人教版八年级数学下册同步精品讲义 第20课 一次函数的应用（教师版+学生版）学案

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第20课 一次函数的应用

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课程标准
1. 能从实际问题的图象中获取所需信息；
2. 能够将实际问题转化为一次函数的问题并准确的列出一次函数的解析式；
3. 能利用一次函数的图象及其性质解决简单的实际问题；
4. 提高解决实际问题的能力．认识数学在现实生活中的意义，发展运用数学知识解决实际问题的能力．
知识精讲

知识点01 数学建模的一般思路
数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
知识点02 正确认识实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.
注意：
要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.
知识点03 选择最简方案问题

分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.

能力拓展


考法01 简单的实际问题
【典例1】某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．
（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？
（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元．请写出y与x之间的函数关系式．
【答案】（1）每吨水的政府补贴优惠价为2元，市场价是3.5元；（2）.
【解析】
【分析】
(1)由20=14+6，18=14+4，根据题意列方程组求解即可；
(2)分用水量不大于14吨和大于14吨两种情形求解即可.
【详解】
(1)根据题意，得，
解方程组，得，
答：每吨水的政府补贴优惠价为2元，市场价是3.5元；
(2)当0x≤14时，
y=2x；
当x＞14时，
y=2×14+3.5（x-14）
=3.5x-21；
∴y与x之间的函数关系式为.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，函数关系式的确定，把生活实际问题转化为数学的方程组模型和函数模型是解题的关键.
【即学即练】如图OB、AB分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：①甲让乙先跑12米；② 甲的速度比乙快1.5米/秒；③ 8秒钟内，乙在甲前面；④ 8 秒钟后，甲超过了乙，其中正确的说法是（ ）

A．① ② B．① ③ ④ C．② ③ D．① ② ③ ④
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图形可以得出乙比甲先跑了12米，甲的速度比乙快1.5米/秒，8秒钟内，乙在甲前面，8秒钟后，甲超过了乙．
【详解】
解：①由图形，t＝0时，甲在乙前边12米，即甲让乙先跑12米，故①正确；
②当t＝8秒时，甲追上了乙，所以甲的速度比乙快12÷8＝1.5米/秒，故②正确；
③8秒钟内，AB在OB的上面，即可知乙在甲前面，故③正确；
④8秒钟内，AB在OB的下面，即可知甲超过了乙，故④正确．
故选D．
【点晴】
本题考查了一次函数的运用，结合图形求解．在做题中一定要注意数形结合的思想，是解决很多问题的基本思路，图形可清楚的说明很多问题．
考法02 方案选择问题
【典例2】某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性
笔一律按9折优惠．书包每个定价20元，水性笔每支定价5元．小丽和同学需买4个书包，
水性笔若干支（不少于4支）．
（1）分别写出两种优惠方法购买费用y（元）与所买水性笔支数x（支）之间的函数关系式；
（2）对的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；
（3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【详解】
解：
(1)设按优惠方法①购买需用y1元,按优惠方法②购买需用y2元
y1=(x−4)×5+20×4=5x+60，
y2=(5x+20×4)×0.9=4.5x+72.
(2)分为三种情况：①∵设y1=y2，
5x+60=4.5x+72，
解得：x=24，
∴当x=24时，选择优惠方法①，②均可；
②∵设y1>y2，即5x+60>4.5x+72，
∴x>24.当x>24整数时,选择优惠方法②;
③当设y10，W随x的增大而增大，
∴当x=30000时，W最小，总费用最小，
（元）．
答：隔离带内种植花卉总费用最少为5409000元．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质及实际应用、一元一次不等式组的应用，根据一次函数的增减性求最小值是解题的关键．
18．经过此次新冠疫情，市民对自身防护非常重视．某药店根据市场需求购进A、B两种医用酒精进行销售，每瓶B种医用酒精比每瓶A种医用酒精进价多6元，用7000元购进A种医用酒精与用10000元购进B种医用酒精的瓶数相同．
(1)求A、B两种医用酒精的每瓶进价各是多少元？
(2)该药店计划购进A、B两种医用酒精共300瓶进行销售，其中A种瓶数不小于B种的瓶数的2倍，A种医用酒精每瓶售价18元，B种医用酒精每瓶售价25元，怎样安排进货才能使售完这300瓶医用酒精所获利润最大？最大利润是多少元？
(3)为满足不同顾客的需要，该药店准备新增购进进价为每瓶10元的C种医用酒精，A、B两种医用酒精仍按需购进，进价不变，A种医用酒精的瓶数是B种医用酒精的瓶数的4倍，共花费12000元，则该药店最多可以购进三种医用酒精共多少瓶？
【答案】(1)14元，20元
(2)购进A种医用酒精200瓶，则购进B种医用酒精100瓶时，才能使售完这300瓶医用酒精所获利润最大，最大利润是1300元
(3)797瓶
【解析】
【分析】
（1）设A种医用酒精的每瓶进价是x元，则B种医用酒精的每瓶进价是(x+6)元，购进A种医用酒精数量为，购进B种医用酒精数量为，以用7000元购进A种医用酒精与用10000元购进B种医用酒精的瓶数相同为等量关系，列方程为，求解即可；
（2）设购进A种医用酒精m瓶，则购进B种医用酒精(300-m)瓶，售完这300瓶医用酒精所获利润为w元，根据总利润等于销售A种医用酒精总利润+销售B种医用酒精总利润，列出一次函数关系式，再利用函数的性质求解最值即可；
（3）购进m瓶B种医用酒精，则购进4m瓶A种医用酒精，购进三种医用酒精共n瓶，根据购进三种医用酒精总价为12000元，列出n关于m的函数关系式，再根据A种医用酒精的瓶数是B种医用酒精的瓶数的4倍，m≥2(300-m)，解得：m≥200,由函数性质求解即可．
(1)
解：设A种医用酒精的每瓶进价是x元，则B种医用酒精的每瓶进价是(x+6)元,根据题意，得
，
解得：x=14，
经检验，x=14是方程的根，也符合题意，
∴x=14,x+6=14+6=20,
答：A种医用酒精的每瓶进价是14元，则B种医用酒精的每瓶进价是20元；
(2)
解：设购进A种医用酒精m瓶，则购进B种医用酒精(300-m)瓶，售完这300瓶医用酒精所获利润为w元，根据题意，得
W=(18-14)m+(25-20)(300-m)=-m+1500,
∵-1x+4x，
∴1200->5x，
解得：x