2020-2021学年河北省保定市某校高二（下）2月月考数学试卷

这是一份2020-2021学年河北省保定市某校高二（下）2月月考数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 复数z=11−i，则z的共轭复数为( )
A.1−iB.1+iC.12+12iD.12−12i

2. 高一年级共有学生1200人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高一年级共有女生( )人
A.630B.615C.600D.570

3. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则甲获胜的概率是( )
A.23B.12C.16D.1736

4. 双曲线C:x28−y24=1的焦点坐标为( )
A.(±2, 0)B.(0, ±2)C.(±23, 0)D.(0, ±23)

5. 具有线性相关关系的变量x，y，满足一组数据如表所示，y与x的回归直线方程为y=3x−1.5，则m的值为( )
A.1B.1.5C.2D.2.5

6. 不等式2x2+5x−3<0的一个必要不充分条件是( )
A.−6
7. 艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时, 从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分.5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是( )
A.中位数B.平均数C.方差D.极差

8. 若fx是定义在0,+∞上的可导函数，且fx−xf′x>0，则( )
A.f(2)>2f(1)B.ef2>2feC.3f(2)>2f(3)D.3fπ>πf(3)
二、多选题

PM2.5是衡量空气质量的重要指标.下图是某地9月1日到10日的PM2.5日均值（单位：μg/m3）的折线图，则下列说法正确的是( )

A.这10天中PM2.5日均值的众数为33
B.这10天中PM2.5日均值的中位数是32
C.这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数
D.这10天中PM2.5日均值前4天的方差大于后4天的方差

已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6．现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A=“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B=“抽取的两个小球标号之积大于8”，则( )
A.事件A发生的概率为12
B.事件A∪B发生的概率为1120
C.事件A∩B发生的概率为25
D.从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为15

定义在区间[−12,4]上的函数f(x)的导函数f′(x)图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A.函数f(x)在区间(0, 4)单调递增
B.函数f(x)在区间(−12,0)单调递减
C.函数f(x)在x=1处取得极大值
D.函数f(x)在x=0处取得极小值

若底面是菱形的直棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)ABCD−A1B1C1D1的所有棱长都相等， ∠ABC=60∘，E，M，N分别为AB，BC，CC1的中点，正确的是( )
A.CE⊥平面CC1D1D
B.A1B//MN
C.AD1//平面A1MN
D.异面直线D1C与MN所成的角的余弦值为34
三、填空题

曲线C:y=xex在点M(1,e)处的切线方程为________．

已知双曲线 x2a2−y2b2=1(a>0，b>0) 的离心率是3，左右焦点分别是F1，F2，过F2且与x轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，则其渐近线方程是________，∠AF1F2=________．

已知命题p:∃x0>1，使得lgx0≤0，则¬p为________.

若对∀t∈(0,1]，函数gx=x2−a+4x+2alnx在(t,2)内总不是单调函数，则实数a的取值范围是________．
四、解答题

已知函数f(x)=13x3−4x+4.
(1)求f(x)的单调区间；

(2)求f(x)在[0, 3]上的最大值和最小值.

如图，在直棱柱ABCD−A1B1C1D1中， AD//BC,∠BAD=90∘ ,AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=4.

(1)证明：面ACD1⊥面BB1D；

(2)求二面角B1−AC−D1的余弦值．

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，且椭圆C的右顶点到直线x−y+2=0的距离为3.
(1)求椭圆C的方程；

(2)过点P2,0，且斜率为12的直线l与椭圆C交于A，B两点，求△OAB的面积（O为坐标原点）．

某单位全体员工年龄频率分布表，经统计，该单位35岁以下的青年职工中，男职工和女职工人数相等，且男职工的年龄频率分布直方图如图：

(1)求a；

(2)求该单位男女职工的比例；

(3)若从年龄在[25, 30)岁的职工中随机抽取两人参加某项活动，求恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率．

已知抛物线C:y2=4x，直线l:y=x+m与抛物线交于A，B两点，P(−1, 6)是抛物线准线上的点，连结PA，PB.
(1)若m=−1，求AB长；

(2)若△PAB是以PA，PB为腰的等腰三角形，求m的值.

