2020-2021学年湖北省荆州市某校高二（下）6月月考数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省荆州市某校高二（下）6月月考数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知fx=x3+sin3x，则其导函数f′x=( )
A.3x2+3csxB.x3+3csxC.x3+3cs3xD.3x2+3cs3x

2. 满足条件An2>Cn3的自然数n有( )
A.7个B.6个C.5个D.4个

3. 甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，则不同站法的种数有( )
A.12种B.18种C.24种D.60种

4. 设随机变量ξ∼Nμ,σ2，函数fx=x2−2x+ξ有零点的概率是0.5，则μ等于( )
A.1B.2C.3D.不确定

5. 已知圆C1:x2+y2+2ax−9+a2=0和圆C2:x2+y2−2by−1+b2=0外切（其中a，b∈R)，则a+b的最大值为( )
A.4B.42C.8D.43

6. 袋子中有大小、形状完全相同的三个小球，分别写有“中”“国”“梦”三个字，从中任意摸出一个小球，记录下所写汉字后放回；…；如此操作下去，直到“中”“国”两个字都摸到就停止摸球，则恰好第三次就停止摸球的概率为( )
A.227B.127C.29D.19

7. 设A，B，C，D是同一个半径为6的球的球面上四点，且△ABC是边长为9的正三角形，则三棱锥D−ABC体积的最大值为( )
A.8124B.8134C.24324D.24334

8. 已知函数fx=lgaxa>0,a≠1，则下列条件能使数列an成等比数列的是( )
A.fan=2nB.fan=n2C.fan=2nD.fan=2n
二、多选题

为了增强学生的身体素质，提高适应自然环境、克服困难的能力，某校在课外活动中新增了一项登山活动，并对“学生喜欢登山和性别是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，得到如图所示的等高条形统计图，则下列说法中正确的有（ ）
附： K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
A.被调查的学生中喜欢登山的男生人数比喜欢登山的女生人数多
B.被调查的女生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多
C.若被调查的男女生均为100人，则有99%的把握认为喜欢登山和性别有关
D.无论被调查的男女生人数为多少，都有99%的把握认为喜欢登山和性别有关

设离散型随机变量X的分布列为
若离散型随机变量Y满足Y=2X+1，则下列结果正确的有( )
A.q=0.1B.E(X)=2，D(X)=1.4
C.E(X)=2，D(X)=1.8D.E(Y)=5，D(Y)=7.2

四张外观相同的奖券让甲，乙，丙，丁四人各随机抽取一张，其中只有一张奖券可以中奖，则( )
A.四人中奖概率与抽取顺序无关
B.在甲未中奖的条件下，乙或丙中奖的概率为23
C.事件甲或乙中奖与事件丙或丁中奖互斥
D.事件甲中奖与事件乙中奖互相独立

数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的∞符号，我们把形状类似∞的曲线称为“∞曲线”．经研究发现，在平面直角坐标系xOy中，到定点A−a,0，Ba,0距离之积等于a2a>0的点的轨迹C是“∞曲线”．若点Px0,y0是轨迹C上一点，则下列说法正确的有( )
A.曲线C关于原点O中心对称
B.x0的取值范围是−a,a
C.曲线C上有且仅有一个点P满足PA=PB
D.PO2−a2的最大值为2a2
三、填空题

已知样本x1，x2，x3，⋯，xn方差s2=2，则样本2x1+1，2x2+1，2x3+1，⋯，2xn+1的方差为________．

棱长为a的正四面体的外接球的表面积为________.

数列an中，a1=1，an+1=an+csnπ2，则a2020=

定义：在(x2−x−1)n=Pn0x2n+Pn1x2n−1+Pn2x2n−2+⋯+Pn2n−1x+Pn2nn∈N中，把Pn0，Pn1，Pn2，⋯，Pn2n叫做三项式(x2−x−1)n的n次系数列（例如三项式的1次系数列是1，−1，−1）．按照上面的定义，三项式(x2−x−1)n的5次系数列各项之和为________，P47=________．
四、解答题

已知数列an的首项为1，令fn=a1Cn1+a2Cn2++anCnnn∈N*．
(1)若an为常数列，求fn的解析式；

(2)若an是公比为3的等比数列，试求数列3fn+1的前n项和Sn．

已知函数fx=lnax−xa>0在0,+∞ 上有极值2．
(1)求实数a的值；

(2)若fx≤tx+3恒成立，求实数t的取值范围．

在四棱锥M−ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，△BMC为边长为2的等边三角形，且AM=CD，E，F分别为AB，BM的中点，线段EF与直线AB，CF都垂直．

