2020-2021学年山东省聊城市某校高二（下）4月月考数学试卷

这是一份2020-2021学年山东省聊城市某校高二（下）4月月考数学试卷，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 曲线y=x3−2x2在点(1, −1)处的切线方程为( )
A.y=4x−5B.y=x−2C.y=−4x+3D.y=−x

2. 若函数fx=lnx+x，则limΔx→0f1+Δx−f1Δx=（ ）
A.1B.2C.3D.4

3. 曲线y=x2+2ex在点0,f0处的切线方程为( )
A.x+2y+2=0B.2x+y+2=0C.x−2y+2=0D.2x−y+2=0

4. 已知函数fx满足fx=x2f′1+2lnx，则f′2=( )
A.6B.7C.−6D.−7

5. 函数y=x2cs2x的导数为( )
A.y′=2xcs2x−x2sin2xB.y′=2xcs2x−2x2sin2x
C.y′=x2cs2x−2xsin2xD.y′=2xcs2x+2x2sin2x

6. 下列求导运算正确的是( )
A.lnx+3x′=1x+3x2
B.x2ex′=2xex
C.3xcs2x′=3xln3⋅cs2x−2sin2x
D.ln12+lg2x′=2+11−ln2

7. 函数y=f(x)在定义域(−32, 3)内可导，其图象如图所示，记y=f(x)的导函数为y=f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为（ ）

A.[−13, 1]∪[2, 3)B.[−1, 12]∪[43, 83]
C.[−32, 12]∪[1, 2]D.[−32, −13]∪[12, 43]

8. 若(x+2x2)n展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是( )
A.360B.180C.90D.45

9. x−12x6的展开式中的常数项为( )
A.58B.1116C.34D.1516

10. 多项式x2+1x+1x+2x+3展开式中x3的系数为( )
A.6B.8C.12D.13

11. 从2名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中恰有1名男同学和1名女同学的概率为( )
A.34B.12C.23D.14

12. 小明在学校里学习了二十四节气歌后，打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗，他准备在冬季的6个节气：立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒与春季的6个节气：立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨中一共选出4个节气，搜集与之相关的古诗，如果冬季节气和春季节气各至少被选出1个，那么小明选取节气的不同情况的种数是（ ）
A.345B.465C.1620D.1860
二、填空题

函数fx=2x+1ex的图象在点0,f0处的切线方程是________．
三、解答题

求下列函数的导数．
(1)y=x3+lg2x；

(2)y=x−223x+12；

(3)y=2xlnx；

(4)y=x22x+13.

已知函数f(x)=x2+xlnx.
(1)求这个函数的导数f′(x)；

(2)求这个函数在x=1处的切线方程．

已知函数fx=x2−lnx．
(1)求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；

(2)求函数f′x>0的解集．

已知3x−23x10 .求：
(1)展开式中第4项的二项式系数；

(2)展开式中第4项的系数；

(3)展开式的第4项．

已知2x+1xn展开式中前三项的二项式系数和为16.
(1)求n的值；

(2)求展开式中含x2的项的系数．

已知 3x−1n的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，求2x−1x2n的展开式中：
(1)所有二项式系数之和；