已知函数fx=alnx+12x−12，a∈R.
(1)当a=−2时，求函数fx的极值；

(2)若∀x∈[1,+∞)，都有fx≥0，求实数a的取值范围.
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省保定市某校高二（下）2月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
共轭复数
复数代数形式的混合运算
【解析】
先化简复数，再利用共轭复数的概念求解即可.
【解答】
解：∵ z=11−i=1+i1−i1+i=12+12i，
∴ z=12−12i.
故选D.
2.
【答案】
D
【考点】
分层抽样方法
【解析】
根据分层抽样的方法，结合比例的性质计算即可．
【解答】
解：高一年级共有学生1200人，
按性别用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，
样本中共有男生42人，
则高一年级的女生人数约为1200×80−4280=570.
故选D.
3.
【答案】
C
【考点】
互斥事件的概率加法公式
【解析】
根据甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，可得甲获胜概率等于1减去两人和棋的概率，再减去乙获胜的概率．
【解答】
解：因为甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，
所以甲获胜的概率是1−12−13=16.
故选C．
4.
【答案】
C
【考点】
双曲线的标准方程
【解析】
利用双曲线的标准方程，求解焦点坐标即可．
【解答】
解：由双曲线C:x28−y24=1，
可得a=22，b=2，则c=23，
所以双曲线的焦点坐标为(±23, 0)．
故选C.
5.
【答案】
A
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
由已知求得样本点的中心坐标，代入线性回归方程求得m值．
【解答】
解：∵ x=0+1+2+34=1.5，
y=−1+m+4m+84=5m+74，
∴ 样本点的中心坐标为(1.5,5m+74)，
代入y=3x−1.5，得5m+74=3×1.5−1.5，
解得m=1.
故选A.
6.
【答案】
A
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
一元二次不等式的应用
【解析】
求解一元二次不等式可得不等式2x2+5x−3<0的解集，然后结合充分必要条件的判定得答案．
【解答】
解：由2x2+5x−3<0，解得−3∵ (−3, 12)⫋(−6, 1)，
∴ 不等式2x2+5x−3<0的一个必要不充分条件是−6故选A.
7.
【答案】
A
【考点】
众数、中位数、平均数
极差、方差与标准差
【解析】
根据平均数、中位数、方差、极差的概念来进行求解，得到答案
【解答】
解：从7个原始评分去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分，
其平均数、极差、方差都可能会发生改变，
不变的数字特征数是中位数.
故选A.
8.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
构造函数gx=fxx，x>0，得到gx在0,+∞上单调递减，利用函数的单调性求解即可.
【解答】
解：构造函数gx=fxx，x>0，
则g′x=xf′x−fxx2<0，
∴ gx在0,+∞上单调递减，
∴ g2>ge，
∴ f22>fee，
即ef2>2fe，故B正确，
同理可得ACD错误.
故选B.
二、多选题
【答案】
A,B,D
【考点】
极差、方差与标准差
众数、中位数、平均数
频率分布折线图、密度曲线
【解析】
对折线图信息进行分析，逐一判断检验即可．
【解答】
解：由折线图得，这10天中PM2.5日均值的众数为33；
中位数为31+332=32；
平均数=36+26+17+23+33×2+128+42+31+3010=39.9，
中位数小于平均数；
前4天的数据波动比后4天的波动大，故前4天的方差大于后4天的方差．
故选ABD.
【答案】
B,C
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
由题意，分别列出事件A与事件B所包含的基本事件，再根据选项进行逐一判断即可.
【解答】
解：记从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球的编号x，y，即x,y为一个基本事件，共有事件4×5=20（个）；
