2020-2021学年河南省濮阳市某校高二（下）3月摸底考试数学（理）试卷

这是一份2020-2021学年河南省濮阳市某校高二（下）3月摸底考试数学（理）试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且A=45∘，C=75∘，a=1，则b=( )
A.62B.32C.1D.6

2. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是( )
A.假设三内角都不大于60度
B.假设三内角至多有两个大于60度
C.假设三内角至多有一个大于60度
D.假设三内角都大于60度

3. 若f(x)=2x+sinx−csx的导函数为f′(x)，则f′(0)等于（ ）
A.2B.ln2+1C.ln2−1D.ln2+2

4. 函数y=f(x)在定义域(−32, 3)内可导，其图象如图所示，记y=f(x)的导函数为y=f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为（ ）

A.[−13, 1]∪[2, 3)B.[−1, 12]∪[43, 83]
C.[−32, 12]∪[1, 2]D.[−32, −13]∪[12, 43]

5. 定积分01(3x+ex)dx的值为（ ）
A.e+1B.eC.e−12D.e+12

6. 设约束条件y≤x+1,y≤−x+5,y≥−12x+2,则y+1x的最大值为（ ）
A.12B.1C.2D.4

7. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cs2A2=b+c2c，则△ABC是( )
A.直角三角形B.锐角三角形
C.等边三角形D.等腰直角三角形

8. $``a \geq 6"$是“函数f(x)=x2−ax在(2,3)上单调递减”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9. 函数y=x+16x+2，x∈(−2,+∞)的最小值是( )
A.4B.6C.8D.16

10. 用数学归纳法证明1+2+3+⋯+n2=n2+n42(n∈N*)，则当n=k+1时，等式左边应该在n=k的基础上加上( )
A.k2+1B.(k+1)2
C.(k+2)2D.(k2+1)+(k2+2)+⋯+(k+1)2

11. 已知点F是抛物线E：y2=2pxp>0的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线E上的两点，满足|FA|+|FB|=10，FA→+FB→+FO→=0→，则p=( )
A.1B.2C.3D.4

12. 已知函数y=fx在R上可导且f0=2，其导函数f′x满足f′x−fxx−2>0，若函数gx满足exgx=fx，下列结论错误的是（ ）
A.函数gx在2,+∞上为增函数
B.x=2是函数gx的极小值点
C.x≤0时，不等式fx≤2ex恒成立
D.函数gx至多有两个零点
二、填空题

在等差数列{an}中，若a10=0，则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19−n(n<19,n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9=1，则存在的等式为________．
三、解答题

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cs2B+1=2sin2B2．
(1)求角B的大小；

(2)若b=3，求a+c的最大值．

已知数列an的前n项的和为Sn ，且Sn=2an−1.
(1)求数列an的通项公式；

(2)设bn=nan，求数列bn的前n项和Tn.

已知函数fx=ax2+blnx在x=1处有极值12．
(1)求实数a，b的值；

(2)判断函数fx的单调区间，并求极值．

函数f(x)=ex−2ax−a．
(1)讨论函数f(x)的极值；

(2)当a>0时，求函数f(x)的零点个数．

如图1，在梯形ABCD中，AD//BC,∠BAD=π2 ,AB=BC=1,AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，以BE为折痕把△ABE折起使点A到达点A1的位置，且A1C=1，如图2．

