2022届重庆市第一中学高三下学期3月月考数学试题含解析

这是一份2022届重庆市第一中学高三下学期3月月考数学试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届重庆市第一中学高三下学期3月月考数学试题一、单选题1．集合的真子集的个数（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据公式可求真子集的个数.【详解】真子集的个数为，故选：C2．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（       ）A．若，则 B．若，则C．若 ，则 D．若，则【答案】B【分析】由，则或可以判断选项A，由，只有当面与面的交线时，可以判断选项C，由，则或或两平面相交，可以判断选项D，故可以得到答案.【详解】对于选项A，若，则或，故选项A错误；对于选项B，若，则，故选项B正确；对于选项C，若，只有当面与面的交线时，，故选项C错误；对于选项D，若，则或或两平面相交，故选项D错误.故选：B.3．重庆一中学抽取了1600名同学进行身高调查，已知样本的身高（单位：cm）服从正态分布N（170，）若身高在165cm到175cm的人数占样本总数的，则样本中不低于175cm的同学数目约为（       ）A．80 B．160 C．240 D．320【答案】B【分析】根据正态分布的性质可得样本的身高关于直线对称，进而求出身高不低于175cm的人数.【详解】因为样本的身高服从正态分布，所以其正态分布关于直线对称，又样本身高在165cm到175cm之间的人数占样本总数的，由对称性可知样本中身高不低于175cm的人数占样本总数的，所以样本中身高不低于175cm的人数为人.故选：B4．已知三角形ABC，则“”是“三角形ABC为钝角三角形”的（　　）条件.A．充分而不必要 B．必要而不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】利用同角的三角函数的基本关系式、正余弦定理可判断两个条件之间的推出关系，从而可得正确的选项.【详解】因为，故，故，故，故，而为三角形内角，故为钝角，但若三角形ABC为钝角三角形，比如取，此时，故不成立，故选：A.5．旅游区的玻璃栈道、玻璃桥、玻璃景观台等近年来热搜不断，因其惊险刺激的体验备受追捧．某景区顺应趋势，为扩大营收，准备在如图所示的山峰和山峰间建一座空中玻璃观景桥．已知两座山峰的高度都是，从点测得点的仰角，点的仰角以及，则两座山峰之间的距离（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意先求出，再由余弦定理求解即可【详解】由题意可知：，，，由余弦定理得故选：C6．点A，B为抛物线上的点，若且直线AB与x轴交于M（4，0），则抛物线C的焦点坐标为（       ）A．（，0） B．（1，0） C．（2，0） D．（4，0）【答案】B【分析】由题意设，设直线为，代入抛物线方程中消去，利用根与系数的关系，再由，可得，结合前面的式子化简可求出，从而可求出抛物线的焦点坐标【详解】由题意设直线为，设，由，得，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，解得，所以抛物线方程为，焦点坐标为，故选：B7．已知函数f（x）满足：对任意的，若函数与图像的交点为，则的值为（       ）A．0 B．2n C．n D．-n【答案】C【分析】根图象的对称性可得的值.【详解】因为任意的，故的图象关于对称.又，设，则的定义域为且，故为奇函数，故其图象关于原点对称，而，故图像关于对称.故函数与图像的诸交点关于对称，不妨设，则，且，其中，故，所以，故，故选：C.8．已知平面内一正三角形的外接圆半径为4，在三角形中心为圆心为半径的圆上有一个动，则最大值为（       ）A．13 B． C．5 D．【答案】A【分析】建立直角坐标系，可以表示出的坐标，再设点，即可用与表示出，即可求出答案.【详解】建立如图所示坐标系，则点，设点，且，则      故当 时，有最大值为13故选：A.二、多选题9．下列说法正确的是（       ）A．设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均增加2个单位B．