A，事件A包含的基本事件为1,5，1,6， 2,5， 2,6，3,3， 3,5， 3,6，4,2，4,3，4,5 ，4,6，共有11个基本事件，则PA=1120，A错误；
B，事件A∪B包含的基本事件为1,5，1,6， 2,5，2,6，3,3, 3,5, 3,6，4,2，4,3，4,5，4,6共有11个基本事件，则P(A∪B)=1120 ，B正确；
C，事件A∩B包含的基本事件为2,5，2,6，3,3，3,5，3,6，4,3，4,5，4,6共有8个基本事件，则
PA∩B=820=25，C正确；
D，从甲罐中抽到标号为2的小球的事件有2,1,2,2,2,3,2,5,2,6，共有5个基本事件，事件发生的概率为520=14，D错误．
故选BC.
【答案】
A,B,D
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
结合函数的导数与单调性的关系及极值取得的条件对选项分别进行检验即可判断．
【解答】
解：结合导数与函数单调性的关系可知，
当−12≤x<0时，f′(x)<0，则函数单调递减，当0≤x≤4时，f′(x)≥0，此时函数单调递增，
故当x=0时，函数取得极小值，没有极大值，
故选ABD.
【答案】
A,C,D
【考点】
直线与平面平行的判定
异面直线及其所成的角
直线与平面垂直的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：
A，因为四边形ABCD为菱形，∠ABC=60∘，
所以△ABC为正三角形.
又E为AB的中点，
所以CE⊥AB，所以CE⊥CD.
又因为侧棱柱与底面垂直，所以CE⊥CC1，
所以CE⊥平面CC1D1D，故A正确.
B，取C1D1的中点G，连接NG，CD1，
则有A1B // D1C // NG，
所以A1B与MN是异面直线，故B错误.
C，因为AD1 // BC1 // MN，
所以AD1 // 平面A1MN，故C正确.
D，异面直线D1C与MN所成的角的余弦值等于NG与MN所成角α的余弦值，
不妨设棱长为2a，则MN=2a=GN，MG=7a，
则csα=2a2+2a2−7a22×2a×2a=34，故D正确.
故选ACD.
三、填空题
【答案】
y=2ex−e
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论．
【解答】
解：因为函数f(x)的导数f′(x)=(1+x)ex，
所以曲线在(1,e)处的切线斜率k=f′(1)=2e，
则对应的切线方程为y−e=2e(x−1)，
即y=2ex−e.
故答案为：y=2ex−e.
【答案】
y=±2x,π6
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的渐近线
【解析】
利用离心率与渐近线斜率的关系求解即可.
【解答】
解：设双曲线的半焦距为c，由题意可得ca=3，
则c2a2=a2+b2a2=3，即 ba=2，
所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.
如图，不妨设A在第一象限，
由双曲线的通径公式可知|F2A|=b2a，
|F1F2|=2c，
∴ tan∠AF1F2=b2a2c=b22ac=b22a⋅3a
=123⋅b2a2=123×2=33.
∵ ∠AF1F2∈0,π2，
∴ ∠AF1F2=π6.
故答案为：y=±2x；π6.
【答案】
∀x>1，总有lgx>0
【考点】
命题的否定
【解析】
根据特称命题的否定是全称命题，即可求得．
【解答】
解：因为特称命题的否定是全称命题，
故p:∃x0>1，使得lgx0≤0的否定是 ∀x>1，总有lgx>0.
故答案为： ∀x>1，总有lgx>0.
【答案】
2,4
【考点】
利用导数研究函数的单调性
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
首先求出函数的导函数，令g′x=0 ，解得x=2或x=a2，依题意可得a2位于(1,2)内，得到不等式组，解得a的取值范围．
【解答】
解：因为gx=x2−a+4x+2alnx，
所以g′x=2x−a+4+2ax
=2x2−a+4x+2ax=2x−ax−2x.
令g′x=0，解得x=2或x=a2，
要使函数gx=x2−a+4x+2alnx，
对∀t∈(0,1]在t,2内总不是单调函数，
所以1故答案为：2,4．
四、解答题
【答案】
解：(1)因为f(x)=13x3−4x+4，
所以f′(x)=x2−4=(x+2)(x−2)，
由f′(x)>0得x<−2或x>2，
故函数f(x)的单调递增区间为(−∞, −2)和(2, +∞)；
由f′(x)<0得−2故函数f(x)的单调递减区间为(−2, 2)，
