2020-2021年河北省秦皇岛市某校高二（下）4月月考数学试卷

这是一份2020-2021年河北省秦皇岛市某校高二（下）4月月考数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 直线x−y=0的倾斜角为( )
A.45∘B.60∘C.90∘D.135∘

2. 已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2+mx−3=0m∈R的两个根，则l1与l2的位置关系是( )
A.平行B.垂直C.可能重合D.无法确定

3. 已知直线l1：mx−y=1与直线l2：x−my−1=0平行，则m的值为( )
A.1B.−1C.1或−1D.0

4. 已知直线4x+3y−7=0，4x+my+3=0平行，则它们之间的距离是( )
A.1B.2C.1310D.135

5. 经过两点(3, 9)、(−1, 1)的直线在x轴上的截距为( )
A.−32B.−23C.23D.2

6. 已知过点M−2,a，N(a,4)的直线的斜率为−12，则a=( )
A.2B.4C.6D.10

7. 设点A2,−3，B−2,−2，直线l过点P1,1且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是( )
A.k≥1或k≤−4B.−4≤k≤1C.−1≤k≤4D.以上都不对

8. 已知直线l将圆C:x2+y2+x−2y+1=0平分，且与直线x+2y+3=0垂直，则l的方程为( )
A.2x+y=0B.2x+y−3=0C.2x−y−4=0D.2x−y+2=0

9. 直线kx−y+1−3k=0，当k变动时，所有直线都通过定点( )
A.(3, 1)B.(0, 1)C.(0, 0)D.(2, 1)

10. 过点P3,−2且倾斜角为π2的直线方程是( )
A.x=−2B.x=3C.y=−2D.y=3

11. 若过点A4,3的直线l与曲线x−22+y−32=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为( )
A.−3,3B.−3,3C.−33,33D.−33,33

12. 已知直线l1：kx+2y−k−4=0恒过点M，直线l2：y=x−1上有一动点P，点N的坐标为(4, 6)，当|PM|+|PN|取得最小值时，点P的坐标为( )
A.−25,−75B.175,125C.25,−35D.125,75
二、填空题

若点(2,1)在圆(x−a)2+y2=5的内部，则实数a的取值范围是________．

若方程x2+y2−6x−8y−k=0表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是________ .

直线l：x−y=0与圆C：(x−1)2+y2=1交于A，B两点，则|AB|=________．

若直线x−y+m=0与圆x2+y2=1相切，则实数m=________ .
三、解答题

已知直线l：3x+4y−7=0，求
(1)直线l的斜率；

(2)若直线m与l平行，且过点0,2，求直线m的方程．

已知直线l1：2x−y+1=0，l2：x+y−4=0，圆C以直线l1，l2的交点为圆心，且过点A3,3，
(1)求圆C的方程；

(2)若直线l：x−y+4=0 与圆C交于不同的两点M，N，求|MN|的长度；

(3)求圆C上的点到直线m：x−y+10=0的距离的最大值．

已知直线l过点M(−3,3)，圆C:x2+y2+4y+m=0(m∈R).
1求圆C的圆心坐标及直线l截圆C弦长最长时直线l的方程；

2若过点M直线与圆C恒有公共点，求实数m的取值范围.

在平面直角坐标系xOy中，曲线y=13x2−43x+1与坐标轴的交点都在圆C上．
(1)求圆C的方程；

(2)设过点P0,−2的直线l与圆C交于A，B两点，且|AB|=2，求l的方程．

已知动点M到定点O(0,0)的距离与到定点A(1,0)的距离之比为2.
(1)求动点M的轨迹C的方程；

(2)过点P(0,2)作轨迹C的切线，求该切线的方程.

