2020-2021学年广东省惠州市某校高二（下）4月月考数学试卷

这是一份2020-2021学年广东省惠州市某校高二（下）4月月考数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A={0, 2}，B={−2, −1, 0, 1, 2}，则A∩B=( )
A.{0, 2}B.{1, 2}
C.{0}D.{−2, −1, 0, 1, 2}

2. 已知复数z满足1−i⋅z=4i，则|z|=( )
A.2B.2C.22D.8

3. 已知向量a→，b→满足|a→|=1，|b→|=3，且a→，b→夹角为π6，则(a→+b→)⋅(2a→−b→)=( )
A.12B.−32C.−12D.32

4. 函数 fx=sin2x+π3 的最小正周期为( )
A.4πB.2πC.πD.π2

5. 已知直线x+3y+4=0与圆心为2,0的圆C相切，则圆C的方程为( )
A.x−22+y2=3B.x−22+y2=9
C.x+22+y2=3D.x+22+y2=9

6. 已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为y=3x，则双曲线的标准方程是( )
A.x23−y2=1B.y23−x2=1C.x2−y23=1D.y2−x23=1

7. 某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )
A.30种B.35种C.42种D.48种

8. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，BC=2，AB=BB1=4，E，F分别是A1B1，CD的中点，则异面直线A1F与BE所成角的余弦值为( )

A.55B.5C.306D.66

9. x2+2x5的展开式中x4的系数为( )
A.10B.20C.40D.80

10. 已知抛物线C:y2=8ax(a>0)的焦点F与双曲线D：x2a+2−y2a=1(a>0)的焦点重合，过点F的直线与抛物线C交于点A，B，则|AF|+2|BF|的最小值为( )
A.3+42B.6+42C.7D.10
二、多选题

与直线x+y−2=0仅有一个公共点的曲线是( )
A.x2+y2=1B.x22+y2=1C.x2−y2=1D.y2=x

对于函数fx=2sinx−x,x∈0,π，下列说法正确的有( )
A.fx在x=π3处取得极大值3−π3
B.fx有两个不同的零点
C.fπ0过点P13,263，且离心率为63．
(1)求椭圆C的标准方程；

(2)点A是椭圆C与x轴正半轴的交点，点M， N在椭圆C上且不同于点A，若直线AM，AN的斜率分别是kAM，kAN，且kAM⋅kAN=9，求直线MN所过定点的坐标.