(1)证明：平面A1BE⊥平面BCDE；

(2)求二面角C−A1B−E的余弦值．

已知抛物线C:y2=2pxp>0的准线为l，焦点为F，点B在抛物线上， BF⊥x轴，且|BF|=4.
(1)求抛物线C的方程；

(2)设l与x轴的交点为A，过x轴上的一个定点1,0的直线m与抛物线C交于D，E两点．记直线AD，AE的斜率分别为k1，k2，若k1+k2=13，求直线m的方程．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省濮阳市某校高二（下）3月摸底考试数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
【解析】
由已知利用三角形内角和定理可求B的值，根据正弦定理可求b的值．
【解答】
解：∵ A=45∘，C=75∘，a=1，
∴ B=180∘−A−C=60∘，
∴ 由正弦定理可得：b=a⋅sinBsinA=1×3222=62．
故选A.
2.
【答案】
D
【考点】
反证法
【解析】
一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；
“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；
“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．
【解答】
解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，
“至少有一个”的否定：“一个也没有”，即“三内角都大于60度”．
故选D.
3.
【答案】
B
【考点】
导数的运算
【解析】
根据导数的求导公式及导数的运算法则，求出函数的导数，计算即可．
【解答】
解：因为f′x=2xln2+csx+sinx，
所以f′0=ln2+1.
故选B．
4.
【答案】
A
【考点】
函数的单调性与导数的关系
【解析】
不等式f′(x)≤0的解即为函数y=f(x)的单调递减区间，所以通过图象写出f(x)的单调减区间即可．
【解答】
解：根据导数符号和函数单调性的关系可知：f′(x)≤0的解为函数f(x)的单调减区间，
所以根据图象可写出f(x)的减区间，即f′(x)≤0的解为：[−13,1]∪[2, 3)．
故选A．
5.
【答案】
D
【考点】
定积分
【解析】
根据微积分定理直接求函数的积分．
【解答】
解：01(3x+ex)dx=(32x2+ex)|01=32+e−1=12+e.
故选D．
6.
【答案】
D
【考点】
求线性目标函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：画出约束条件y≤x+1,y≤−x+5,y≥−12x+2所表示的平面区域，如图所示，
设目标函数z=y+1x=y+1x−0， 则
y+1x−0表示平面区域内一动点到定点M0,−1连线的斜率，
结合图象可得，点取点A时，能使得z取得最大值，
又由 y=x+1,y=−12x+2, 解得A23,53，
所以y+1x的最大值为53+123−0=4.
故选D.
7.
【答案】
A
【考点】
余弦定理
二倍角的余弦公式
【解析】
在△ABC中，利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知cs2A2=b+c2c，转化为csA=sinBsinC，整理即可判断△ABC的形状．
【解答】
解：在△ABC中，因为cs2A2=b+c2c，
所以1+csA2=b2c+12，
所以csA=bc，
由余弦定理得，b2+c2−a22bc=bc，
所以b2+c2−a2=2b2，即a2+b2=c2，
所以△ABC是直角三角形.
故选A.
8.
【答案】
C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
函数的单调性及单调区间
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若函数f(x)=x2−ax在(2,3)上单调递减，则f(x)的对称轴在区间(2,3)的右侧，
所以a2≥3，解得a≥6.
即a≥6是“函数f(x)=x2−ax在(2,3)上单调递减”的充要条件.
故选C.
9.
【答案】
B
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
由基本不等式：a+b≥2ab(a≥0,b≥0)，容易求得函数的值域，要注意“=”成立的条件．
【解答】
解：函数变形为y=x+16x+2=(x+2)+16x+2−2.
∵ x∈(−2, +∞)，
∴ x+2>0,
∴ 函数y≥2(x+2)⋅16x+2−2=6，