若的二项展开式共有9项，则该展开式中各项二项式系数之和为256C．10件产品中有8件正品，2件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为D．已知一组数据的方差为4，则数据的标准差为8【答案】ABD【分析】选项A明显正确，选项B由二项展开式共有9项确定的值，即可求出各项二项式系数之和，选项C根据题意利用公式算概率即可，选项D先求出新数据的方差，再求标准差即可.【详解】变量增加1个单位时， ，故平均增加2个单位，正确，故A正确；由于的二项展开式共有9项，故，故各项二项式系数之和为，故B正确； 对于选项C，恰好取到1件次品的概率为，故C错误； 一组数据的方差为4，则数据的方差为，故标准差为8，故选项D正确.故选：ABD.10．以下叙述不正确的是（       ）A．若等比数列{}单调递减，则其公比B．等比数列{}满足，则C．等差数列{}满足，则D．公差为负的等差数列{}满足，则当且仅当时其前n项和取得最大值【答案】ABD【分析】等比数列{}单调递减，则当时，；当时，，可判断A，由等比中项可以判断B，把换成与的式子即可判断C，利用和等差数列前n项和公式即可判断D.【详解】等比数列{}单调递减，则当时，；当时，，故选项A错误； 等比数列{}满足，则，即，故选项B错误；等差数列{}满足，则，故选项C正确；由于公差为负的等差数列{}满足，则.，当或时，其前n项和取得最大值，故选项D错误.   故选：ABD.11．已知函数，则下列说法正确的有（       ）A．函数在定义域上是增函数B．，则C．函数的图像与函数的图像关于直线对称D．函数的图像上有且仅有两个点关于x轴的对称点落在直线上【答案】BCD【分析】对于A，根据导数的符号求出函数的单调区间，即可判断；对于B，令，利用导数证明函数在上递增，即可判断；对于C，令，证明即可判断；对于D，若函数的图像上有且仅有两个点关于x轴的对称点落在直线上，即与只有两个交点，即方程只有两个解，令，求出函数的单调区间及最值，从而可得出函数零点的个数，即可判断.【详解】解：对于A，，令，则，所以函数在上递增，又，则当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，故A错误；对于B，令，则，令，则，所以在上递增，所以，所以在上恒成立，所以函数在上递增，因为，所以，即，即，故B正确；对于C，，，令，因为，所以函数的图像与函数的图像数于直线对称，故C正确；对于D，若函数的图像上有且仅有两个点关于x轴的对称点落在直线上，即与只有两个交点，即方程只有两个解，令，，因为函数在上都是增函数，所以函数在上是增函数，又，所以存在使得，即，则当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以，又，，所以函数在和分别存在一个零点，即与只有两个交点，所以函数的图像上有且仅有两个点关于x轴的对称点落在直线上，故D正确.故选：BCD.12．如图，梯形ABCD中，，，M，P，N，Q分别是边AB，BC，CD，DA的中点，将△ACD以AC为轴旋转一周，则在此旋转过程中，下列说法正确的是（       ）A．MN和BC不可能平行B．AB和CD有可能垂直C．若AB和CD所成角是，则D．若面ACD⊥面ABC，则三棱锥的外接球的表面积是28π【答案】AD【分析】对于A，MN和BC平行，则N应该在DM上，即可判断；对于B，利用线面垂直结合反证法可判断；对于C，当△ACD旋转到，即在平面ABCD内，由分析知，AB和CD所成角是即，此时在，再分别求出，即可求出答案.对于D，找到三棱锥的外接球的球心，求出半径，即可得出答案.【详解】对于A，若MN和BC平行，则N应该在DM上，但在旋转过程中，N不可能在DM上，所以MN和BC不可能平行，则A正确；对于B，当不在平面中时， 若，因为，，故平面，而平面，故平面平面，过作，垂足为，因为平面平面，平面，故平面，而平面，故，故，矛盾，当当在平面中时，也不成立，故B错误. 对于C，因为在未旋转时AB和CD是平行的，若某一时刻AB和CD所成角是，即CD与旋转后的所成角为，如下图.当△ACD旋转到，即在平面ABCD内，此时因为，则，所以， AB和CD所成角是，即和CD所成角是.