(1)证明：平面ABM⊥平面BMC；

(2)记MD的中点为Q，试求直线AQ与平面ABCD所成角的正弦值．

已知函数fx=x3−tx+2020t∈R．
(1)当t=6时，求函数fx的极大值；

(2)试求函数gx=fcsx在0,π上的极小值．

已知直线2x−y−2=0经过抛物线y2=2pxp>0的焦点，点M3,0，N5,0为x轴上两定点．过点M的直线与抛物线交于A，B两点，直线AN，BN分别与抛物线交于异于点A，B的P，Q两点．
(1)求抛物线方程．

(2)直线PQ是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过，说明理由．

自爆发新型冠状病毒COVID−19肺炎疫情以来，全国各地实行了最严格的疫情管控措施，潜江市还制定了每户3天才能出门一次的规定．很多网络购物平台为服务市民，在此期间推出了很多惠民抢购活动，深受广大市民欢迎．
(1)已知某购物平台自元月26∼30日共5天的成交额如表：
试求成交额y（万元）与时间变量x的线性回归方程，并预测元月31日（时间变量x=6) 该平台的成交额．

(2)在2月1日前，小明同学的爸爸、妈妈准备在该网络购物平台上分别参加甲、乙两店各一个订单的抢购活动小明同学的爸爸、妈妈在甲、乙两店订单抢购成功的概率分别为p1，p2，小明同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为ξ，求ξ的分布列及Eξ；
附：回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
b=i=1nxiyi−nxyi=1n(xi2−x2)，a=y−bx．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省荆州市某校高二（下）6月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
简单复合函数的导数
导数的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f′x=3x2+3cs3x.
故选D.
2.
【答案】
C
【考点】
组合及组合数公式
排列及排列数公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ An2>Cn3，
∴ n(n−1)>16n(n−1)(n−2)，
解得n6.635，
∴ 有99%的把握认为喜欢登山和性别有关，
故选项C正确，
对于选项D：是否有99%的把握认为喜欢登山和性别有关与被调查的男女生人数有关，故选项D错误.
故选AC．
【答案】
A,C,D
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
由离散型随机变量X的分布列的性质求出q＝0.1，由此能求出E(X)，D(X)，再由离散型随机变量Y满足Y＝2X+1，能求出E(Y)和D(Y)．
【解答】
解：由离散型随机变量X的分布列的性质得，
q=1−0.4−0.1−0.2−0.2=0.1，
E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2，
D(X)=(0−2)2×0.1+(1−2)2×0.4+(2−2)2×0.1
+(3−2)2×0.2+(4−2)2×0.2=1.8，
∵ 离散型随机变量Y满足Y=2X+1，
∴ E(Y)=2E(X)+1=5，
D(Y)=4D(X)=7.2．
故选ACD.
【答案】
A,B,C
【考点】
古典概型及其概率计算公式
互斥事件与对立事件
相互独立事件
条件概率与独立事件
【解析】
本题考查概率的相关知识，条件概率的公式，事件的相互独立性，互斥事件.
【解答】
解：A，由题意知，每个人的中奖概率是14，与抽奖的顺序无关，故A正确；
B，甲未中奖的条件下，乙、丙、丁中奖的概率都变为13，
则乙或丙中奖的概率为23，故B正确；
C，事件甲或乙中奖与事件丙或丁中奖不可能同时发生，故它们是互斥事件，故C正确；
D，设“甲中奖”为事件M，“乙中奖”为事件N，
则P(M)=P(N)=14，由于只有一张中奖券，所以P(MN)=0，
这就说明P(MN)≠P(M)P(N)，故M，N不是相互独立的，故D错误.
故选ABC.
【答案】
A,C
【考点】
曲线与方程
点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】
求出轨迹C的方程，由方程确定曲线的性质，再判断各选项．
【解答】
解：设Px,y ，
由题意有x+a2+y2⋅x−a2+y2=a2，
化简得x2+y22−2a2x2+2a2y2=0，
用−x替换x，−y替换y，方程不变，
所以曲线关于原点成中心对称，故A正确；
令x=2a，y=0代入方程成立，
即2a,0是曲线的一点， 2a>a，故B错误；
满足|PA|=|PB|的点在线段AB的垂直平分上，
由x=0,x2+y22−2a2x2+2a2y2=0,得x=0,y=0,
