2022届上海市控江中学高三下学期3月月考数学试题含解析

这是一份2022届上海市控江中学高三下学期3月月考数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届上海市控江中学高三下学期3月月考数学试题一、单选题1．下列函数中既是奇函数，又在区间上是单调递减的函数为A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意得，对于函数和函数都是非奇非偶函数，排除A、C． 又函数在区间上单调递减，在区间单调递增，排除D，故选B．2．参数方程（为参数，且）所表示的曲线是（       ）A．直线 B．圆弧 C．线段 D．双曲线的一支【答案】C【分析】根据题意，由参数方程中t的范围分析可得x、y的范围，结合参数方程消去参数可得x﹣3y＝10，结合x、y的范围分析可得答案．【详解】解：根据题意，参数方程，若0≤t≤3，则有：4≤x≤31，﹣2≤y≤7，又由参数方程，则y+2（x﹣4），即x﹣3y＝10，又由4≤x≤31，﹣2≤y≤7，则参数方程表示的是线段；故选C．【点睛】本题考查参数方程与普通方程的转化，注意消参时t的取值范围．3．将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）A．，的最小值为 B．，的最小值为C．，的最小值为 D．，的最小值为【答案】A【详解】由题意得，，可得，因为 位于函数的图象上所以，可得，s的最小值为，故选A.【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.4．已知以下三个陈述句：存在且，对任意的，均有恒成立；函数是减函数，且对任意的，都有；函数是增函数，存在，使得；用这三个陈述句组成两个命题，命题“若，则”；命题 “若，则”．关于、，以下说法正确的是（       ）A．只有命题是真命题 B．只有命题是真命题C．两个命题、都是真命题 D．两个命题、都不是真命题【答案】C【分析】取，结合函数的单调性可判断命题的真假，取，结合函数的单调性可判断命题的真假.【详解】对于命题，若成立，则当时，，，因为函数是减函数，所以，，所以，命题为真命题；对于命题，若成立，则当时，，则当时，，，所以，，所以，命题为真命题故选：C.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.二、填空题5．已知复数满足，i为虚数单位，则______【答案】【分析】设，根据复数的运算，求得，即可求得结果.【详解】设，故可得，即，故，则.故答案为：.6．双曲线的渐近线方程为________.【答案】【解析】求出双曲线的即得解.【详解】由双曲线的标准方程得，双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：7．在的二项展开式中，项的系数为______【答案】192【分析】利用二项展开式的通项公式求解.【详解】的二项展开式的通项公式为，令，得，所以项的系数为192，故答案为：1928．______【答案】【分析】化简＝，再求极限得解.【详解】＝＝＝．故答案为：9．若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为______【答案】4【分析】当方程组有无穷多解时,可得到两直线重合,则可求出,,计算即可得解.【详解】若方程组有无穷多组解，即两条直线重合,即,则故答案为：410．某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_____．【答案】【详解】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.11．若等差数列的公差3，则，，，…，的方差为______【答案】【分析】先计算，再利用方差公式求解即可.【详解】由等差数列的公差3，可知所以方差故答案为：12．三棱锥中，底面是锐角三角形，垂直平面，若其三视图中主视图和左视图如图所示，则棱的长为______【答案】【分析】根据三视图，求得的长度，再利用勾股定理即可求得.【详解】根据主视图可知，点在的投影位于的中点，不妨设其为，故可得，根据左视图可知：，则，又面面，故可得，则.故答案为：.13．设变量，满足约束条件，则的取值范围为______【答案】【分析】作出可行域，根据简单线性规划求最值即可得解.【详解】作可行域如图，联立解得，联立解得，由可得，由图形及为上的截距可知，当过A时，，当过B时，，所以，故答案为：14．如图所示在中，边上的中垂线分别交、于点、，若，，则______【答案】【分析】选取为基底，其他向量用基底表示再运算．【详解】由题意，∴，∴．故答案为：15．设是函数，的反函数，则函数的最小值等于___________．【答案】【分析】先求出的值域，从而得到的定义域，进而得到的定义域，利用与的单调性相同，分别求解即可．【详解】因为函数在，上是单调递增函数，又是函数的反函数，所以与的单调性相同，因为函数在，上的值域为，，所以函数的定义域为，，且在定义域上单调递增，因为，故，所以的最小值为．故答案为：．16．已知函数，，若存在，使得，则的最大值为______【答案】14【分析】令，原方程可化为存在，使得，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得的最大值.【详解】因为存在，使得，故存在，使得.令，，则，故，因为故，，故.故答案为：14.三、解答题17．如图，是圆锥的顶点，是底面圆的圆心，、是底面圆的两条直径，且，，，为的中点．