此时旋转到，取AC的中点，连接，则，所以，则在三角形中，，所以C错误 ；对于D，因为，所以的外接圆的圆心在的中点上，在中，因为，所以为钝角三角形，则外接圆的圆心在外，则的中垂线和的中垂线的交点即为，过做平面的垂线，过做平面的垂线，两垂线的交于点，与重合，即即为外接球的球心，则，则，，所以，则三棱锥的外接球的表面积是，所以D正确.故选：AD.【点睛】三、填空题13．已知复数i，其中i为虚数单位，那么复数·z所对应的复平面内的点在第________象限【答案】四【分析】根据共轭复数的概念求出，利用复数的乘法运算求出，结合复数的几何意义即可得出结果.【详解】由，得，所以，其在复平面内所对应的点的坐标为(10,-5)，属于第四象限.故答案为：四.14．甲、乙、丙、丁共4名同学去找数学老师询问月考成绩，数学老师对甲说：“如果把你们四个成绩从第一到第四排列，很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，4人的名次排列方式共有______种.【答案】8【分析】根据题意分析先确定乙再确定甲，最后确定剩下两人，则为.【详解】由于乙不是第一名和最后一名，所以乙可以是第二名或者第三名为，则甲不是冠军且在乙确定的前提条件下为，剩下两个人为，则4人的名次排列方式共有.故答案为：8.15．式子的值为___________【答案】0.5【分析】利用同角的三角函数的基本关系式、诱导公式、辅助角公式、两角和的正弦公式可求三角函数式的值.【详解】原式，故答案：16．已知直线与圆交于、两点，且中点为，若为圆上的动点，则的取值范围为___________.【答案】【分析】利用勾股定理可求得，分析可得，利用向量模的三角不等式可求得的取值范围，即可求得的取值范围.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，因为中点为，则，且，所以，，，，所以，，即，所以.故答案为：.四、解答题17．函数，点S是f（x）图像上的一个最高点，点M，N是f（x）图像上的两个对称中心，且三角形SMN面积的最小值为.(1)求函数f（x）的最小正周期；(2)函数，三角形ABC的三边a，b，c满足，求g（A）的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二倍角公式可得，结合图象的特征及题设中三角形面积的最小值可求得，从而可求最小正周期.（2）利用诱导公式及三角变换公式可得，利用余弦定理求出，由此得到的范围，从而得到的取值范围.【详解】(1)因为，故，故为偶函数且为周期函数，令，则即，因为点S是f（x）图像上的一个最高点且为偶函数且为周期函数，故不妨设，因为点M，N是f（x）图像上的两个对称中心，故，因为三角形SMN面积的最小值为，故，故，故的最小正周期为.(2)由（1）可得，所以，因为，故，故，而为三角形内角，故，故，所以，故，而，故，而，故即的取值范围为：.18．单增数列满足，点（，n），（，0），并且对子任意都有.(1)求数列{}的通项公式；(2)求四边形的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）可得，根据等差数列的通项公式可求.（2）算出的方程，再算出到直线的距离后可求.【详解】(1)因为，故，而，故，故为等差数列，故，(2)的方程为：，故到直线的距离为，故.19．如图，圆台下底面圆的直径为，是圆上异于的点，是圆台上底面圆上的两点，是的中点，.(1)证明：平面；(2)若与平面所成角的正弦值是，求线段的长度.【答案】(1)证明见解析；(2)或.【分析】（1）取的中点设为点，连接，利用勾股定理求出，再由，即面，即，再利用线面垂直的判定定理即可得到平面.   （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，并设出点的坐标，根据写出的坐标中与的关系式，再利用与平面所成角的正弦值是求出的值，再求出即可.【详解】(1)取的中点设为点，连接，由于，故三角形为等边三角形，故且.为圆台下底面圆的直径，是圆上异于的点，故.，， 由于面 面.面        ，平面平面.(2)以为原点，为轴，为轴，过点作垂直于底面的垂线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系；       由题意可得，设点 平面的一个法向量为.则与平面所成角的正弦值为 .解得（舍去）或或.所以.线段的长度为或.20．