(2)二项式系数最大的项；

(3)系数的绝对值最大的项．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省聊城市某校高二（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
求出原函数的导函数，得到函数在点(1, −1)处的导数，然后直接利用直线方程的点斜式得答案．
【解答】
解：由y=x3−2x2，得y′=3x2−4x，
所以y′|x=1=−1，
所以y=x3−2x2在点(1,−1)处的切线方程为y+1=−1×(x−1)，
即y=−x．
故选D.
2.
【答案】
B
【考点】
导数的概念
极限及其运算
【解析】
由题意结合导数的运算可得f′1=2，再由导数的概念即可得解．
【解答】
解：由题意得f′x=1x+1，
所以f′1=1+1=2，
所以limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=f′(1)=2．
故选B．
3.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
求出原函数的导函数，得到f′0，再求出f0，利用直线方程的点斜式得答案．
【解答】
解：由fx=x2+2ex，得f′x=2x+2ex，
∴ f′0=2，
又f0=2，
曲线fx在点0,f0处的切线方程为y−2=2x，
即2x−y+2=0.
故选D．
4.
【答案】
D
【考点】
导数的运算
【解析】
根据导数的公式求解出f′x，可求f′(2)的值．
【解答】
解：∵fx=x2f′(1)+2lnx，
∴f′(x)=2xf′(1)+2x，x>0，
∴f′1=2f′(1)+2，
∴f′(1)=−2，
∴f′x=−4x+2x，
∴f′(2)=−4×2+22=−7．
故选D．
5.
【答案】
B
【考点】
简单复合函数的导数
【解析】
根据导数的运算法则和复合函数的求导法则，计算即可
【解答】
解：由题意，得y′=(x2)′cs2x+x2(cs2x)′=2xcs2x−2x2sin2x．
故选B．
6.
【答案】
C
【考点】
简单复合函数的导数
【解析】
根据函数的导数公式求导即可．
【解答】
解：A，lnx+3x′=1x−3x2，故A错误；
B，x2ex′=2xex+x2ex，故B错误；
C，3xcs2x′=3xln3⋅cs2x−3x⋅2sin2x=3xln3⋅cs2x−2sin2x， 故C正确；
D，ln12+lg2x′=1xln2，故D错误.
故选C.
7.
【答案】
A
【考点】
函数的单调性与导数的关系
【解析】
不等式f′(x)≤0的解即为函数y=f(x)的单调递减区间，所以通过图象写出f(x)的单调减区间即可．
【解答】
解：根据导数符号和函数单调性的关系可知：f′(x)≤0的解为函数f(x)的单调减区间，
所以根据图象可写出f(x)的减区间，即f′(x)≤0的解为：[−13,1]∪[2, 3)．
故选A．
8.
【答案】
B
【考点】
二项展开式的特定项与特定系数
【解析】
利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项；利用二项式系数的性质：中间项的二项式系数最大求出n；将n的值代入通项；令通项中的x的指数为0求出r，将r的值代入通项求出展开式的常数项．
【解答】
解：展开式的通项为Tr+1=2rCnrx12n−52r，
∵ 展开式中，只有第六项的二项式系数最大，
∴ n=10，
∴ 展开式的通项为Tr+1=2rC10rx5−52r，
令5−52r=0，解得r=2，
∴ 展开式中的常数项为22C102=180.
故选B．
9.
【答案】
D
【考点】
二项式系数的性质
二项展开式的特定项与特定系数
【解析】
先求得x−12x6的通项公式，再令x的次数为零求解．
【解答】
解：x−12x6的通项公式为
Tr+1=C6r⋅x6−r⋅−12xr
=C6r⋅x6−r⋅(−1)r⋅12r⋅x−r2
=C6r⋅(−1)r⋅12r⋅x6−32r，
令6−32r=0，解得r=4，
故T5=C64−14×124=1516．
故选D．
10.
【答案】
C
【考点】
二项式系数的性质
【解析】
直接利用二项式展开式的的系数关系，即可得出答案.
【解答】
解：当x2+1取出x2时，此时系数为2×3+1×2+1×3=11；
当x2+1取出1时，此时系数为1×1×1×1=1，
故展开式中x3的系数为11+1=12.
故选C.
11.
【答案】
C
【考点】
古典概型及其概率计算公式
排列、组合及简单计数问题
【解析】
基本事件总数n＝＝6，选出的2名同学中恰有1名男同学和1名女同学包含的基本事件个数m＝＝4，由此能求出选出的2名同学中恰有1名男同学和1名女同学的概率．
【解答】
解：从2名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，