当且仅当x+2=16x+2，即x=2时，取“=”，
∴ 函数y=x+16x+2，x∈(−2,+∞)的最小值是6.
故选B.
10.
【答案】
D
【考点】
数学归纳法
【解析】
首先分析题目求用数学归纳法证明1+2+3+...+n2=n4+n22时，当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案．
【解答】
解：当n=k时，等式左端=1+2+...+k2，
当n=k+1时，等式左端=1+2+...+k2+(k2+1)+
(k2+2)+(k2+3)+...+(k+1)2，
增加了2k+1项，
即(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+...+(k+1)2.
故选D.
11.
【答案】
D
【考点】
抛物线的性质
向量的加法及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设Ax1,y1，Bx2,y2，
则|FA|+|FB|=x1+p2+x2+p2
=x1+x2+p=10，①
由FA→+FB→+FO→=0→，
知FA→+FB→+FO→=x1+x2−3p2,y1+y2=0→，
所以x1+x2=3p2，②
联立①②解得p=4，
故选D．
12.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
无
【解答】
解：A．∵ exgx=fx，∴ gx=fxex，
则g′x=f′x−fxex，
x>2时，f′x−fx>0，
故y=gx在2,+∞递增，故选项A正确；
B．x<2时，f′x−fx<0，
故y=gx在−∞,2递减，
故x=2是函数y=gx的极小值点，故选项B正确；
C．由y=gx在−∞,2递减，则y=gx在−∞,0递减，
由g0=f0e0=2，得x≤0时，gx≥g0，
故fxex≥2，故fx≥2ex，故选项C错误；
D．若g(2)<0，则y=gx有2个零点，
若g(2)=0，则函数y=gx有1个零点，
若g(2)>0，则函数y=gx没有零点，故选项D正确．
故选C．
二、填空题
【答案】
−n(n<17,n∈N*)
【考点】
类比推理
【解析】
1
【解答】
解：利用类比推理，借助等比数列的性质，b92=b1+n⋅b17−n，
可知存在的等式为−n(n<17,n∈N*).
故答案为：−n(n<17,n∈N*).
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ cs2B=2cs2B−1，2sin2B2=1−csB,
∴ 由cs2B+1=2sin2B2，得2cs2B+csB−1=0，
解之得csB=12或csB=−1,
∵ B∈(0, π)，得−1∴ 舍去csB=−1，得csB=12，
因此可得B=π3．
(2)∵ B=π3且b=3，
∴ asinA=csinC=bsinB=2，得 a=2sinA,c=2sinC,
∴ a+c=2(sinA+sinC)=2[sinA+sin(A+π3)]
=2[sinA+(sinAcsπ3+csAsinπ3)]
=23(32sinA+12csA)=23sin(A+π6)，
∵ B=π3，∴ 0因此，当A+π6=π2时，即A=π3时，a+c的最大值为23．
【考点】
二倍角的余弦公式
正弦定理
正弦函数的定义域和值域
两角和与差的正弦公式
【解析】
（1）由二倍角的余弦公式和降幂公式，将已知等式化简得2cs2B+csB−1=0，结合三角形内角的范围解出csB=12，即可得到角B的大小；
（2）由正弦定理结合题中数据，算出a=2sinA且c=2sinC，从而a+c=2(sinA+sinC)=2[sinA+sin(A+π3)]，展开合并后利用辅助角公式，化简得a+c=23sin(A+π6)，最后根据三角函数的图象与性质和角A的范围，算出当A=π3时，a+c的最大值为23．
【解答】
解：(1)∵ cs2B=2cs2B−1，2sin2B2=1−csB,
∴ 由cs2B+1=2sin2B2，得2cs2B+csB−1=0，
解之得csB=12或csB=−1,
∵ B∈(0, π)，得−1∴ 舍去csB=−1，得csB=12，
因此可得B=π3．
(2)∵ B=π3且b=3，
∴ asinA=csinC=bsinB=2，得 a=2sinA,c=2sinC,
∴ a+c=2(sinA+sinC)=2[sinA+sin(A+π3)]
=2[sinA+(sinAcsπ3+csAsinπ3)]
=23(32sinA+12csA)=23sin(A+π6)，
∵ B=π3，∴ 0因此，当A+π6=π2时，即A=π3时，a+c的最大值为23．
【答案】
解：(1)因为Sn=2an−1①，
当n=1时， S1=2a1−1，解得a1=1；