已知椭圆的左右焦点为、，为椭圆上的动点，若且当时，.(1)求椭圆的方程：(2)过作不过原点的直线与椭圆相交，另一个交点为，为原点，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，由此可得出椭圆的方程；（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出以及原点到直线的距离，利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得面积的最大值.【详解】(1)解：将代入椭圆方程可得，解得，所以，当时，，所以，，解得，因此，椭圆的方程为.(2)解：①若直线的斜率不存在时，设直线的方程为，联立，可得，故，所以，，当且仅当时，等号成立；②若直线的斜率存在，设直线的方程为，其中，设点、，联立，可得，，则，由韦达定理可得，，所以，，原点到直线的距离为，所以，，当且仅当时，等号成立.综上所述，面积的最大值为.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．21．新冠病毒奥密克戎变异株在全球快速蔓延，并引发香港新一波疫情发.2022年3月3日当天新增55353例新冠确诊病例，创单日新增病例新高.截止3月3日，香港累计病例逾39万例.专家再次提醒：新型冠状病毒是一种传染性极强且危及人们生命安全的严重病毒，新冠防控不可掉以轻心.在新冠防控的过程中，我们把与携带新型冠状病毒者（称之为患者）有过密切接触的人群称为密切关联者.已知每位密切关联者通过核酸检测被确诊为阳性的概率为.一旦被确诊为阳性后立即将其隔离.某患者在隔离前每天有K位密切关联者与之接触（假设这K个人不与其他患者接触），其中被感染的人数为(1)求一天内被感染人数的概率的表达式和X的数学期望；(2)该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，若在这14天内患者无任何症状，则为病毒传播的最佳时间，设每位患者在不知自己患病的情况下，第二天又与K位密切关联者接触.从某一名患者感染新型冠状病毒的第1天开始算起，第n天新增患者的数学期望记为.①当，求的值；②试分析每位密切关联者佩戴口罩后与患者接触能否降低患病的概率，经大量临床数据验证佩戴口罩后被感染患病的概率满足关系式.当取得最大值时，计算所对应的，并和所对应的做对比，然后根据计算结果说明佩戴口罩的必要性.（）（参考数据：，，，，计算结果保留整数）【答案】(1)，(2)，对比可得佩戴口罩必要【分析】（1）利用二项分布可求概率和期望.（2）①利用（1）的结论可求；②利用导数求出何时取最大值，从而可求对应的，故可得相应的结论.【详解】(1)由题设可得可取，则，此时，故.(2)①由（1）可得：第二天被感染人数增至，第三天被感染人数增至，依次第五天被感染人数增至，第六天被感染人数增至，故.②因为，故，当时，；当时，；故在为增函数，在上为减函数，故的最大值为：，当时，第二天被感染人数增至，第三天被感染人数增至，依次第五天被感染人数增至，第六天被感染人数增至，故.由①可得对应的，对比可得佩戴口罩必要.22．已知函数的导函数为，其中.(1)求证：函数在定义域不单调；(2)记函数的极值点为实数，证明：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）求得，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可证得结论成立；（2）利用导数证明出当时，，利用零点存在定理可得出，由极值点的性质可得出，再利用所证不等式以及不等式的性质可证得所证不等式成立.【详解】(1)证明：因为，其中，则，，则，所以，函数在上单调递增，，,由零点存在定理可知，存在唯一的使得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，因此，函数在定义域内不单调.(2)证明：构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递减，所以，，故当时，，由已知可得，即，由（1）可知，因为函数在上单调递增，由零点存在定理可知，，则，因此，.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.