基本事件总数n=C42=6，
选出的2名同学中恰有1名男同学和1名女同学
包含的基本事件个数m=C21C21=4，
则选出的2名同学中恰有1名男同学和1名女同学的概率为
P=mn=46=23.
故选C.
12.
【答案】
B
【考点】
排列、组合的应用
排列、组合及简单计数问题
【解析】
先分类，可以分为3类。1冬3春、2冬2春、3冬1春，再把每一类情况用组合方法计算，最后把3类可能情况全部相加即可．
【解答】
解：根据题意可知，小明可以选取1冬3春、2冬2春、3冬1春．
1冬3春的不同情况有： C61⋅C63=120，
2冬2春的不同情况有； C62⋅C62=225，
3冬1春的不同情况有： C63⋅C61=120，
所以小明选取节气的不同情况有： C61⋅C63+C62⋅C62+C63⋅C61=465．
故选B.
二、填空题
【答案】
3x−y+1=0
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为f′x=2x+3ex，
所以切线的斜率为f′0=3，
又f0=1，
故所求切线方程是y−1=3x−0，即3x−y+1=0．
故答案为：3x−y+1=0．
三、解答题
【答案】
解：(1)因为y=x3+lg2x，
所以y′=3x2+1ln21x.
(2)因为y=x−223x+12=3x2−5x−22，
所以y′=36x3−90x2+26x+20.
(3)因为y=2xlnx，
所以y′=ln2⋅2xlnx+2xx.
(4)因为y=x22x+13，
所以y′=2x2x+13−3x22x+12×22x+16=−2x2+2x2x+14．
【考点】
导数的运算
【解析】
(1)由函数的解析式结合导数的运算法则整理计算可得：y′=3x2+1ln21x；
(2)由函数的解析式结合导数的运算法则整理计算可得：y′=36x3−90x2+26x+20；
(3)由函数的解析式结合导数的运算法则整理计算可得：y′=ln2⋅2xlnx+2x；
(4)由函数的解析式结合导数的运算法则整理计算可得：y′=−2x2+2x2x+14．
【解答】
解：(1)因为y=x3+lg2x，
所以y′=3x2+1ln21x.
(2)因为y=x−223x+12=3x2−5x−22，
所以y′=36x3−90x2+26x+20.
(3)因为y=2xlnx，
所以y′=ln2⋅2xlnx+2xx.
(4)因为y=x22x+13，
所以y′=2x2x+13−3x22x+12×22x+16=−2x2+2x2x+14．
【答案】
解：(1)f′(x)=(x2)′+(xlnx)′
=2x+1×lnx+x⋅1x
=2x+lnx+1．
(2)由题意可知切点的横坐标为1，
所以切线的斜率是k=f′(1)=2×1+ln1+1=3，
切点纵坐标为f(1)=1+1×ln1=1，
故切点的坐标是(1, 1)，
所以切线方程为y−1=3(x−1)，
即3x−y−2=0．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
导数的乘法与除法法则
导数的运算
【解析】
（1）由f(x)=x2+xlnx，利用导数年的性质和公式能求出这个函数的导数f′(x)．
（2）由题意可知切点的横坐标为1，故切点的坐标是(1, 1)，由此能求出切线方程．
【解答】
解：(1)f′(x)=(x2)′+(xlnx)′
=2x+1×lnx+x⋅1x
=2x+lnx+1．
(2)由题意可知切点的横坐标为1，
所以切线的斜率是k=f′(1)=2×1+ln1+1=3，
切点纵坐标为f(1)=1+1×ln1=1，
故切点的坐标是(1, 1)，
所以切线方程为y−1=3(x−1)，
即3x−y−2=0．
【答案】
解：(1)依题意，函数fx=x2−lnx的定义域为0,+∞，
且f′x=2x−1x，
∴ f1=12−ln1=1， f′(1)=2−1=1，
∴ 曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y−1=x−1 ，即y=x.
(2)依题意，函数fx=x2−lnx的定义域为0,+∞，
且f′x=2x−1x，
令f′x>0且x>0，解得x>22，
故不等式f′x>0的解集为(22,+∞)．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
(1)答案未提供解析．
(2)答案未提供解析．
【解答】
解：(1)依题意，函数fx=x2−lnx的定义域为0,+∞，
且f′x=2x−1x，
∴ f1=12−ln1=1， f′(1)=2−1=1，
∴ 曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y−1=x−1 ，即y=x.
(2)依题意，函数fx=x2−lnx的定义域为0,+∞，
且f′x=2x−1x，
令f′x>0且x>0，解得x>22，
故不等式f′x>0的解集为(22,+∞)．