已知直线l:ax+2−ay+1=0.
(1)若直线l在x轴上截距和在y轴上截距相等，求a的值；

(2)若直线l与圆x−122+y−122=15相切，求a的值．
参考答案与试题解析
2020-2021年河北省秦皇岛市某校高二（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
先由直线的方程求出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系及倾斜角的范围，求出直线的倾斜角．
【解答】
解：直线x−y=0的斜率为k=1，
设直线的倾斜角为α，
∴ tanα=1，
∵ α∈[0, π]，
∴ α=π4.
故选A.
2.
【答案】
B
【考点】
两条直线垂直的判定
函数恒成立问题
【解析】
由韦达定理可知占k1k2=−1，由此可作出判断．
【解答】
解：由方程3x2+mx−3=0，得
Δ=m2−4×3×−3=m2+36>0恒成立，
所以方程有两个不等的实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在．
设两根为x1，x2，则k1k2=x1x2=−1，
所以l1⊥l2 .
故选B.
3.
【答案】
B
【考点】
两条直线平行与倾斜角、斜率的关系
【解析】
由两直线平行与系数的关系列式求得m值；动直线过定点P，画出直线与圆，由图可知，当过P(0, −1)的直线与P与圆心的连线垂直时，直线l被圆x2+2x+y2−24=0截得弦长最小，再由垂径定理求解．
【解答】
解：∵ 直线mx−y=1即直线mx−y−1=0与直线x−my−1=0平行，
∴ −m2+1=0，−m+1≠0， 即m=−1.
故选B.
4.
【答案】
B
【考点】
两条平行直线间的距离
【解析】
根据两直线平行的性质和平行线间距离公式进行求解即可．
【解答】
解：因为直线4x+3y−7=0，4x+my+3=0平行，
所以有44=m3≠3−7⇒m=3，
所以两平行线间的距离为|−7−3|42+32=2.
故选B．
5.
【答案】
A
【考点】
直线的截距式方程
直线的两点式方程
【解析】
先由两点式求方程，再令y=0，我们就可以求出经过两点(3, 9)、(−1, 1)的直线在x轴上的截距
【解答】
解：由两点式可得：y−91−9=x−3−1−3，
即2x−y+3=0，
令y=0，可得x=−32，
∴ 经过两点(3, 9)、(−1, 1)的直线在x轴上的截距为−32.
故选A.
6.
【答案】
D
【考点】
斜率的计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得4−aa+2=−12，
解得a=10.
故选D.
7.
【答案】
A
【考点】
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
直线的斜率
【解析】
根据越中条件，强出图形，由斜率的计算公式，即可求出结果．
【解答】
解：如图，连接AB，PA，PB，
因为直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，
所以k≥kPB=1+21+2=1或k≤kPA=1+31−2=−4.
故选A.
8.
【答案】
D
【考点】
直线和圆的方程的应用
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
求出圆的圆心，以及直线的斜率，利用点斜式方程即可得到直线的方程．
【解答】
解：∵ 圆C:x2+y2+x−2y+1=0的圆心坐标为(−12, 1)，
直线x+2y+3=0的斜率k=−12，
则与直线x+2y+3=0垂直的直线斜率k=2，
∴ 所求的直线方程为y−1=2(x+12)，
即2x−y+2=0．
故选D.
9.
【答案】
A
【考点】
直线系方程
【解析】
将直线化为kx−3−y+1=0，令x=3，即可求得直线通过的定点．
【解答】
解：直线可化为kx−3−y+1=0，
令x=3，解得y=1，所以直线恒过定点3,1.
故选A.
10.
【答案】
B
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
根据直线垂直于x轴求解即可．
【解答】
解：∵直线的倾斜角为π2，
∴直线垂直于x轴.
∵直线过点P3,−2，
∴直线方程为x=3．
故选B．
11.
【答案】
C
【考点】
点到直线的距离公式
直线与圆的位置关系
【解析】
先由题意，设直线l的方程为y=3=kx−4，根据直线与圆位置关系，列出不等式求解，即可得出结果．
【解答】
解：由题意易知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y−3=kx−4，
即kx−y+3−4k=0．
曲线x−22+y−32=1表示圆心2,3，半径为1的圆．
由题意得圆心2,3到直线kx−y+3−4k=0的距离小于等于半径1．
∴ |2k−3+3−4k|1+k2≤1，
即|−2k|≤1+k2，
解得−33≤k≤33．
故选C．
12.
【答案】
B
【考点】
过两条直线交点的直线系方程
直线的点斜式方程
【解析】

