－x)＞0,
x－=＜0；所以x＞x2,x＜，即x2＜x＜.
答案：x2＜x＜．
点睛：这类问题也可以在指定的范围内找出一个特殊值来加以判断.这种方式适用于客观题.在本题中可以取0.5，计算出各个式子的值后同样可以得出相同的结论.
方法三、取近似值法
典例7 比较－和的大小．
思路引领：因为－≈－1.0308， ≈－1.0472，
故－1.0308＞－1.0472，
所以－＞．
点睛：要比较的两个数关系不明确，也找不到其中的规律时，可通过取近似值法比较大小．
方法四、平方法
典例8 比较和8的大小
思路引领：因为（）2=75，82=64，所以＞8．
点睛：两个无理数比较大小时，除了用平方法，也可以把和8变为含有根号的数，添加根号的依据是()2=a(a≥0)的逆应用．
方法五、放缩法
典例9 比较与的大小．
思路引领：因为2＜＜3，7＜，
所以＜3＋2=5， ＞7－2=5，
即＜．
点睛：放缩法应用的关键是找出合适的参考值，这一数值取决于两个被比较的实数.可以先确定每个数的范围，找这两个数的临界值，使其中一个数比参考数值大，另一个比此数值小，实现比较的目的．
针对训练5
6．（2021秋•双牌县期末）比较大小：63 72（填＞，＜，＝）．
思路引领：先比较两数的平方的大小，然后即可作出判断．
解：(63)2=108，(72)2=98，
∵108＞98，
∴63＞72．
故答案为：＞．
点睛：本题考查实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
7．（2021秋•南京期末）比较大小：3 2+1．（填“＞”、“＜”或“＝”）．
思路引领：先估算3与2的值即可判断．
解：∵1＜3＜4，
∴1＜3＜2，
∵1＜2＜4，
∴1＜2＜2，
∴2＜2+1＜3，
∴3＜2+1，
故答案为：＜．
点睛：本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练掌握平方数是解题的关键．
8．（2021秋•鼓楼区期末）比较大小：13−1 3（填“＞”、“＜”或“＝”）．
思路引领：估算出13的值即可解答．
解：∵9＜13＜16，
∴9＜13＜16，
∴3＜13＜4，
∴2＜13−1＜3，
故答案为：＜．
点睛：本题考查了实数的大小比较，熟练掌握平方数是解题的关键．
9．（2012春•淮北校级月考）规定一种新运算：a△b＝a•b﹣a+1，如3△4＝3×4﹣3+1，请比较﹣3△2与2△（﹣3）的大小．
思路引领：由于规定一种新的运算：a△b＝a×b﹣a+1，那么根据法则首先分别求出：﹣3△2 和2△（﹣3），然后比较大小即可求解．
解：∵a△b＝a×b﹣a+1，
∴（﹣3）△2=（﹣3）×2−（﹣3）+1＝4﹣32，
2△（﹣3）=2×（﹣3）−2+1＝1﹣42，
而4﹣32−（1﹣42）＝3+2＞0，
故﹣3△2大于2△（﹣3）．
点睛：此题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是首先正确理解定义的运算法则，然后根据法则计算即可加减问题．
专题提优训练
1．（2021秋•苏家屯区期末）比较大小：−2.1（ ）−32．
A．＜B．＞C．＝D．≤
思路引领：直接利用负实数比较大小的方法，进而将两数平方比较即可．
解：∵（−2.1）2＝2.1，（−32）2=94=2.25，
∴2.25＞2.1，
∴−2.1＞−32．
故选：B．
点睛：此题主要考查了实数大小比较，正确将两数平方再比较大小是解题关键．
2．（2017春•蔚县校级月考）请你观察思考下列计算过程：
∵112＝121，∴121=11．
同样：∵1112＝12321，∴12321=111．
∵11112＝1234321，∴1234321= 1111 ，
…
由此猜想：1234567654321= 1111111 ．
思路引领：首先可观察已知等式，发现规律结果中，1的个数与其中间的数字相同，由此即可写出最后结果．
解：∵112＝121，
∴121=11．
同样：∵1112＝12321，
∴12321=111．
∵11112＝1234321，
∴1234321=1111，
…
由此猜想：1234567654321=111111．．
故答案为：1111，1111111．