【答案】
解：(1)3x−23x10的展开式通项为
Tr+1=C10r⋅3x10−r⋅−23xr
=C10r⋅310−r⋅−23r⋅x5−3r2，
其中0≤r≤10且r∈N，
所以展开式中第4项的二项式系数为C103=120.
(2)展开式中第4项的系数为
C103⋅37⋅−233=120×34×−23=−77760.
(3)展开式的第4项为T4=−77760x5−92=−77760x.
【考点】
二项式系数的性质
二项展开式的特定项与特定系数
【解析】
(1)利用二项式定理可得出展开式第4项的二项式系数为C103
（2）利用二项式定理可得出展开式第4项的系数为C103⋅37⋅(−23)3；
(3)利用二项式定理可得出展开式的第4项．
【解答】
解：(1)3x−23x10的展开式通项为
Tr+1=C10r⋅3x10−r⋅−23xr
=C10r⋅310−r⋅−23r⋅x5−3r2，
其中0≤r≤10且r∈N，
所以展开式中第4项的二项式系数为C103=120.
(2)展开式中第4项的系数为
C103⋅37⋅−233=120×34×−23=−77760.
(3)展开式的第4项为T4=−77760x5−92=−77760x.
【答案】
解：(1)由题意，(2x+1x)n展开式中前三项的二项式系数和为16，
即：Cn0+Cn1+Cn2=1+n+n(n−1)2=16，
解得：n=5或n=−6（舍去），
即n的值为5．
(2)由通项公式Tk+1=C5k(2x)5−k(1x)k=C5k25−kx5−3k2，
令5−32k=2，可得：k=2，
所以展开式中含x2的项为T2+1=C5225−2x5−62=80x2，
故展开式中含x2的项的系数为80．
【考点】
二项式定理的应用
二项展开式的特定项与特定系数
【解析】
（1）根据已知结合组合数公式，通过解一元二次方程进行求解即可；
（2）利用二项式的通项公式进行求解即可．
【解答】
解：(1)由题意，(2x+1x)n展开式中前三项的二项式系数和为16，
即：Cn0+Cn1+Cn2=1+n+n(n−1)2=16，
解得：n=5或n=−6（舍去），
即n的值为5．
(2)由通项公式Tk+1=C5k(2x)5−k(1x)k=C5k25−kx5−3k2，
令5−32k=2，可得：k=2，
所以展开式中含x2的项为T2+1=C5225−2x5−62=80x2，
故展开式中含x2的项的系数为80．
【答案】
解：(1)由题意，得Cn1=Cn4，解得n=5，
所以2x−1x2n=2x−1x10，
所以2x−1x2n的展开式中，
所有二项式系数之和为210=1024．
(2)由于2n=10为偶数，
所以2x−1x10的展开式中第6项的二项式系数最大，
即T6=T5+1=C105×25×(−1)5=−8064．
(3)设第r+1项的系数的绝对值最大，
即Tr+1=C10r⋅(2x)10−r⋅(−1x)r=(−1)r⋅C10r⋅210−r⋅x10−2r，
所以C10r⋅210−r≥C10r−1⋅210−r+1,C10r⋅210−r≥C10r+1⋅210−r−1,
所以C10r≥2C10r−1,2C10r≥C10r+1,
即11−r≥2r,2(r+1)≥10−r,
所以83≤r≤113，
所以r=3，
故系数的绝对值最大的是第4项，
即T3+1=(−1)3×C103×210−3⋅x4=−15360x4．
【考点】
二项式系数的性质
二项式定理的应用
二项展开式的特定项与特定系数
【解析】
（1）由题意Cn1=Cn4，进而得n=5，故(2x−1x)2n二项式系数和为210=1024．
（2）由于2n=10为偶数，故展开式中第6项的二项式系数最大，进而根据公式计算即可得答案．
（3）由于展开式的通项式为Tr+1=(−1)r⋅C10r⋅210−r⋅x10−2r，C10r⋅210−r≤C10r−5⋅210−r+5C10r⋅210−r≤C10r−3⋅210−r+3，解得不等式组得83≥r≥113，即r=3，进而得系数的绝对值最大的是第4项．
【解答】
解：(1)由题意，得Cn1=Cn4，解得n=5，
所以2x−1x2n=2x−1x10，
所以2x−1x2n的展开式中，
所有二项式系数之和为210=1024．
(2)由于2n=10为偶数，
所以2x−1x10的展开式中第6项的二项式系数最大，
即T6=T5+1=C105×25×(−1)5=−8064．
(3)设第r+1项的系数的绝对值最大，
即Tr+1=C10r⋅(2x)10−r⋅(−1x)r=(−1)r⋅C10r⋅210−r⋅x10−2r，
所以C10r⋅210−r≥C10r−1⋅210−r+1,C10r⋅210−r≥C10r+1⋅210−r−1,
所以C10r≥2C10r−1,2C10r≥C10r+1,
即11−r≥2r,2(r+1)≥10−r,
所以83≤r≤113，
所以r=3，
故系数的绝对值最大的是第4项，
即T3+1=(−1)3×C103×210−3⋅x4=−15360x4．