综上所述，函数f(x)的单调递减区间为(−2, 2)，
单调递增区间为(−∞, −2)和(2, +∞).
(2)令f′(x)=x2−4=0得x=±2，
由(1)知，在[0, 3]上f(x)有极小值f(2)=−43，
而f(0)=4，f(3)=1.
因为−43<1<4，
所以f(x)在[0, 3]上的最大值为4，最小值为−43.
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的最值
【解析】
（1）求导数，利用导数的正负，即可求f(x)的单调区间；
（2）由（1）可知，在[0, 3]上f(x)有极小值f(2)=−43，而f(0)=4，f(3)=1，即可求f(x)在[0, 3]上的最大值和最小值．
【解答】
解：(1)因为f(x)=13x3−4x+4，
所以f′(x)=x2−4=(x+2)(x−2)，
由f′(x)>0得x<−2或x>2，
故函数f(x)的单调递增区间为(−∞, −2)和(2, +∞)；
由f′(x)<0得−2故函数f(x)的单调递减区间为(−2, 2)，
综上所述，函数f(x)的单调递减区间为(−2, 2)，
单调递增区间为(−∞, −2)和(2, +∞).
(2)令f′(x)=x2−4=0得x=±2，
由(1)知，在[0, 3]上f(x)有极小值f(2)=−43，
而f(0)=4，f(3)=1.
因为−43<1<4，
所以f(x)在[0, 3]上的最大值为4，最小值为−43.
【答案】
(1)证明：∵ BB1⊥平面ABCD，
AC⊂平面ABCD，
∴ AC⊥BB1，
又∵ AC⊥BD，且BB1∩BD=B，
BD，BB1⊂平面BB1D，
∴ AC⊥平面BB1D．
又∵ AC⊂平面ACD1，
∴ 面ACD1⊥面BB1D.
(2)解：易知AB,AD,AA1两两垂直，以A为坐标原点，
AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图的空间直角坐标系，
设AB=t，则相关各点的坐标为
A0,0,0, Bt,0,0,B1t,0,4,Ct,1,0,
C1t,1,4,D0,4,0, D10,4,4,
从而AC→=t,1,0,BD→=−t,4,0,
∵ AC⊥BD，∴ AC→⋅BD→=−t2+4+0=0，
解之得t=2或t=−2 （舍去），
AD→1=0,4,4, AC→=2,1,0，
设n1→=x,y,z是平面ACD1的一个法向量，
则n1→⋅AC→=0，n1→⋅AD1→=0，即2x+y=0，4y+4z=0，
令x=1，则y=−2,z=2，则n1→=1,−2,2，
同理可求面ACB1的法向量为n2→=−2,4,1，
∴ csθ=n1→⋅n2→|n1→|⋅|n2→|=−2−8+23⋅21=82163．
又∵ 二面角B1−AC−D1是锐二面角，
∴ 二面角B1−AC−D1的余弦值为82163．
【考点】
与二面角有关的立体几何综合题
平面与平面垂直的判定
【解析】
无
无第二题答案
【解答】
(1)证明：∵ BB1⊥平面ABCD，
AC⊂平面ABCD，
∴ AC⊥BB1，
又∵ AC⊥BD，且BB1∩BD=B，
BD，BB1⊂平面BB1D，
∴ AC⊥平面BB1D．
又∵ AC⊂平面ACD1，
∴ 面ACD1⊥面BB1D.
(2)解：易知AB,AD,AA1两两垂直，以A为坐标原点，
AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图的空间直角坐标系，
设AB=t，则相关各点的坐标为
A0,0,0, Bt,0,0,B1t,0,4,Ct,1,0,
C1t,1,4,D0,4,0, D10,4,4,
从而AC→=t,1,0,BD→=−t,4,0,
∵ AC⊥BD，∴ AC→⋅BD→=−t2+4+0=0，
解之得t=2或t=−2 （舍去），
AD→1=0,4,4, AC→=2,1,0，
设n1→=x,y,z是平面ACD1的一个法向量，
则n1→⋅AC→=0，n1→⋅AD1→=0，即2x+y=0，4y+4z=0，
令x=1，则y=−2,z=2，则n1→=1,−2,2，
同理可求面ACB1的法向量为n2→=−2,4,1，
∴ csθ=n1→⋅n2→|n1→|⋅|n2→|=−2−8+23⋅21=82163．
又∵ 二面角B1−AC−D1是锐二面角，
∴ 二面角B1−AC−D1的余弦值为82163．
【答案】
解：(1)因为椭圆C的右顶点到直线x−y+2=0的距离为3，
所以|a+2|2=3，
解得a=22．
因为椭圆C的离心率为32，
所以ca=32，
所以c=6，
所以b=a2−c2=2．
故椭圆C的方程为x28+y22=1．
(2)由题意可知直线l的方程为x=2y+2，设Ax1,y1,Bx2,y2，
联立x=2y+2,x28+y22=1,整理得2y2+2y−1=0，