当n≥2时，Sn−1=2an−1−1②，
①−②，得an=2an−2an−1，即anan−1=2n≥2，
所以数列an是首项为1，公比为2的等比数列，
所以an=2n−1.
(2)由(1)知bn=n2n−1，则
Tn=120+221+322+⋯+n−12n−2+n2n−1
两边同乘以12，得12Tn=121+222+323+⋯+n−12n−1+n2n
两式相减得 12Tn=1+121+122+⋯+12n−1−n2n
=1−12n1−12−n2n=2−22n−n2n ，
所以Tn=4−n+22n−1.
【考点】
数列递推式
等比数列的通项公式
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为Sn=2an−1①，
当n=1时， S1=2a1−1，解得a1=1；
当n≥2时，Sn−1=2an−1−1②，
①−②，得an=2an−2an−1，即anan−1=2n≥2，
所以数列an是首项为1，公比为2的等比数列，
所以an=2n−1.
(2)由(1)知bn=n2n−1，则
Tn=120+221+322+⋯+n−12n−2+n2n−1
两边同乘以12，得12Tn=121+222+323+⋯+n−12n−1+n2n
两式相减得 12Tn=1+121+122+⋯+12n−1−n2n
=1−12n1−12−n2n=2−22n−n2n ，
所以Tn=4−n+22n−1.
【答案】
解：(1)∵函数fx=ax2+blnx，
∴f′x=2ax+bx，
∵fx在x=1处有极值12，
故 f1=a=12,f′1=2a+b=0,
解得a=12,b=−1.
(2)由(1)得fx=12x2−lnx，其定义域为0,+∞，
则f′x=x−1x=x+1x−1x．
令f′x=0，则x=−1(舍去)或x=1，
当x变化时， f′x，fx的变化情况如表：
∴函数fx的单调递减区间是0,1，单调递增区间是1,+∞，
且函数在定义域上有极小值f1=12，而无极大值．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
【解析】
(1)利用函数的导数，函数的极值，列出方程组求解即可．
(2)利用导函数的符号，求解函数的单调区间和极值．
【解答】
解：(1)∵函数fx=ax2+blnx，
∴f′x=2ax+bx，
∵fx在x=1处有极值12，
故 f1=a=12,f′1=2a+b=0,
解得a=12,b=−1.
(2)由(1)得fx=12x2−lnx，其定义域为0,+∞，
则f′x=x−1x=x+1x−1x．
令f′x=0，则x=−1(舍去)或x=1，
当x变化时， f′x，fx的变化情况如表：
∴函数fx的单调递减区间是0,1，单调递增区间是1,+∞，
且函数在定义域上有极小值f1=12，而无极大值．
【答案】
解：(1)f′(x)=ex−2a，
当a≤0时，f′(x)=ex−2a>0，f(x)在R上为单调增函数，
当a>0时，
由f′(x)=ex−2a>0，x>ln(2a)，函数为单调增函数，
由f′(x)=ex−2a<0，x所以，f(x)极小值=f（ln(2a)）=a−2aln(2a)，无极大值．
综上所述：当a≤0时，无极值，
当a>0时，f(x)极小值=a−2aln(2a)，无极大值.
(2)由(1)知当a>0时，f(x)在(ln(2a),+∞）上为单调增函数，
在（−∞, ln(2a)）上为单调减函数，
f(x)极小值=f（ln(2a)）=a−2aln(2a)，
而f(x)=ex−a(2x+1)，当x→−∞或x→+∞时，f(x)→+∞；
当a−2aln2a>0,即0当a−2aln2a=0，即a=e2时，fx有1个零点:
当a−2aln2a<0,即a>e2时，fx有2个零点.
综上，当0当a>e2时，fx有2个零点．
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性及极值关系对a进行分类讨论可求；
（2）结合（1）中函数单调性的讨论，结合函数的性质进行分类讨论可求．
【解答】
解：(1)f′(x)=ex−2a，
当a≤0时，f′(x)=ex−2a>0，f(x)在R上为单调增函数，
当a>0时，
由f′(x)=ex−2a>0，x>ln(2a)，函数为单调增函数，
由f′(x)=ex−2a<0，x所以，f(x)极小值=f（ln(2a)）=a−2aln(2a)，无极大值．
综上所述：当a≤0时，无极值，
当a>0时，f(x)极小值=a−2aln(2a)，无极大值.
(2)由(1)知当a>0时，f(x)在(ln(2a),+∞）上为单调增函数，
在（−∞, ln(2a)）上为单调减函数，
f(x)极小值=f（ln(2a)）=a−2aln(2a)，
而f(x)=ex−a(2x+1)，当x→−∞或x→+∞时，f(x)→+∞；
