2020-2021学年河南省信阳市某校高二（下）3月月考数学（文）试卷

这是一份2020-2021学年河南省信阳市某校高二（下）3月月考数学（文）试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 复数z=1−i1+i的虚部是（ ）
A.iB.1C.−iD.−1

2. 在某次飞行航程中遭遇恶劣气候，55名男乘客中有24名晕机，34名女乘客中有8名晕机．在检验这些乘客晕机是否与性别相关时，常采用的数据分析方法是( )
A.频率分布直方图B.回归分析
C.独立性检验D.用样本估计总体

3. 用反证法证明命题：“若a，b∈R，且a2+b2=0，则a，b全为0”时，要做的假设是（ ）
A.a≠0且b≠0B.a，b不全为0
C.a，b中至少有一个为0D.a，b中只有一个为0

4. 由①张晓丽是高二(1)班的学生，②张晓丽是独生子女，③高二(1)班的学生都是独生子女，写一个“三段论”形式的推理，则大前提，小前提和结论分别为( )
A.②①③B.②③①C.①②③D.③①②

5. 若复数z满足(2+i)z=3i（i为虚数单位），则z的共轭复数为( )
A.1−2iB.2−iC.1+2iD.2+i

6. 为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线y=bx+a近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（ ）

A.线性相关关系较强，b的值为1.25
B.线性相关关系较强，b的值为0.83
C.线性相关关系较强，b的值为−0.87
D.线性相关关系太弱，无研究价值

7. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为( )

A.105B.15C.245D.945

8. 下列推理属于演绎推理的是( )
A.由圆的性质可推出球的有关性质
B.由等边三角形、等腰直角三角形的内角和是180∘，归纳出所有三角形的内角和都是180∘
C.某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分
D.金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电

9. 在疫情冲击下，地摊经济有利于缓解部分失业人群的燃眉之急，2020年5月底中央开始鼓励地摊经济．某地摊的日盈利y（单位：百元）与当天的平均气温x（单位： ​∘C) 之间有如下数据：
若y与x具有线性相关关系，则y与x的线性回归方程y=bx+a必过的点为( )
A.22,3B.22,5C.24,3D.24,5

10. 若有一段演绎推理：“大前提：对任意实数a，都有(na)n=a．小前提：已知a=−2为实数．结论：(4−2)4=−2．”这个结论显然错误，是因为（ ）
A.推理形式错误B.小前提错误C.大前提错误D.非以上错误

11. 下列说法：
①残差可用来判断模型拟合的效果；
②若回归方程y=3−5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；
③线性回归直线：y=bx+a必过(x, y)；
④在一个2×2列联表中，由计算得k2=13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系(其中P(k2≥10.828)=0.001)；
其中错误的个数是( )
A.0B.1C.2D.3

12. 已知函数f(x)=sinx+csx，若f1(x)=f′(x)，fn+1(x)=fn′(x)(n∈N+)，则f2019(π3)=（ ）
A.3+12B.3−12C.1−32D.−3+12
二、填空题

复数z满足(1+i)z=|3−i|，则z的共轭复数z=________．

已知2+23=223，3+38=338，4+415=4415，…，类比这些等式，若7+ab=7ab（a，b均为正整数），则a+b=________．

甲、乙、丙三位同学中只有一人会拉小提琴，
甲说：我会；
乙说：我不会；
丙说：甲不会；
如果这三人中有且只有一人说真话，由此可判断会拉小提琴的是________．

给出下列命题：
①线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；
②由变量x和y的数据得到其回归直线方程l:y=bx+a，则l一定经过点P(x,y)；
③从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
④将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
⑤在回归直线方程y=0.1x+104中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量y平均增加0.1个单位，
其中真命题的序号是________．
三、解答题

已知m∈R，复数z=(m2+5m+6)+(m2−2m−15)i．
(1)若z是实数，求m的值；

(2)若z对应的点在第一象限，求m的取值范围．

证明下列各题：
(1)求证： 2−3>6−5；

(2)用综合法或分析法证明：若a,b>0，则lga+b2≥lga+lgb2.

2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占23，而男生共55人，其中有10人表示对冰球运动没有兴趣．
(1)试列出2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球运动是否有兴趣与性别有关”？

(2)已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率．
附表：
K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)


(1)△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c．求证： 1a+b+1b+c=3a+b+c；

(2)已知：x，y，z为互不相等的实数，且x+1y=y+1z=z+1x，求证： x2y2z2=1.