则y1+y2=−1,y1y2=−12，
从而|y1−y2|=(y1+y2)2−4y1y2
=(−1)2−4×(−12)=3，
故△OAB的面积S=12|OP||y1|+12|OP||y2|
=12×|OP|×|y1−y2|
=12×2×3=3.
【考点】
圆锥曲线的综合问题
椭圆的应用
椭圆的标准方程
点到直线的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为椭圆C的右顶点到直线x−y+2=0的距离为3，
所以|a+2|2=3，
解得a=22．
因为椭圆C的离心率为32，
所以ca=32，
所以c=6，
所以b=a2−c2=2．
故椭圆C的方程为x28+y22=1．
(2)由题意可知直线l的方程为x=2y+2，设Ax1,y1,Bx2,y2，
联立x=2y+2,x28+y22=1,整理得2y2+2y−1=0，
则y1+y2=−1,y1y2=−12，
从而|y1−y2|=(y1+y2)2−4y1y2
=(−1)2−4×(−12)=3，
故△OAB的面积S=12|OP||y1|+12|OP||y2|
=12×|OP|×|y1−y2|
=12×2×3=3.
【答案】
解：(1)由男职工的年龄频率分布直方图可得：
a+0.01+0.04+0.08+0.025+0.025×5=1，
所以a=0.02.
(2)该单位[25,35)岁的职工共24人，
由于[25,35)岁男女职工人数相等，
所以[25,35)岁的男职工共12人．
由(1)知，男职工年龄在[25,35)岁的频率为0.15，
所以男职工共有120.15=80人，
所以女职工有140−80=60人，所以男女比例为4:3.
(3)由男职工的年龄频率分布直方图可得：
男职工年龄在[25,30)岁的频率为0.05．
由(2)知，男职工共有80人，
所以男职工年龄在[25,30)岁的有4人，分别记为A1，A2，A3，A4，
又全体员工年龄在[25,30)岁的有6人，
所以女职工年龄在[25,30)岁的有2人，分别记为B1，B2，
从年龄在25∼30岁的职工中随机抽取两人的结果共有
A1,A2，A1,A3，A1,A4，A1,B1，A1,B2，
A2,A3，A2,A4，A2,B1，A2,B2，A3,A4，
A3,B1，A3,B2，A4,B1，A4,B2，B1,B2，15种情况，
其中一男一女的有A1,B1，A1,B2，A2,B1，A2,B2，
A3,B1，A3,B2，A4,B1，A4,B28种情况，
所以恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率为815.
【考点】
频率分布直方图
频率分布表
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
（1）根据频率分布直方图所有小长方形面积和为1解得a；
（2）先根据频率、频数解得总数，即得男女人数，解得比例
，
（3）先确定年龄在[25,30)岁的职工人数，再利用列举法，根据古典概型概率公式求概率
【解答】
解：(1)由男职工的年龄频率分布直方图可得：
a+0.01+0.04+0.08+0.025+0.025×5=1，
所以a=0.02.
(2)该单位[25,35)岁的职工共24人，
由于[25,35)岁男女职工人数相等，
所以[25,35)岁的男职工共12人．
由(1)知，男职工年龄在[25,35)岁的频率为0.15，
所以男职工共有120.15=80人，
所以女职工有140−80=60人，所以男女比例为4:3.
(3)由男职工的年龄频率分布直方图可得：
男职工年龄在[25,30)岁的频率为0.05．
由(2)知，男职工共有80人，
所以男职工年龄在[25,30)岁的有4人，分别记为A1，A2，A3，A4，
又全体员工年龄在[25,30)岁的有6人，
所以女职工年龄在[25,30)岁的有2人，分别记为B1，B2，
从年龄在25∼30岁的职工中随机抽取两人的结果共有
A1,A2，A1,A3，A1,A4，A1,B1，A1,B2，
A2,A3，A2,A4，A2,B1，A2,B2，A3,A4，
A3,B1，A3,B2，A4,B1，A4,B2，B1,B2，15种情况，
其中一男一女的有A1,B1，A1,B2，A2,B1，A2,B2，
A3,B1，A3,B2，A4,B1，A4,B28种情况，
所以恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率为815.
【答案】
解：(1)联立直线y=x−1和抛物线方程y2=4x，
可得x2−6x+1=0.
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