当a−2aln2a>0,即0当a−2aln2a=0，即a=e2时，fx有1个零点:
当a−2aln2a<0,即a>e2时，fx有2个零点.
综上，当0当a>e2时，fx有2个零点．
【答案】
(1)证明：∵ 图1中， AD//BC, AB=BC=1,AD=2，E是AD的中点， ∠BAD=π2,
∴ 四边形ABCE为正方形，
∴ BE⊥AC,AO=OC,
而在图2中， A1O⊥BE,BE⊥OC,A1O=OC=22，A1C=1，
∴ 在△A1OC中， A1O2+OC2=A1C2，即A1O⊥OC, 且BE∩OC=O，
∴ A1O⊥平面BCDE，而A1O⊂平面A1BE，
∴ 平面A1BE⊥平面BCDE．
(2)解：由(1)知OA1,OB,OC互相垂直，分别以射线OB,OC,OA1为x,y, z轴正方向，建立空间直角坐标系，由A1B=A1E=BC=ED=1,
∴ O0,0,0,B22,0,0,A10,0,22,C0,22,0,
∴ BC→=−22,22,0,A1C→=0,22,−22,OC→=0,22,0，
设平面A1BC的法向量m→=x,y,z，则
m→⋅BC→=−22x+22y=0,m→⋅A1C→=22y−22z=0, ，取x=1，得m→=1,1,1,
由(1)得平面A1BE⊥平面BCDE，且OC⊥BE,
∴ OC⊥平面A1BE,即OC→=0,22,0是平面A1BE的法向量，
设二面角C−A1B−E的平面角为θ,
则 csθ=|m→⋅OC→||m→||OC→|=223×22=33,
∴ 二面角C−A1B−E的余弦值为33.
【考点】
平面与平面垂直的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：∵ 图1中， AD//BC, AB=BC=1,AD=2，E是AD的中点， ∠BAD=π2,
∴ 四边形ABCE为正方形，
∴ BE⊥AC,AO=OC,
而在图2中， A1O⊥BE,BE⊥OC,A1O=OC=22，A1C=1，
∴ 在△A1OC中， A1O2+OC2=A1C2，即A1O⊥OC, 且BE∩OC=O，
∴ A1O⊥平面BCDE，而A1O⊂平面A1BE，
∴ 平面A1BE⊥平面BCDE．
(2)解：由(1)知OA1,OB,OC互相垂直，分别以射线OB,OC,OA1为x,y, z轴正方向，建立空间直角坐标系，由A1B=A1E=BC=ED=1,
∴ O0,0,0,B22,0,0,A10,0,22,C0,22,0,
∴ BC→=−22,22,0,A1C→=0,22,−22,OC→=0,22,0，
设平面A1BC的法向量m→=x,y,z，则
m→⋅BC→=−22x+22y=0,m→⋅A1C→=22y−22z=0, ，取x=1，得m→=1,1,1,
由(1)得平面A1BE⊥平面BCDE，且OC⊥BE,
∴ OC⊥平面A1BE,即OC→=0,22,0是平面A1BE的法向量，
设二面角C−A1B−E的平面角为θ,
则 csθ=|m→⋅OC→||m→||OC→|=223×22=33,
∴ 二面角C−A1B−E的余弦值为33.
【答案】
解：(1)由题意Bp2,4，代入y2=2px ，得p2=16，p=4，
∴ 抛物线C的方程为y2=8x．
(2)当直线m的斜率不存在时，k1+k2=0与题意不符，
∴ 直线的斜率一定存在，设直线m的方程为y=kx−1代入到y2=8x中，k2x2−(2k2+8)x+k2=0，设D(x1,y1)，E(x2,y2) ，
则x1+x2=2k2+8k2,x1x2=k2k2=1,
k1+k2=y1x1+2+y2x2+2=kx1−1x1+2+kx2−1x2+2
=k[2x1x2+(x1+x2)−4](x1+2)(x2+2)=8k9k2+16=13
∴ k=43，
∴ 直线m的方程为4x−3y−4=0．
【考点】
抛物线的标准方程
圆锥曲线的综合问题
【解析】
（Ⅰ）答案未提供解析．
（Ⅱ）答案未提供解析．
【解答】
解：(1)由题意Bp2,4，代入y2=2px ，得p2=16，p=4，
∴ 抛物线C的方程为y2=8x．
(2)当直线m的斜率不存在时，k1+k2=0与题意不符，
∴ 直线的斜率一定存在，设直线m的方程为y=kx−1代入到y2=8x中，k2x2−(2k2+8)x+k2=0，设D(x1,y1)，E(x2,y2) ，
则x1+x2=2k2+8k2,x1x2=k2k2=1,
k1+k2=y1x1+2+y2x2+2=kx1−1x1+2+kx2−1x2+2
=k[2x1x2+(x1+x2)−4](x1+2)(x2+2)=8k9k2+16=13
∴ k=43，
∴ 直线m的方程为4x−3y−4=0．x
0,1
1
1,+∞
f′x
−
0
+
fx
↘
极小值
↗
x
0,1
1
1,+∞
f′x
−
0
+
fx
↘
极小值
↗