点睛：此题主要考查了算术平方根的应用，此题注意要善于观察已有式子得出规律，从而写出最后结果．
3．（2019春•青县期末）请阅读下列材料：
一般的，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么正数x就叫做a的算术平方根，记作a（即a=x2=x），如32＝9，3就叫做9的算术平方根．
（1）计算下列各式的值：4= 2 ，25= 5 ，100= 10 ；
（2）观察（1）中的结果，4，25，100这三个数之间存在什么关系？ 4⋅25=100 ；
（3）由（2）得出的结论猜想：a⋅b= ab （a≥0，b≥0）；
（4）根据（3）计算：2×8= 4 ，3×427= 23 ，3×6×8= 12 （写最终结果）．
思路引领：根据开方运算，可得一个正数的平方根、算术平方根．
解：（1）4=2，25=5，100=10；
（2）观察（1）中的结果，4，25，100之间存在：4⋅25=100；
（3）由（2）的猜想：a⋅b=ab（a≥0，b≥0）；
（4）根据（3）计算：
2×8=2×8=16=4，3×427=3×427=49=23，3×6×8=3×6×8=144=12．
故答案为：2，5，10；ab；4⋅25=100；4，23，12．
点睛：本题考查了算术平方根，开方运算，解题关键是注意一个正数有两个平方根，只有一个算术平方根．
4．（2019春•全椒县期中）观察下列等式：
①12−13=1223
②12(13−14)=1338
③13(14−15)=14415
④14(15−16)=15524
（1）写出第⑤个等式：15(16−17)= 16635 ；
（2）猜想：第n个等式（n≥1的自然数）是什么？并证明你的猜想．
思路引领：（1）观察等式中的规律：结果中的倍数是等号左边括号中的第一个分数，被开方数是分数，分子与倍数中的分母相同，分母是分子的平方与1的差，可得第⑤个等式，
（2）同理可得第n个等式的答案，并根据二次根式的性质进行化简．
解：（1）第⑤个等式：15(16−17)=16635；
故答案为：16635；
（2）猜想：第n个等式（n≥1的自然数）是：1n(1n+1−1n+2)=1n+1n+1(n+1)2−1，
证明：1n(1n+1−1n+2)=1n⋅n+2−n−1(n+1)(n+2)=1n(n+1)(n+2)=n+1(n+1)2(n2+2n)=1n+1n+1(n+1)2−1．
点睛：本题考查了算术平方根，发现规律，凑成公式的形式是解题关键．
5．（2017秋•宝丰县期中）利用已知算术平方根等式探究规律
①2+23=223；②3+38=338；③4+415=4415；④5+524=5524．
（1）写出分数中分母a与序号n之间的关系；
（2）猜想写出第6个等式；
（3）用字母n（n为正整数）表示上述规律．
思路引领：（1）根据观察，可发现规律，可得答案；
（2）根据规律(n+1)+n+1n2+2n=（n+1）n+1n2+2n，可得答案；
（3）根据规律(n+1)+n+1n2+2n=（n+1）n+1n2+2n，可得答案．
解：（1）观察3＝12+2×1，8＝22+2×2，15＝32+2×3，24＝42+2×4，
a＝n2+2n；
（2）第6个等式7+748=7748；
（3）用字母n（n为正整数）表示上述规律(n+1)+n+1n2+2n=（n+1）n+1n2+2n
点睛：本题考查了算术平方根，发现规律(n+1)+n+1n2+2n=（n+1）n+1n2+2n是解题关键．
6．（2021秋•东台市期末）因为31＜33＜38，即1＜33＜2，所以33的整数部分为1，小数部分为33−1．类比以上推理解答下列问题：
（1）求330的整数部分和小数部分；
（2）若m是6−3的整数部分，且（x+1）2＝m，求x的值．
思路引领：（1）用夹逼法根据无理数的估算即可得出答案；
（2）根据无理数的估算求出m的值，根据平方根的定义即可得出答案．
解：（1）∵27＜30＜64，
∴3＜330＜4，
∴330的整数部分是3，小数部分是330−3；
（2）∵1＜3＜4，
∴1＜3＜2，
∴﹣2＜−3＜−1，
∴4＜6−3＜5，
∴m＝4，
∴（x+1）2＝4，
∴x+1＝±2，
∴x＝1或﹣3．
答：x的值为1或﹣3．