【解答】
解：直线l1：kx+2y−k−4=0，即kx−1+2y−4=0，
令x−1=0，得y=2，
∴该直线恒过点M1,2，
∵直线l2：y=x−1上有一动点P，点N的坐标为4,6，
∴M，N都在直线l2的上方．
∵点M1,2关于直线l2：y=x−1的对称点为M′3,0，
∴M′N直线方程为y−06−0=x−34−3，即y=6x−18．
联立直线M′N和直线l2解得 x=175，y=125，
可得当|PM|+|PN|取得最小值时，点P的坐标为175,125．
故选B.
二、填空题
【答案】
(0, 4)
【考点】
点与圆的位置关系
【解析】
直接由点(2, 1)在圆(x−a)2+y2＝5的内部，得到(2−a)2+12<5，求解关于a的一元二次不等式得答案．
【解答】
解：∵ 点(2, 1)在圆(x−a)2+y2=5的内部，
∴ (2−a)2+12<5，即a2−4a<0，
解得0∴ 实数a的取值范围为(0, 4)．
故答案为：(0, 4).
【答案】
−25,+∞
【考点】
圆的一般方程
二元二次方程表示圆的条件
【解析】
利用方程x2+y2−6x−8y−k=0表示的曲线是圆可得出关于实数k的不等式，由此可解得实数上的取值范田．
【解答】
解：因为x2+y2−6x−8y−k=0即(x−3)2+(y−4)2=25+k，表示的曲线是圆，
所以25+k<0，
解得k>−25，
所以实数k的取值范围是−25,+∞ .
故答案为：−25,+∞ .
【答案】
2
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
利用重径定理可求弦长．
【解答】
解：圆C：(x−1)2+y2=1的圆心为(1,0)，半径为1，
所以圆心到直线l的距离为|1−0|12+(−1)2=22，
所以|AB|=212−(22)2=2.
故答案为：2 .
【答案】
±2
【考点】
点到直线的距离公式
直线与圆的位置关系
【解析】
由于直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，从而可求出加的值 .
【解答】
解：由题意得圆x2+y2=1的圆心为0,0，半径为1，
因为直线x−y+m=0圆x2+y2=1相切，
所以|0−0+m|1+1=1，
解得m=±2.
故答案为：±2 .
三、解答题
【答案】
解：(1)因为直线l：3x+4y−7=0，
所以y=−34x+74，
所以直线l的斜率k=−34 .
(2)由(1)因为直线m与l平行，
所以直线的斜率为−34，
因为直线m过点(0,2)，
所以直线m为y−2=−34(x−0)，即y=−34x+2，
所以直线m的一般形式为3x+4y−8=0 .
【考点】
直线的一般式方程
直线的斜率
直线的点斜式方程
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
（2）由两线平行斜率相等，结合所过的点坐标写出直线方程．
【解答】
解：(1)因为直线l：3x+4y−7=0，
所以y=−34x+74，
所以直线l的斜率k=−34 .
(2)由(1)因为直线m与l平行，
所以直线的斜率为−34，
因为直线m过点(0,2)，
所以直线m为y−2=−34(x−0)，即y=−34x+2，
所以直线m的一般形式为3x+4y−8=0 .
【答案】
解：(1)由题意可得2x−y+1=0，x+y−4=0，
解得x=1，y=3，
所以直线l1，l2的交点即圆心为(1,3)，
所以圆C的半径r=|AC|=（3−1)2+(3−3)2=2
所以圆C的方程为(x−1)2+(y−3)2=4.
(2)圆心到直线l的距离d=|1−3+4|12+(−1)2=2，
所以|MN|=2r2−d2=22.
(3)因为圆C的圆心到直线m的距离dm=|1−3+10|12+(−1)2=42，
所以圆C上的点到直线m的距离的最大值为42+2.
【考点】
直线和圆的方程的应用
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意可得2x−y+1=0，x+y−4=0，
解得x=1，y=3，
所以直线l1，l2的交点即圆心为(1,3)，
所以圆C的半径r=|AC|=（3−1)2+(3−3)2=2
所以圆C的方程为(x−1)2+(y−3)2=4.
(2)圆心到直线l的距离d=|1−3+4|12+(−1)2=2，
所以|MN|=2r2−d2=22.
(3)因为圆C的圆心到直线m的距离dm=|1−3+10|12+(−1)2=42，
所以圆C上的点到直线m的距离的最大值为42+2.
【答案】
解：1圆C方程标准化为x2+(y+2)2=4−m，
∴ 圆心C的坐标为(0,−2)，
直线l截圆C弦长最长，即l过圆心，
故此时l的方程为：y−(−2)x−0=3−(−2)(−3−0)，
整理得：5x+3y+6=0.
2若过点M的直线与圆C恒有公共点，
则点M在圆上或圆内，
∴(−3)2+32+4×3+m≤0，得m≤−30.
【考点】
直线和圆的方程的应用
点与圆的位置关系
圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：1圆C方程标准化为x2+(y+2)2=4−m，