可得x1+x2=6，x1x2=1，
可得|AB|=1+1⋅|x1−x2|
=2⋅(x1+x2)2−4x1x2
=2⋅36−4×1=8.
(2)联立直线y=x+m和抛物线方程y2=4x，
可得x2+(2m−4)x+m2=0.
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
可得x1+x2=4−2m.
设AB的中点为D，可得D(2−m, 2)，
由△PAB是以PA，PB为腰的等腰三角形，
可得直线PD的斜率为−1，
由P(−1, 6)可得6−2−1−2+m=−1，解得m=−1，
由Δ=(2m−4)2−4m2>0，可得m<1，m=−1成立，
故m的值为−1.
【考点】
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
（1）联立直线y＝x−1和抛物线方程y2＝4x，运用韦达定理和弦长公式，计算可得|AB|；
（2）联立直线y＝x+m和抛物线方程y2＝4x，运用韦达定理和中点坐标公式，以及两直线垂直的条件，解方程可得所求值．
【解答】
解：(1)联立直线y=x−1和抛物线方程y2=4x，
可得x2−6x+1=0.
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
可得x1+x2=6，x1x2=1，
可得|AB|=1+1⋅|x1−x2|
=2⋅(x1+x2)2−4x1x2
=2⋅36−4×1=8.
(2)联立直线y=x+m和抛物线方程y2=4x，
可得x2+(2m−4)x+m2=0.
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
可得x1+x2=4−2m.
设AB的中点为D，可得D(2−m, 2)，
由△PAB是以PA，PB为腰的等腰三角形，
可得直线PD的斜率为−1，
由P(−1, 6)可得6−2−1−2+m=−1，解得m=−1，
由Δ=(2m−4)2−4m2>0，可得m<1，m=−1成立，
故m的值为−1.
【答案】
解：(1)当a=−2时，fx=−2lnx+12x−12，
∴ f′x=−2x+x−1=x2−x−2x=x−2x+1xx>0，
令f′x=0，解得x=−1，x=2，
当0当x>2时，f′x>0，
∴ 当x=2时，fx取得极小值f2=−2ln2+12，无极大值．
(2)∀x∈[1,+∞)，都有fx≥0，
即x∈[1,+∞）时，fxmin≥0恒成立，
f′x=ax+x−1=x2−x+axx≥1，
令hx=x2−x+a，
①当Δ≤0，即1−4a≤0，a≥14时，
hx≥0，即f′x≥0，
∴ fx在[1,+∞)单调递增，
∴ fxmin=f1=0，满足题意．
②当Δ≥0，即1−4a≥0，a≤14时，
此时x=1−1−4a2，x=1+1−4a2，
ⅰ)当1+1−4a2≤1时，即0≤a≤14时，hx≥0，即f′x≥0，
∴ fx在[1,+∞)单调递增，∴ fxmin=f1=0，满足题意．
ⅱ)当1+1−4a2≥1时，即a≤0时，此时f1=0，
∴ fxmin=f1+1−4a2<0，不满足题意．
综上所述当a≥0时，满足x∈[1,+∞)时，fxmin≥0恒成立，
∴ a∈[0,+∞)．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)当a=−2时，fx=−2lnx+12x−12，
∴ f′x=−2x+x−1=x2−x−2x=x−2x+1xx>0，
令f′x=0，解得x=−1，x=2，
当0当x>2时，f′x>0，
∴ 当x=2时，fx取得极小值f2=−2ln2+12，无极大值．
(2)∀x∈[1,+∞)，都有fx≥0，
即x∈[1,+∞）时，fxmin≥0恒成立，
f′x=ax+x−1=x2−x+axx≥1，
令hx=x2−x+a，
①当Δ≤0，即1−4a≤0，a≥14时，
hx≥0，即f′x≥0，
∴ fx在[1,+∞)单调递增，
∴ fxmin=f1=0，满足题意．
②当Δ≥0，即1−4a≥0，a≤14时，
此时x=1−1−4a2，x=1+1−4a2，
ⅰ)当1+1−4a2≤1时，即0≤a≤14时，hx≥0，即f′x≥0，
∴ fx在[1,+∞)单调递增，∴ fxmin=f1=0，满足题意．
ⅱ)当1+1−4a2≥1时，即a≤0时，此时f1=0，
∴ fxmin=f1+1−4a2<0，不满足题意．
综上所述当a≥0时，满足x∈[1,+∞)时，fxmin≥0恒成立，
∴ a∈[0,+∞)．x
0
1
2
3
y
−1
m
4m
8
年龄(岁)
[25, 30)
[30, 35)
[35, 40)
[40, 45)
[45, 50)
[50, 55)
合计
人数(人)
6
18
50
31
19
16
140