在直角坐标系xOy中，直线C1：y=3x，圆C2:(x−1)2+(y−2)2=5，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；

(2)若直线C3的极坐标方程为θ=π6ρ∈R，设C1与C2的交点为O，A，圆C2与C3的交点为O，B，求△OAB的面积．

某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动．该农场采用了延长光照时间的方案，该农场选取了20间大棚（每间一亩）进行试点，得到各间大棚产量数据绘制成散点图．光照时长为x（单位：小时），大棚蔬菜产量为y（单位：千斤每亩），记w=lnx．

(1)根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d⋅lnx，哪一个适宜作为大棚蔬菜产量y关于光照时长x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；

(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（结果保留小数点后两位）

(3)根据实际种植情况，发现上述回归方程在光照时长位于6∼14小时内拟合程度良好，利用(2)中所求方程估计当光照时长为e2小时（自然对数的底e≈2.71828），大棚蔬菜亩产约为多少？
参数数据：
参考公参考公式： β关于α的线性回归方程β=m⋅α+n中，
m=i=1nαiβi−nα⋅βi=1nαi2−nα2,n=β−m⋅α.
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省信阳市某校高二（下）3月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
复数的运算
【解析】
利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．
【解答】
解：复数z=1−i1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i2=−i，
则z的虚部为−1．
故选D.
2.
【答案】
C
【考点】
独立性检验的应用
【解析】
根据题意，利用题目中的数据列2×2列联表，求观测值K2，对照数表得出概率结论，是独立性检验．
【解答】
解：根据题意，结合题目中的数据，列出2×2列联表，
求出观测值K2=89×(624−248)232×57×55×34≈3.69，
再对照临界值数表可得出结论；
这种分析数据的方法是独立性检验．
故选C．
3.
【答案】
B
【考点】
反证法
【解析】
把要证结论否定即可．
【解答】
解：用反证法证明命题：“若a，b∈R，且a2+b2=0，则a，b全为0”时，
要做的假设是：要证结论的反面，即 a，b不全为0.
故选B.
4.
【答案】
D
【考点】
演绎推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据三段论的定义得，大前提为：高二(1)班的学生都是独生子女，小前提是张晓丽是高二(1)班的学生，结论是张晓丽是独生子女.
故选D.
5.
【答案】
A
【考点】
复数代数形式的乘除运算
共轭复数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：z=3i2+i=i(2−i)=2i+1，
∴ z=1−2i.
故选A.
6.
【答案】
B
【考点】
利用散点图识别两变量之间关系
【解析】
根据散点图中点的分布特点即可得到结论．
【解答】
解：由散点图可得，点的分布比较集中在一条直线赋值，∴ 语文成绩和英语成绩之间具有线性相关关系，
且线性相关关系较强，由于所有的点都在直线y=x的下方，
∴ 回归直线的斜率小于1，
故结论最有可能成立的是B，
故选B．
7.
【答案】
A
【考点】
循环结构的应用
【解析】
分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S的值，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，即可得到结果
【解答】
解：模拟执行程序框图，S=1，i=1，
T=2+1=3，S=1×3=3，i=2，
不满足条件，T=4+1=5，S=3×5=15，i=3，
不满足条件，T=6+1=7，S=15×7=105，i=4，
由题意，此时满足条件，退出循环，输出S=105.
故选A.
8.
【答案】
D
【考点】
归纳推理
类比推理
演绎推理
【解析】
本题考查的是演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．
【解答】
解：A，由圆的性质类比推出球的有关性质，这是类比推理，故A不符合题意；
B，由等边三角形、直角三角形的内角和是180∘，归纳出所有三角形的内角和都是180∘，是归纳推理，故B不符合题意；
C，某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分，是归纳推理，故C不符合题意；
D，金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电，这是三段论推理，属于演绎推理，故D符合题意．
故选D．
9.
【答案】
A
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ x=20+22+24+21+235=22,
y=1+3+6+2+35=3，
∴ 本组数据的样本中心点是(22,3),
∴ y与x的线性回归方程y=bx+a必过的点为(22,3).
故选A.
10.
【答案】
C
【考点】
演绎推理的基本方法
【解析】
本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是逻辑错误．
【解答】
解：对任意实数a，都有(na)n=a，若a0，m2−2m−15>0，
解得m5.
∴ m的取值范围为m5.
【考点】
复数的基本概念
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
（1）利用纯虚数的定义和性质求解．
（2）利用z在复平面内对应的点位于第三象限的性质求解．
【解答】
解：(1)若z是实数，
则m2−2m−15=0，
解得m=−3，或m=5.
(2)若z在复平面内对应的点位于第一象限，
则m2+5m+6>0，m2−2m−15>0，
解得m5.
∴ m的取值范围为m5.
【答案】
证明：(1)原式可化为2+5>6+3，
要证明2+5>6+3，
只需证明(2+5)2>(6+3)2，
即证9+45>9+62，
即证45>62，
即证80>72，
∵ 80>72恒成立，
∴ 2+5>6+3，即2−3>6−5.
(2)要证lga+b2≥lga+lgb2，
只需证lga+b2≥lgab2，
即证2lga+b2≥lgab，
即证lg(a+b2)2≥lgab，
即证(a+b2)2≥ab，
即证a2+b2+2ab≥4ab，
即证（a−b）2≥0，
∵ a>0，b>0，
∴ （a−b）2≥0恒成立，
∴ lga+b2≥lga+lgb2.
【考点】
反证法
