2020-2021学年河南省洛阳市某校高二（下）4月月考数学（理）试卷

这是一份2020-2021学年河南省洛阳市某校高二（下）4月月考数学（理）试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 设曲线y=lnxx+1在点(1, 0)处的切线与直线x−ay+1=0垂直，则a=（ ）
A.−12B.12C.−2D.2

2. 函数y=x2ex的图象大致是（ ）
A.B.
C.D.

3. 函数fx=x3−2cx2+c2x在x=2处取极小值，则c=（ ）
A.6或2B.6或−2C.6D.2

4. 已知函数y=f(x)的图象如图所示，则其导函数y=f′(x)的图象可能是( )

A. B.
C. D.

5. 若点P是曲线y=x2−lnx上任一点，则点P到直线x−y−4=0的最小距离是( )
A.2B.3C.22D.23

6. 在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若函数f(x)=13x3+bx2+(a2+c2−ac)x+1无极值点，则角B的最大值是（ ）
A.π6B.π4C.π3D.π2

7. 函数fx=ax−lnx≥0a∈R恒成立的一个必要不充分条件是( )
A.a∈[1e,+∞)B.a∈[0,+∞)C.a∈[1,+∞)D.a∈(−∞,e]

8. 定义在R上的函数fx的导函数为f′x，若对任意实数x，有fx>f′x，且fx+2020为奇函数，则不等式fx+2020ex0，若f2x+1−afx−a=0恰有两个实数根x1,x2，则x1+x2的取值范围是( )
A.−1,+∞B.(−1,2ln2−2]C.(−∞,2−2ln2]D.(−∞,2ln2−2]
二、填空题

已知函数fx=sinx+1−x2 ，则−11fxdx=________ .

已知函数f(x)=2x2−lnx+1，则f(x)的单调减区间为________.

已知函数fx=x−sinx，若f2x+fx2−3>0，则实数x的取值范围为________ .

已知函数f(x)=x2+m与函数g(x)=−ln1x−3x(x∈[12,2])的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是________．
三、解答题

已知函数f(x)=13x3−32x2−4x+4．
(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)当x∈[−3, 6]时，求函数f(x)的最大值和最小值．

已知函数fx=x3−3x．
(1)求函数fx的极值；

(2)若gx=fx+1x+alnx在[1,+∞)上是单调增函数，求实数a的取值范围．

已知函数f(x)=x−alnx(a∈R)
(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点A（1, f(1)）处的切线方程；

(2)讨论函数f(x)的单调区间．

在第六个国家扶贫日到来之际，中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平对脱贫攻坚工作作出重要指示强调，新中国成立70年来，中国共产党坚持全心全意为人民服务的根本宗旨，坚持以人民为中心的发展思想，带领全国各族人民持续向贫困宣战.某县政府响应习总书记的号召，实施整治环境吸引外地游客的脱贫战略，效果显著.某旅行社组织了两个旅游团于近期来到了该县的某风景区，数据显示，近期风景区中每天空气质量指数近似满足函数f (t)=att2+144+12lnt−t−6(4≤t≤22, a∈R)，其中t为每天的时刻.若在凌晨4点时刻，测得空气质量指数为21.8．
(1)求实数a的值；

(2)求近期每天在[4, 22]时段空气质量指数最高的时刻t．（参考数值：ln2≈0.7）

已知函数fx=x3+ax2−a2x+3，a∈R.
(1)若a0，∴ 在e,a及a,a2上各有一个零点．
故a的取值范围是e2,+∞.
故选B．
12.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
根的存在性及根的个数判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：作出函数f(x)的图象如图所示．
由f2(x)+(1−a)f(x)−a=0可得f(x)=a或f(x)=−1．
∵ f2(x)+(1−a)f(x)−a=0恰有两个根，
∴ a>1．
不妨设x11)，
则g′(a)=1a−12a=2−a2a．
∴ 当14时，g′(a)2，
只需证(1+t)t−1tlnt>2，
即证t2−1t>2lnt，
即t−1t−2lnt>0，
令h(t)=t−1t−2lnt(t>1)，则h′(t)=(t−1)2t2>0，
所以h(t)在(1, +∞)上单调递增且h(1)=0，
所以当t∈(1, +∞)时，h(t)>0，
即x1+x2>2.x
−∞,−1
−1
−1,1
1
1,+∞
f′x
+
0
−
0
+
fx
单调递增
极大值2
单调递减
极小值−2
单调递增
x
−∞,−1
−1
−1,1
1
1,+∞
f′x
+
0
−
0
+
fx
单调递增
极大值2
单调递减
极小值−2
单调递增
t
(4, 12)
12
(12, 22)
f′(t)
+
0
−
f(t)
单调递增
极大值
单调递减
t
(4, 12)
12
(12, 22)
f′(t)
+
0
−
f(t)
单调递增
极大值
单调递减
x
(0, 1)
1
(1, +∞)
h′(x)
+
0
−
h(x)
单调递增
−2
单调递减
x
(0, 1)
1
(1, +∞)
h′(x)
+
0
−
h(x)
单调递增
−2
单调递减