∴ 圆心C的坐标为(0,−2)，
直线l截圆C弦长最长，即l过圆心，
故此时l的方程为：y−(−2)x−0=3−(−2)(−3−0)，
整理得：5x+3y+6=0.
2若过点M的直线与圆C恒有公共点，
则点M在圆上或圆内，
∴(−3)2+32+4×3+m≤0，得m≤−30.
【答案】
解：(1)分别令曲线y=13x2−43x+1中的y=0，x=0，
可得与坐标轴的交点分别为1,0，3,0, 0,1，
设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
代入交点坐标可解得D=4，E=−4， F=3，
所以圆的方程为x2+y2−4x−4y+3=0，
即x−22+y−22=5.
(2)因为|AB|=2，即圆心(2,2)到直线l距离d=5−1=2，
当直线l斜率不存在时，方程为x=0，满足题意：
直线l斜率存在时，设直线l：y=kx−2，即kx−y−2=0，
由题d=|2k−2−2|k2+(−1)2=2，
解得k=34，
所以直线方程为y=34x−2，即3x−4y−8=0
综上，直线l方程为x=0或者3x−4y−8=0.
【考点】
圆的标准方程
圆的一般方程
直线与圆的位置关系
直线与圆相交的性质
点到直线的距离公式
【解析】
解：(1)分别令曲线y=13x2−43x+1中的y=0，x=0，
可得与坐标轴的交点分别为1,0，3,0, 0,1，
设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
代入交点坐标可解得D=4，E=−4， F=3，
所以圆的方程为x2+y2−4x−4y+3=0，
即x−22+y−22=5.
(2)因为|AB|=2，即圆心(2,2)到直线l距离d=5−1=2，
当直线l斜率不存在时，方程为x=0，满足题意：
直线l斜率存在时，设直线l：y=kx−2，即kx−y−2=0，
由题d=|2k−2−2|k2+(−1)2=2，
解得k=34，
所以直线方程为y=34x−2，即3x−4y−8=0
综上，直线l方程为x=0或者3x−4y−8=0.
【解答】
解：(1)分别令曲线y=13x2−43x+1中的y=0，x=0，
可得与坐标轴的交点分别为1,0，3,0, 0,1，
设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
代入交点坐标可解得D=4，E=−4， F=3，
所以圆的方程为x2+y2−4x−4y+3=0，
即x−22+y−22=5.
(2)因为|AB|=2，即圆心(2,2)到直线l距离d=5−1=2，
当直线l斜率不存在时，方程为x=0，满足题意：
直线l斜率存在时，设直线l：y=kx−2，即kx−y−2=0，
由题d=|2k−2−2|k2+(−1)2=2，
解得k=34，
所以直线方程为y=34x−2，即3x−4y−8=0
综上，直线l方程为x=0或者3x−4y−8=0.
【答案】
解：(1)设Mx,y，由题知x2+y2x−12+y2=2，
即x2+y2=2x−12+2y2，
所以点M的轨迹C的方程：x−22+y2=2.
(2)当切线斜率不存在时，切线为x=0,
圆C的圆心2,0到x=0的距离为2≠2，舍去．
当切线斜率存在时，设切线方程为y=kx+2，
圆心2,0到切线的距离=|2k+2|k2+1=2，
解得k=0或−22，
即切线方程为y=2或y=−22x+2.
【考点】
轨迹方程
两点间的距离公式
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
【解析】
（1）首先根据题意列出等式x2+y2x−12+y2=2，再化简即可得到轨迹方程．
（2）首先根据题意设出切线方程，再利用圆心到切线的距离等于半径即可求出切线方程．
【解答】
解：(1)设Mx,y，由题知x2+y2x−12+y2=2，
即x2+y2=2x−12+2y2，
所以点M的轨迹C的方程：x−22+y2=2.
(2)当切线斜率不存在时，切线为x=0,
圆C的圆心2,0到x=0的距离为2≠2，舍去．
当切线斜率存在时，设切线方程为y=kx+2，
圆心2,0到切线的距离=|2k+2|k2+1=2，
解得k=0或−22，
即切线方程为y=2或y=−22x+2.
【答案】
解：(1)易知直线l的截距不能为0.
令x=0， y=−12−a，
令 y=0， x=−1a，
则−12−a=−1a⇒a=1.
故a的值为1.
(2)由题意得圆心12,12到直线l的距离
d=|12a+122−a+1|a2+2−a2=15，
∴42a2−4a+4=15⇒a2−2a−8=0，
解得a=4 或−2，
故a的值为4或−2．
【考点】
直线的一般式方程
直线与圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)易知直线l的截距不能为0.
令x=0， y=−12−a，
令 y=0， x=−1a，
则−12−a=−1a⇒a=1.
故a的值为1.
(2)由题意得圆心12,12到直线l的距离
d=|12a+122−a+1|a2+2−a2=15，
∴42a2−4a+4=15⇒a2−2a−8=0，
解得a=4 或−2，
故a的值为4或−2．