已知函数f(x)=lnx−xex+ax(a∈R)．
(1)若函数f(x)在[1, +∞)上单调递减，求实数a的取值范围；

(2)若a=1，求f(x)的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广东省惠州市某校高二（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
交集及其运算
【解析】
直接利用集合的交集的运算法则求解即可．
【解答】
解：集合A={0, 2}，B={−2, −1, 0, 1, 2}，
则A∩B={0, 2}．
故选A．
2.
【答案】
C
【考点】
复数的模
复数代数形式的混合运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：1−i⋅z=4i，
则z=4i1−i=4i(1+i)(1−i)(1+i)=−2+2i，
故|z|=(−2)2+22=22.
故选C.
3.
【答案】
A
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
由已知求出向量a→，b→的数量积，然后将所求平方展开，利用模的平方以及数量积计算其平方值，然后开方计算．
【解答】
解：∵ |a→|=1，|b→|=3，且a→，b→的夹角为π6，
∴ a→⋅b→=|a→||b→|⋅csπ6=3×32=32，
∴ (a→+b→)⋅(2a→−b→)=2a→2+a→⋅b→−b→2
=2+32−3=12.
故选A.
4.
【答案】
C
【考点】
正弦函数的周期性
【解析】
本题考查了三角函数的周期．
【解答】
解：函数 fx=sin2x+π3 的最小正周期为： 2π2=π.
故选C.
5.
【答案】
B
【考点】
圆的标准方程
点到直线的距离公式
直线与圆的位置关系
【解析】
本题考查直线与圆的位置关系及点到直线的距离公式.
【解答】
解：设圆C的半径为R.
因为直线与圆相切，
所以R=|2+0+4|1+3=3，
所以圆的方程为：(x−2)2+y2=9.
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
双曲线的特性
双曲线的标准方程
【解析】
设双曲线方程为x2a2−y2b2=1a>0,b>0，由题意可得2c=4，ba=3，c2=a2+b2，求解即可.
【解答】
解：设双曲线方程为x2a2−y2b2=1a>0,b>0，
由题意可得2c=4，ba=3，c2=a2+b2，
解得a=1，b=3，c=2，
∴ 双曲线方程为x2−y23=1.
故选C.
7.
【答案】
A
【考点】
排列、组合的应用
计数原理的应用
【解析】
两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A类选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果．
【解答】
解：可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C31C42种不同的选法；
②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C32C41种不同的选法．
∴ 根据分类计数原理知不同的选法共有C31C42+C32C41=18+12=30种．
故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种．
故选A.
8.
【答案】
C
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
连接CE，易证四边形A1ECF是平行四边形，可得EC // A1F，于是∠BEC即为所求．再结合勾股定理和三角函数的知识，求出cs∠BEC即可．
【解答】
解：连接CE，如图所示，
因为A1E=CF=12CD，A1E // CF，
所以四边形A1ECF是平行四边形，
所以EC // A1F，
故∠BEC是异面直线A1F与BE所成角．
因为BC=2，AB=BB1=4，E是A1B1的中点，
所以B1E=12A1B1=2，
由勾股定理，得BE=22+42=25，
由正方体的性质可知，BC⊥平面A1B1BA.
因为BE⊂平面A1B1BA，
所以BE⊥BC，
在Rt△BEC中，EC=20+4=26，
所以cs∠BEC=2526=306，
所以异面直线A1F与BE所成角的余弦值为306.
故选C.
9.
【答案】
C
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由二项式定理得(x2+2x)5的展开式的通项为：
Tr+1=C5rx25−r2xr=2rC5rx10−3r，
由10−3r=4，解得r=2，
∴ (x2+2x)5展开式中x4的系数为22C52=40．
故选C．
10.
【答案】
B
【考点】
抛物线的性质
双曲线的特性
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
由双曲线方程求出焦点坐标，设AB的方程为：x=my+2，联立直线方程与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系结合基本不等式求|AF|+2|BF|的最小值．
【解答】
解：由题意得，2a=a+2+a，解得a=1，
则F2,0，
设AB的方程为：x=my+2，
联立x=my+2,y2=8x,
得y2−8my−16=0，
设Ay128,y1，By228,y2，
则y1y2=−16，
|AF|+2|BF|=y128+2+2y228+2
=6+y12+2y228
≥6+22y12y228=6+42．
当且仅当y12=2y22，即y1=442,y2=−248或y1=−442,y2=248时取等号．
故选B．
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
曲线与方程
直线与圆的位置关系
圆锥曲线的综合问题
【解析】
判断直线与圆，椭圆，双曲线已经抛物线的交点个数，即可得到选项．
【解答】
解：直线x+y−2=0与x2+y2=1相切，所以只有一个公共点，所以A正确；
直线x+y−2=0经过椭圆x22+y2=1的右顶点，经过(0, 2)，所以直线与椭圆x22+y2=1有2个交点，所以B不正确．
直线x+y−2=0平行于双曲线的渐近线，所以直线与双曲线只有一个交点，所以C正确；
直线x+y−2=0与抛物线y2=x有2个交点，所以D不正确.
故选AC.
【答案】
A,B,C
【考点】
利用导数研究函数的极值
正弦函数的单调性
正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ fx=2sinx−x，
∴ f′x=2csx−1，
令f′x=2csx−1=0，
得csx=12，
∵ x∈0,π，
由csx=12，
得x=π3，
∴ fx=2sinx−x在0,π上的极大值是f(π3)=2sinπ3−π3=3−π3,
故A正确，D错误；
由fx=2sinx−x，x∈0,π可作y=2sinx和y=x的图象，如图，
由图可知函数有两个交点，故f(x)有两个零点，
故B正确；
将x=π，π2，π6代入函数可知：
f(π)=−π，f(π2)=2−π2，f(π6)=1−π6，
fπ0；
当x∈(x0, +∞)时，m(x)