2020-2021年四川省成都市某校高二（下）4月月考数学（理）试卷

这是一份2020-2021年四川省成都市某校高二（下）4月月考数学（理）试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 平面α的一个法向量是1,2,3，平面β的一个法向量是3,0,−1，则平面α与β的位置关系是( )
A.平行B.相交且不垂直C.相交且垂直D.不确定

2. 已知y=f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )

A.f′(xA)>f′(xB)B.f′(xA)0，则称函数为“H函数”．现给出如下函数：①y=−x3+x+1；②y=3x−2(sinx−csx)；③y=ex+1；④f(x)=ln|x|，x≠0，0，x=0，其中为“H函数”的有( )
A.①②B.③④C.②③D.①②③

12. 已知函数fx=mx−lnx+m在区间e−1,e内有唯一零点，则实数m的取值范围为( )
A.−ee+1,e2+1B.−1e+1,ee+1
C.−ee+1,1D.−1,e2+1
二、填空题

已知向量a→=−3,2,5，b→=1,x,−1，且a→⋅b→=8，则x的值为________.

如图，函数y=fx的图像在点P处的切线是l，则f(2)+f′2=________.


如图，在一个直二面角α−AB−β的棱上有两点A，B，AC，BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB=4，AC=6，BD=8，则CD=________．


如图所示，某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为________.

三、解答题

如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，设AA1→=a→，AB→=b→，AD→=c→，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a→，b→，c→表示以下各向量：

(1)AP→；

(2)MP→+NC1→．

已知函数fx=x2−lnx.
(1)求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；

(2)求函数fx=x2−lnx的增区间．

已知函数fx=ax2+blnx在x=1处有极值12．
(1)求实数a，b的值；

(2)判断函数fx的单调区间，并求极值．

如图，在四棱椎P−ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC=90∘，AD // BC，∠ABC=90∘，2AB=2AD=2CD=BC=2．

(1)求证：CD⊥平面PBD；

(2)若直线PD与底面ABCD所成的角的余弦值为33，求二面角B−PC−D的正切值．

如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB=AC=25，BC=4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图2．

(1)求证：A1O⊥BD；

(2)求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；

(3)线段A1C上是否存在点F，使得直线DF和BC所成角的余弦值为53？若存在，求出A1FA1C的值；若不存在，说明理由．

已知函数fx=12x2−a+1x+alnx.
(1)求函数fx的单调区间；

(2)设函数gx=2fx−2a+xlnx+2x−4a+2，若gx在[12,+∞)上有两个零点，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021年四川省成都市某校高二（下）4月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
求出平面α的法向量和平面β法向量的数量积为0，得到平面α与β的位置关系是相交且垂直．
【解答】
解：因为1,2,3×3,0,−1=0，
所以平面α与β的位置关系是相交且垂直．
故选C．
2.
【答案】
B
【考点】
导数的几何意义
【解析】
根据导数的几何意义，判断在A，B两处的切线斜率即可得到结论．
【解答】
解：由图象可知函数在A处的切线斜率小于B处的切线斜率，
∴ 根据导数的几何意义可知f′(xA)0，当x∈π6,π2时， y′0，等价为函数f(x)为增函数，利用导数或函数单调性的性质判断函数的单调性即可．
【解答】
解：若函数f(x)对任意两个不相等的实数x1，x2，都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，
则等价为函数f(x)为增函数，
①y=−x3+x+1，
则y′=−3x2+1，由f′(x)>0得−330，
则函数kx在区间e−1,e单调递增，
所以kx>ke−1=e−1>0，所以h′x>0，
函数hx在区间e−1,e单调递增，
所以有he−1