所以曲线C上只有一点0,0满足|PA|=|PB|，故C正确；
令x=ρcsθ，y=ρsinθ，
代入方程得ρ4−2a2ρ2cs2θ−sin2θ=0，
即ρ2=2a2cs2θ，这是曲线C的极坐标方程，
显然ρ2的最大值为2a2 ，
所以PO2−a2的最大值为2a2−a2=a2，故D错误．
故选AC.
三、填空题
【答案】
8
【考点】
极差、方差与标准差
【解析】
根据题意，设样本x1，x2，x3，…，xn方的平均数为x，样本2x1+1，2x2+1，2x3+1，…，2xn+1的平均数为x′，方差为s′2，由平均数公式可得x′=1n[(2x1+1)+(2x2+1)++(2xn+1)]=2x+1，进而结合方差的计算公式可得s′2=1n[(2x1+1−2x−1)2+(2x2+1−2x−1)2++(2xn+1−2x−1)2]=4s2，计算即可得答案．
【解答】
解：根据题意，设样本x1，x2，x3，…，xn方的平均数为x，方差为s2=2，
样本2x1+1，2x2+1，2x3+1，…，2xn+1的平均数为x′，方差为s′2，
样本x1，x2，x3，…，xn方的平均数为x，则x=1n(x1+x2+x3+⋯+xn)，
其方差为s2=2，则有s2=1n[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(xn−x)2]=2，
对于样本2x1+1，2x2+1，2x3+1，…，2xn+1，其平均数为x′，
则x′=1n[(2x1+1)+(2x2+1)+⋯+(2xn+1)]=2x+1，
其方差s′2=1n[(2x1+1−2x−1)2+(2x2+1−2x−1)2+⋯+(2xn+1−2x−1)2]=4s2=8.
故答案为：8.
【答案】
3πa22
【考点】
球的表面积和体积
【解析】
解答本题需要考虑到正四面体可以在正方体中找到，利用勾股定理计算出正方体的棱长，进而求出外接球的半径，最后利用球的表面积公式即可解得答案。
【解答】
解：由于正四面体的棱长为a，
故此四面体一定可以放在在正方体中，
我们可以从正方体中寻找此四面体。
正方体侧面对角线长为a，
根据勾股定理易知正方体的棱长为22a，
故此四面体的外接球即为正方体的外接球，
又知外接球的直径等于正方体的对角线长，
故外接球的半径R=12(2a2)2+(2a2)2+(2a2)2，
故R=64a，
所以外接球的表面积S=4πR2=32πa2.
故答案为：3πa22.
【答案】
0
【考点】
数列递推式
【解析】
首先利用数列的递推关系式求出数列的周期，进一步求出结果．
【解答】
解：数列an中，a1=1，an+1=an+csnπ2，
整理得 an+1−an=csnπ2，
令n=1时，a2−a1=0，解得a2=1；
令n=2时，a3−a2=−1，解得a3=0；
令n=3时，a4−a3=0，解得a4=a3=0；
令n=4时，a5−a4=1，解得a5=1；
令n=5时，a6−a5=0，解得a6=1；
令n=6时，a7−a6=−1，解得a7=0；
…，
所以该数列为1，1，0，0，1，1，0，0，…故数列的周期为4，
所以a2020=a505×4=a4=0.
故答案为：0．
【答案】
−1,4
【考点】
二项式定理的应用
二项式系数的性质
【解析】
解：本题主要考察了二项式定理的应用,组合数的计算公式的应用.根据三项式的n次项数的定义,在利用组合数公式的性质,可用二项式系数表示.
【解答】
解：① 令x=1，可得(1−1−1)5=−1.
所以(x2−x−1)5的5次系数列各项之和为−1.
②(x2−x−1)4的通项公式为：Tk+1=C4k(x2−x)k(−1)4−k,
(x2−x)k的通项公式为：Tr+1=Ckr(x2)k−r(−x)r=(−1)rCkrx2k−r.
由题意可得P47表示(x2−x−1)4的展开式中x的系数，
令2k−r=1,可得：k=1,r=1.
所以，P47=C41C11(−1)4−1+1=4.
故答案为：−1；4.
四、解答题
【答案】
解：(1)数列an的首项为1，
若an为常数列，
则an=1，
所以fn=Cn1+Cn2+⋯+Cnn=2n−1．
(2)若数列an是公比为3的等比数列，
所以an=a1⋅qn−1=3n−1，
所以fn=Cn1+3Cn2+⋯+3n−1Cnn，
所以3fn+1=1+3n=4n，
所以Sn=4×4n−14−1=43×4n−1．
【考点】
数列的应用
二项式定理的应用
等比数列的前n项和
等比数列的通项公式
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)数列an的首项为1，
若an为常数列，
则an=1，
所以fn=Cn1+Cn2+⋯+Cnn=2n−1．
(2)若数列an是公比为3的等比数列，
所以an=a1⋅qn−1=3n−1，
所以fn=Cn1+3Cn2+⋯+3n−1Cnn，
所以3fn+1=1+3n=4n，
所以Sn=4×4n−14−1=43×4n−1．
【答案】
解：(1)f′x=1x−1=1−xx，
当01时，f′x0可得0