2020-2021学年广西河池市某校高二（下）4月月考数学试卷

这是一份2020-2021学年广西河池市某校高二（下）4月月考数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 函数y=e−x的导数为( )
A.y′=−e−xB.y′=−exC.y′=exD.y′=−ex

2. 命题“∀x∈R，x3−x2+1≤0”的否定是( )
A.∃x∈R，x3−x2+1≥0B.∃x∈R，x3−x2+1>0
C.∃x∈R，x3−x2+1≤0D.∀x∈R，x3−x2+1>0

3. 复数z=1+2i1−i，则z=（ ）
A.12−32iB.−12−32iC.12+32iD.−12+32i

4. 用反证法证明“已知x，y∈R，x2+y2=0，求证：x=y=0．”时，应假设( )
A.x≠y≠0B.x=y≠0C.x≠0且y≠0D.x≠0或 y≠0

5. 若关于x的不等式x2+kx−1>0在[1, 2]区间上有解，则k的取值范围是( )
A.(−∞, 0)B.(−32, 0)C.[−32, +∞)D.(−32, +∞)

6. 函数y=f(x)的图象如图所示，则导函数y=f′(x)的图象大致是( )

A.B.C.D.

7. 设p:f(x)=x3+2x2+mx+1在(−∞, +∞)内单调递增，函数q:g(x)=x2−4x+3m不存在零点，则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8. 由曲线y=x，直线y=x−2及y轴所围成的图形的面积为（ ）
A.103B.4C.163D.6

9. 利用数学归纳法证明1n+1n+1+1n+2+⋯+12n2)时，第二步由k到k+1时不等式左端变化是( )
A.增加了12k+1和12k+2两项，同时减少1k这一项
B.增加了12k+1这一项
C.增加了12k+1和12k+2两项
D.以上都不对

10. 已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A(72，4)，则|PA|+|PM|的最小值是( )
A.5B.92C.4D.32

11. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)=0，当x>0时，有xf′(x)−f(x)x2>0，则不等式x2f(x)>0的解集是( )
A.(−1, 0)∪(0, 1)B.(−∞, −1)∪(1, +∞)
C.(−1, 0)∪(1, +∞)D.(−∞, −1)∪(0, 1)

12. 如图F1，F2是椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )

A.2B.3C.32D.62
二、填空题

函数f(x)=−x3+3x2在[−1, 1]上的最大、小值分别为M和m，则M+m=________．

现有5人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有________种．（用数字作答）

若函数fx=x2+ax+2aex在区间−2,1上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________.

若已知函数f(x)=ex+x2−x，若对任意x1，x2∈[−1, 1]，|f(x1)−f(x2)|≤k恒成立，则k的取值范围为________．
三、解答题

等差数列{an}中，a7=4，a19=2a9，
(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn=1nan，求数列{bn}的前n项和Sn．

在数列an中，a1=52，且an+1=2an−32n+1.
(1)分别计算a2，a3，a4，并由此猜想an的通项公式；

(2)用数学归纳法证明你的猜想．

如图，在三棱锥V−ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=2，VC=2．

(1)求证：平面VAB⊥平面VCD；

(2)求二面角V−AB−C的大小；

(3)求点C到平面VAB的距离．

函数fx=xlnx−ax+1在点A1,f1处的切线斜率为−2.
(1)求实数a的值；

(2)求fx的单调区间和极值．

如图，椭圆x2a2+y2b2=1离心率为22，且过点2,1，D为椭圆的右顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，直线AD，PD交直线x=3于EF两点.

(1)求椭圆标准方程；

(2)求|EF|的最小值．

函数f(x)=12ax2−(1+a)x+lnx(a≥0)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)当a=0时，方程f(x)=mx在区间[1, e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广西河池市某校高二（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
导数的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：函数y=e−x的导数为y′=−e−x.
故选A.
2.
【答案】
B
【考点】
命题的否定
全称命题的否定
【解析】
将量词否定，结论否定，可得结论．
【解答】
解：全称命题的否定是特称命题，
则命题“∀x∈R，x3−x2+1≤0”的否定是：“∃x∈R，x3−x2+1>0”．
故选B．
3.
【答案】
B
【考点】
共轭复数
复数代数形式的乘除运算
【解析】
本题考查复数的运算，考查运算求解能力．
【解答】
解：因为z=1+2i1−i=1+2i1+i1−i1+i=−1+3i2，
所以z=−12−32i．
故选B．
4.
【答案】
D
【考点】
反证法
【解析】
熟记反证法的步骤，直接填空即可．反面有多种情况，需一一否定．
【解答】
解：用反证法证明“已知x，y∈R，x2+y2=0，求证：x=y=0．”时，应先假设结论不成立，即假设x≠0或 y≠0．
故选D.
5.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
用分离常数法得出不等式k>1x−x在x∈[1, 2]上成立，根据函数f(x)=1x−x在x∈[1, 2]上的单调性，即可求出k的取值范围．
【解答】
解：关于x的不等式x2+kx−1>0在区间[1, 2]上有解，
∴ kx>1−x2在x∈[1, 2]上有解，
即k>1x−x在x∈[1, 2]上成立，
设函数f(x)=1x−x，x∈[1, 2]，
∴ f′(x)=−1x2−11x−x在x∈[1, 2]上有解，则k>−32，
即实数k的取值范围为(−32, +∞)．
故选D．
6.
【答案】
D
【考点】
函数的图象变换
导数的几何意义
【解析】
先根据函数y=f(x)的图象可知函数在区间(−∞, 0)，(0, +∞)上都是单调减函数，可知导函数y=f′(x)在区间(−∞, 0)，(0, +∞)上的值小于0，然后得出它的导函数的性质即可直接判断．
【解答】
解：由f(x)的图象及f′(x)的意义知，
在x>0时，f′(x)为单调递增函数且f′(x)