【解析】
无
无
【解答】
证明：(1)原式可化为2+5>6+3，
要证明2+5>6+3，
只需证明(2+5)2>(6+3)2，
即证9+45>9+62，
即证45>62，
即证80>72，
∵ 80>72恒成立，
∴ 2+5>6+3，即2−3>6−5.
(2)要证lga+b2≥lga+lgb2，
只需证lga+b2≥lgab2，
即证2lga+b2≥lgab，
即证lg(a+b2)2≥lgab，
即证(a+b2)2≥ab，
即证a2+b2+2ab≥4ab，
即证（a−b）2≥0，
∵ a>0，b>0，
∴ （a−b）2≥0恒成立，
∴ lga+b2≥lga+lgb2.
【答案】
解：(1)根据已知数据得到如下列联表：
根据列联表中的数据，
得K2=100×(45×15−10×30)255×45×75×25=10033≈3.03，
K2≈3.03>2.70，
所以有90%的把握认为“对冰球运动是否有兴趣与性别有关”.
(2)记这5人中对冰球运动有兴趣的3人分别为A，B，C，
对冰球运动没有兴趣的2人分别为m，n，
则从这5人中随机抽取3人，
有(A,m,n)，(B,m,n)，(C,m,n)，(A,B,m)，(A,B,n)，
(B,C,m)，(B,C,n)，(A,C,m)，(A,C,n)，(A,B,C)，
共10种情况，
其中3人都对冰球运动有兴趣的情况有(A,B,C)，1种，
2人对冰球运动有兴趣的情况有
(A,B,m)，(A,B,n)，(B,C,m)，(B,C,n)，
(A,C,m)，(A,C,n)，6种，
所以至少2人对冰球运动有兴趣的情况有7种，
因此，所求事件的概率P=710．
【考点】
独立性检验
古典概型及其概率计算公式
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
本题主要考查统计案例及古典概型．
【解答】
解：(1)根据已知数据得到如下列联表：
根据列联表中的数据，
得K2=100×(45×15−10×30)255×45×75×25=10033≈3.03，
K2≈3.03>2.70，
所以有90%的把握认为“对冰球运动是否有兴趣与性别有关”.
(2)记这5人中对冰球运动有兴趣的3人分别为A，B，C，
对冰球运动没有兴趣的2人分别为m，n，
则从这5人中随机抽取3人，
有(A,m,n)，(B,m,n)，(C,m,n)，(A,B,m)，(A,B,n)，
(B,C,m)，(B,C,n)，(A,C,m)，(A,C,n)，(A,B,C)，
共10种情况，
其中3人都对冰球运动有兴趣的情况有(A,B,C)，1种，
2人对冰球运动有兴趣的情况有
(A,B,m)，(A,B,n)，(B,C,m)，(B,C,n)，
(A,C,m)，(A,C,n)，6种，
所以至少2人对冰球运动有兴趣的情况有7种，
因此，所求事件的概率P=710．
【答案】
证明：(1)要证 1a+b+1b+c=3a+b+c ，
只需证 a+2b+ca+bb+c=3a+b+c，
即证 3a+bb+c=a+2b+ca+b+c ，
即证 3ab+3ac+3b2+3bc=a2+3ab+2b2
+3bc+2ac+c2，
即证 a2+c2−b2−ac=0，
∵ △ABC 三个内角A，B，C成等差数列，
∴A+C=2B， 3B=180∘ ，
∴B=60∘,
∴csB=a2+c2−b22ac=12,
∴a2+c2−b2=ac,
∴a2+c2−b2−ac=0 恒成立,
∴ 1a+b+1b+0=3a+b+c.
(2) ∵x+1x=y+1z，
∴x−y=1z−1y=y−zzy，
∴zy=y−zx−y，
同理 xz=z−xy−z，
xy=y−xx−z，
∵x，y，z为互不相等的实数，
∴x2y2z2=y−zx−y⋅z−xy−z⋅y−xx−z =1.
【考点】
等差数列的性质
余弦定理
反证法
【解析】
1
1
【解答】
证明：(1)要证 1a+b+1b+c=3a+b+c ，
只需证 a+2b+ca+bb+c=3a+b+c，
即证 3a+bb+c=a+2b+ca+b+c ，
即证 3ab+3ac+3b2+3bc=a2+3ab+2b2
+3bc+2ac+c2，
即证 a2+c2−b2−ac=0，
∵ △ABC 三个内角A，B，C成等差数列，
∴A+C=2B， 3B=180∘ ，
∴B=60∘,
∴csB=a2+c2−b22ac=12,
∴a2+c2−b2=ac,
∴a2+c2−b2−ac=0 恒成立,
∴ 1a+b+1b+0=3a+b+c.
(2) ∵x+1x=y+1z，
∴x−y=1z−1y=y−zzy，
∴zy=y−zx−y，
同理 xz=z−xy−z，
xy=y−xx−z，
∵x，y，z为互不相等的实数，
∴x2y2z2=y−zx−y⋅z−xy−z⋅y−xx−z =1.
【答案】
解：(1)由题意，因为x=ρcsθ，y=ρsinθ，代入y=3x，
可得C1的极坐标方程为sinθ−3csθ=0，解得θ=π3ρ∈R，
由C2:x−12+y−22=5，可化为x2+y2−2x−4y=0，
代入可得C2的极坐标方程为ρ2−2ρcsθ−4ρsinθ=0.
即ρ−2csθ−4sinθ=0.
(2)将θ=π3代入ρ−2csθ−4sinθ=0，解得ρ1=1+23，
将θ=π6代入ρ−2csθ−4sinθ=0，解得ρ2=2+3，
故△OAB的面积为12×1+23×2+3×sinπ6=2+534．
【考点】
圆的极坐标方程
参数方程与普通方程的互化
【解析】
（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式，代入即可求解曲线C1,C2的直角坐标方程；
(2)将θ=π3和θ=π6代入曲线C2的极坐标方程，求得ρ1=1+23和ρ2=2+3，即可求解三角形的面积．
【解答】
解：(1)由题意，因为x=ρcsθ，y=ρsinθ，代入y=3x，
可得C1的极坐标方程为sinθ−3csθ=0，解得θ=π3ρ∈R，
由C2:x−12+y−22=5，可化为x2+y2−2x−4y=0，
代入可得C2的极坐标方程为ρ2−2ρcsθ−4ρsinθ=0.
即ρ−2csθ−4sinθ=0.
(2)将θ=π3代入ρ−2csθ−4sinθ=0，解得ρ1=1+23，
将θ=π6代入ρ−2csθ−4sinθ=0，解得ρ2=2+3，
故△OAB的面积为12×1+23×2+3×sinπ6=2+534．
【答案】
解：(1)由散点图可知，y=c+d⋅lnx适宜作为大棚蔬菜产量y关于光照时长x的回归方程类型.
(2)记w=lnx，则y=c+d⋅lnz化为y=dw+c,
w=120i=120wi=2.6，y=120i=120yi=120×102.4=5.12，
由表中数据可知，d=i=120wiyi−20wyi=120wi2−20w2=272.1−20×2.7×5.12137−20×2.62=5.861.8≈3.26，
c=y−dw=3.12−3.26×2.6≈−3.36,
y关于x的回归方程为y=3.26lnx−3.36.
(3)在y=3.26lnx−3.36中，取x=e2，
可得：y=3.26lne2−3.36=6.52lne−3.36=3.16，
估计当光照时长为e2时，大棚蔬菜亩产约为3.16（千斤）．
【考点】
散点图
求解线性回归方程
可线性化的回归分析
【解析】
（1）y=c+d⋅lnx适宜作为大棚蔬菜产量y关于光照时长x的回归方程类型；