(1)求圆锥的体积；(2)求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用圆锥的体积公式直接求解即可； （2）连接，根据位置关系可知异面直线与所成的角即为或其补角，根据线段长度即可计算出的值，即可求解出异面直线所成角的大小.【详解】(1)由已知得圆锥的底面半径为，高为所以圆锥的体积为：；(2)连接，因为为的中点，为的中点，所以且，所以异面直线与所成的角即为或其补角，因为，，，所以平面，因为平面，所以，所以，所以异面直线与所成的角的大小为：.18．已知函数.（1）若，且，求的值；（2）求函数的最小正周期及函数在上单调递减区间【答案】（1）（2）周期为，【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得f（α）的值；（2）利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性得出结论．【详解】解：（1） 因为，且,所以，所以 （2），，所以的最小正周期为当时，，再由得，，函数在上的递减区间为【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，属于中档题．19．新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，当地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中k为工厂工人的复工率，A公司生产t万件防护服还需投入成本（万元）.（1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数；（2）对任意的（万元），当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据题意，由利润等于收入减去成本，即可列出函数关系；（2）根据（1）的结果，由题意，只需在上恒成立，即在上恒成立，根据函数单调性，求出的最大值，即可得出结果.【详解】（1）因为公司生产万件防护服还需投入成本，政府以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，且提供（万元）的专项补贴，所以，公司生产防护服的利润；（2）为使公司不产生亏损，只需利润在上恒成立；即在上恒成立；因为，令，因为，所以，记，任取，则因为，，所以，即，所以，即，所以函数在上单调递增；因此，即的最大值为；所以只需，即.【点睛】本题主要考查函数模型的应用，熟记函数的单调性，会根据单调性求函数最值是解题的关键，属于常考题型.20．已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于不同的两点.（1）若直线的方程为，求线段的长；（2）若直线经过点，点关于轴的对称点为，求证：三点共线；（3）若直线经过点，抛物线上是否存在定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在定点，使得以线段为直径的圆恒过点.【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，可得，根据在上，由抛物线定义可求得结果；（2）设，，，联立直线方程与抛物线方程可得，利用两点连线斜率公式表示出，整理得，由此证得结论；（3）设存在点满足题意，设，与抛物线方程联立得到韦达定理的形式，由可得到，讨论可得时满足题意，由此确定点坐标.【详解】（1）设，，联立得：，，抛物线的方程为，抛物线的焦点，又直线过抛物线的焦点，由抛物线的定义可得：.（2）由题意知：直线的斜率存在，设直线的方程为，，，则，联立得：，则，解得：，，即，直线的斜率为，直线的斜率为，，三点共线.（3）假设存在点，使以弦为直径的圆恒过点，设过点的直线的方程为：，联立得：，则，设，，则，，点总在以弦为直径的圆上，，，又，，，，当或，等式成立，当或，有，，则，即，当时，无论取何值等式都成立，将代入得：，；综上所述：存在点，使得以弦为直径的圆恒过点.【点睛】思路点睛：本题抛物线中满足某条件的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系；④通过讨论所得关系可确定定点.21．无穷数列，若存在正整数，使得该数列由个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数，中至少有一个等于，则称数列具有性质，集合(1)若，，判断数列是否具有性质；(2)数列具有性质，且，，，，求、的值；(3)数列具有性质，记集合，将集合中的所有元素按从小到大的顺序排列，得到数列，记，，证明：若数列具有性质，则数列是常数列．【答案】(1)数列具有性质，理由见解析；(2)，(3)证明见解析【分析】（1）由题知数列是由2个不同元素组成的无穷数列，且周期为2的周期数列，对于任意的正整数，有，满足性质的条件；（2）由题知，考虑后面连续三项，利用反证法说明，同理可证；（3）利用数列，数列具有性质即可证得结论．【详解】(1)，数列是由2个不同元素组成的无穷数列，即，是周期为2的周期数列，故所以对于任意的正整数，有，满足性质的条件，故数列具有性质.(2)由，，，，可知，考虑后面连续三项，假设，由，及性质知中必有一个数为2，于是中有两项为2，故必有1或3不在其中，不妨设（或3）考虑中，最后一个等于的项，则该项的后三项均不等于，不满足性质的条件，矛盾，所以同理可知，(3)取足够大的N，使得包含P中个互不相同的元素，考虑后的连续项，对于P中任意元素，必等于中的某一项，否则考虑中最后一个等于的项，该项不满足性质的条件，矛盾，由的任意性知，这个元素恰好等于P中个互不相同的元素，由数列具有性质，得集合，表示第m个满足的项，存在，有，即数列为常数列，又数列具有性质，则数列是常数列．