2022届安徽省“皖南八校”高三第三次联考 数学（文、理）试题及答案

“皖南八校”2022届高三第三次联考

数学（理科）

一、选择题：本大题共12 小题，每小题5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 集合，集合，则（     ）

 A.        B.        C.        D.

2. 已知复数为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数（     ）

A. 1             B. -1             C. 2             D. -2

3. 正项等比数列中，，，成等差数列，若，则（     ）    

A. 4             B. 8             C. 32             D. 64

4. 若向量，且，则的值为（     ）

A.           B.           C.           D.

5.已知，则的大小关系为（     ）

A.           B.           C.           D.

6. 已知实数满足，且（为常数）取得最大值的最优解有无数多个，则k的值为（     ）

A. 1             B. -1             C. 2             D. -2

7. 已知，则的最大值为（     ）

A.           B.           C.           D.

8. 古希腊亚历山大时期最后一位重要的几何学家帕普斯（Pappus，公元3世纪末）在其代表作《数学汇编》中研究了“"三线轨迹”问题：即到两条已知直线距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线，今有平面内三条给定的直线，且均与垂直。若动点 M到的距离的乘积与到的距离的平方相等，则动点 M在直线之间的轨迹是（     ）

A.圆           B. 椭圆          C. 双曲线          D. 抛物线

9.若将函数（）的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值是（     ）

A.           B.           C.           D.

10.已知抛物线上有两点，是的（     ）

A. 充要条件      B. 充分不必要条件      C. 必要不充分条件      D. 既不充分也不必要条件

l1. 甲、乙两名同学各自从6门不同的校本选修课中任选3门研修，则甲、乙两名同学所选课程至少有一门相同的选法种数为（     ）

A. 400             B. 390             C. 380             D. 370

12. 若存在直线与函数的图像都相切，则实数a的取值范围是（     ）

A.           B.           C.           D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 若直线与平行，则实数a的值是____________________。

14. 已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为__________________。

15. 若展开式的常数项为，则正整数 n的值为__________________。

16. 已知数列满足，记数列的前n项和为，若存在正整数

，使得，则 m的值是__________________。

三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（本小题满分12分）

在△中，角的对边分别为，已知 .

（1）求的值；

（2）求的最小值。

18.（本小题满分12分）

2022 年2 月 4日，北京冬奥会在国家体育场盛大开幕。这是北京时隔14 年再次举办奥运会，北京成为历史上首个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的城市。为了了解某中学高一学生对冬奥会开幕式的关注程度，从该校高一学生中随机抽取了 100名学生进行调查，调查样本中有 40 名女生.下图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注冬奥会开幕式的部分）。

（1）完成上面的 2×2列联表，并计算回答是否有 95%的把握认为“对冬奥会开幕式的关注

与性别有关”?

（2）若将频率视为概率，现从该中学高一女生中随机抽取3人.记被抽取的 3名女生中对冬

奥会开幕式关注的人数为随机变量 X，求 X的分布列及数学期望。

附：

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，，底面 为梯形，

中，.

（1）求三棱锥 的体积;

（2）求二面角的余弦值.

20.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）若函数的图象在区间上存在斜率为零的切线，求实数a的取值范围；

（2）当时，判断函数零点的个数，并说明理由.

21.（本小题满分12分）

已知离心率为的椭圆=1与x轴，y轴正半轴交于A，B两点，作直线AB的平行线交椭圆于C，D两点.

（1）若△AOB的面积为1，求椭圆的标准方程;

（2）在（1）的条件下，

（i）记直线AC，BD的斜率分别为，求证∶为定值;

（ii）求的最大值.

（二）选考题：共10分.请考生在第 22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.

22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数）。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

（1）写出直线l 的普通方程和曲线C的直角坐标方程;

（2）在平面直角坐标系中，设直线与曲线C相交于A，B两点。若点恰为线段AB的一个三等分点，求正数 m的值.

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数

（1）当α=2时，解不等式;

（2）若不等式对任意都成立，求实数a的取值范围.