（2）y关于x的回归方程为y=3.26lnx−3.35；

（3）估计当光照时长为e2时，代入方程求解即可．
【解答】
解：(1)由散点图可知，y=c+d⋅lnx适宜作为大棚蔬菜产量y关于光照时长x的回归方程类型.
(2)记w=lnx，则y=c+d⋅lnz化为y=dw+c,
w=120i=120wi=2.6，y=120i=120yi=120×102.4=5.12，
由表中数据可知，d=i=120wiyi−20wyi=120wi2−20w2=272.1−20×2.7×5.12137−20×2.62=5.861.8≈3.26，
c=y−dw=3.12−3.26×2.6≈−3.36,
y关于x的回归方程为y=3.26lnx−3.36.
(3)在y=3.26lnx−3.36中，取x=e2，
可得：y=3.26lne2−3.36=6.52lne−3.36=3.16，
估计当光照时长为e2时，大棚蔬菜亩产约为3.16（千斤）．
有兴趣
没兴趣
合计
男
女
合计
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.02
0.01
k0
2.07
2.70
3.84
5.02
6.63
有兴趣
没有兴趣
合计
男
45
10
55
女
30
15
45
合计
75
25
100
有兴趣
没有兴趣
合计
男
45
10
55
女
30
15
45
合计
75
25
100