点睛：本题考查了无理数的估算，平方根，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
7．（2021秋•新华区校级月考）已知|x|=5，y是3的算术平方根，根(y−x)2=x﹣y，求x+y的值．
思路引领：直接利用绝对值的性质结合算术平方根的定义分析得出答案．
解：∵(y−x)2=x﹣y，
∴x﹣y≥0，
又∵|x|=5，y是3的算术平方根，
∴x=5，y=3，
当x=5，y=3时，
∴x+y=5+3．
点睛：此题主要考查了实数的性质以及算术平方根，正确得出x，y的值是解题关键．
8．（2021春•重庆期中）（1）计算327−64+|3−2|−(1−3)；
（2）求x的值.81（x+1）2﹣4＝0．
思路引领：（1）首先计算开方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
（2）根据平方根的含义和求法，求出x的值是多少即可．
解：（1）327−64+|3−2|−(1−3)
＝3﹣8+2−3−1+3
＝﹣4．
（2）∵81（x+1）2﹣4＝0，
∴（x+1）2=481，
∴x+1＝±29，
解得：x=−119或−79．
点睛：此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
9．（2021秋•沭阳县校级月考）实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图，化简：a2+3(a+b)3−|b﹣c|．
思路引领：根据数轴上点的位置判断a，b﹣c的正负，利用二次根式性质，立方根性质，以及绝对值的代数意义化简计算即可得到结果．
解：根据数轴上点的位置得：b＜a＜0＜c，
∴b﹣c＜0，
则原式＝|a|+a+b﹣|b﹣c|
＝﹣a+a+b﹣c+b
＝2b﹣c．
点睛：此题考查了实数的运算，以及实数与数轴，弄清数轴上点的位置是解本题的关键．
10．（2021秋•西城区校级期中）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，
（1）用＜，＞，＝填空：a+c 0，c+b 0，
（2）化简：|a+c|﹣|b+a|．
思路引领：（1）利用有理数a，b，c在数轴上的位置确定a，b，c的符号以及三个数的绝对值的大小，再利用有理数的加法法则解答即可；
（2）利用（1）中的结论确定a+c与b+a的符号，再利用绝对值的意义去掉绝对值符号，合并同类项即可得出结论．
解：（1）由题意得：
a＜0，b＜0，c＞0，|a|＞|b|＞|c|，
∴a+c＜0，c+b＜0．
故答案为：＜；＜；
（2）由（1）知：a+c＜0，b+a＜0．
∴|a+c|﹣|b+a|
＝﹣（a+c）﹣[﹣（b+a）]
＝﹣a﹣c+b+a
＝b﹣c．
点睛：本题主要考查了实数大小的比较，数轴，绝对值的意义，利用理数a，b，c在数轴上的位置确定a，b，c的符号以及三个数的绝对值的大小是解题的关键．
11．（2021秋•宜州区期中）对于有理数a，b定义一种新运算“#”，规定a#b＝|a﹣b|+|a+b|，有理数a，b在数轴上的位置如图所示．
（1）用“＞”或“＜”填空：a ＞ 0，a+b ＜ 0，a﹣b ＞ 0；
（2）当a＝1，b＝﹣3时，计算a#b的值；
（3）根据a，b在数轴上的位置化简a#b；
（4）若（a#a）#a＝12，直接写出a的值．
思路引领：（1）根据数轴可以判断a、b的正负和它们绝对值的大小，从而可以解答本题；
（2）根据新运算并将a＝1，b＝﹣3代入，从而可以解答本题；
（3）根据新运算和数轴上a，b的大小，可以解答本题；
（4）根据新运算和题目中的式子可以求得a的值．
解：（1）a＞0，a+b＜0，a﹣b＞0，
故答案为：＞，＜，＞；
（2）∵a#b＝|a﹣b|+|a+b|，
当a＝1，b＝﹣3时，a#b＝|1+3|+|1﹣3|＝4+2＝6；
（3）由数轴可得，b＜0＜a，|b|＞|a|，
∴a#b
＝|a﹣b|+|a+b|
＝a﹣b﹣a﹣b
＝﹣2b；
（3）∵a＞0，（a#a）#a＝12，
∴（|a﹣a|+|a+a|）#a＝12，
∴2a#a＝12，
∴|2a﹣a|+|2a+a|＝12，
∴a+3a＝12，
∴a＝3．
点睛：本题考查有理数的混合运算和新定义的运算，解答本题的关键是明确新定义的计算方法．