2020-2021学年安徽省某校高二（下）4月月考数学（理）试卷

这是一份2020-2021学年安徽省某校高二（下）4月月考数学（理）试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知fx=ln2x+1−ax，且f′2=−1，则a=( )
A.−35B.65C.75D.−45

2. 曲线x2=4y在点2,t处的切线方程为( )
A.y=−2x+5B.y=2x−3C.y=−x+3D.y=x−1

3. 下列推理是类比推理的是( )
A.A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆
B.由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜想出椭圆x2a2+y2b2=1的面积为S=πab
C.由a1=1，an=3n−1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
D.以上均不正确

4. 有一段演绎推理是这样的“若函数fx的图象在区间D上是一条连续不断的曲线，且f′x0=0，则fx在点x0处取得极值；已知函数fx=x3在R上是一条连续不断的曲线，且f′0=0，则fx在点x=0处取得极值”对于以上推理，说法正确的是( )
A.推理形式错误，结论错误B.小前提错误，结论错误
C.大前提错误，结论错误D.该段演绎推理正确，结论正确

5. 设函数fx=1+sin2x，则limΔx→0f(Δx)−f(0)Δx等于( )
A.−2B.2C.3D.0

6. 《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著. 在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推，在这个问题中，长儿的年龄为( )
A.35B.32C.23D.38

7. 如图，两曲线y=3−x2与y=x2−2x−1所围成的图形面积是( )

A.6B.3C.12D.9

8. 已知函数f(x)=ex(a−csx)在R上单调递增，则a的取值范围为( )
A.[2,+∞)B.(−∞,−2]C.[1, +∞)D.(−∞, −1]

9. 如图是导函数y=f′(x)的图象，在标记的点( )处，函数y=f(x)有极大值．

A.x2B.x4C.x5D.x3

10. 设a为正实数，函数fx=x3−3ax2+2a2，若∀x∈a,2a，fxn+22（n≥2，n∈N+）的过程中，由n=k推导n=k+1时，不等式的左边增加的式子是( )
A.12k+1B.12k+1+12k+2+⋯+12k+1
C.12k+1+12k+2+⋯+12k+kD.12k+1

12. 设f′(x)是函数f(x)的导函数，且f′(x)>2f(x)(x∈R)，f(12)=e（e为自然对数的底数），则不等式f(lnx)13，ln3>13+15，ln4>13+15+17，⋯⋯，根据上述规律，第n个不等式应该为________.


设n为正整数，fn=1+12+13+⋯+1n，计算得f2=32，f4>2，f8>52，f16>3，观察上述结果，按照上面规律，可推测f128>________.

已知函数f(x)=x−2f′(1)ln(x+1)−f(0)ex，则f(x)的单调递减区间为________．
三、解答题

请在综合法，分析法，反证法中选择两种不同的方法证明：
(1)求证：对于任意角θ，cs4θ−sin4θ=cs2θ；

(2)22−7>10−3.

已知函数f(x)=ax3+bx2−3x在x=−1和x=3处取得极值．
(1)求a，b的值；

(2)求f(x)在[−4, 4]内的最值．

随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无法抽出时间来享受美味，这样网上外卖订餐应运而生．若某商家的一款外卖便当每月的销售量y（单位：千盒）与销售价格x（单位：元/盒）满足关系式y=ax−12+4x−162，其中12|AB|（其中a为常数），则点P的轨迹为椭圆，是演绎推理．
对于B，由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜想出椭圆x2a2+y2b2=1的面积为S=πab，是类比推理；
对于C，由a1=1，an=3n−1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式，是归纳推理.
故选B.
4.
【答案】
C
【考点】
演绎推理的基本方法
【解析】
当函数fx为常值函数时，则fx在点x0处取得极值不正确，故大前提错误．
【解答】
解：当函数fx为常值函数时，
则若函数fx的图象在区间D上是一条连续不断的曲线，且f′x0=0，
则fx在点x0处取得极值不正确，
故大前提错误，则其结论也错误．
故选C．
5.
【答案】
B
【考点】
导数的运算
【解析】
本题考查导数运算及定义．
【解答】
解：f(x)=1+sin2x，
∴f′(x)=2cs2x，f′(0)=2，
limΔx→0f(Δx)−f(0)Δx=f′(0)=2.
故选B．
6.
【答案】
A
【考点】
等差数列的前n项和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：依题意得，这位公公的儿子的年龄成等差数列，
且公差d=−3，前9项和S9=207，
因为Sn=na1+n(n−1)2d，
所以S9=9a1+9×82×(−3)
=9a1−108=207，
解得a1=35.
故选A.
7.
【答案】
D
【考点】
定积分
定积分的简单应用
【解析】
依据图形得到积分从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．
【解答】
解：对于y=3−x2，当y=0时，x=±3，
对于y=x2−2x−1，当y=0时，x=1±2，
联立方程得到y=3−x2，y=x2−2x−1， 解得x=−1或x=2，
∴ 两曲线y=3−x2与y=x2−2x−1所围成的图形面积
S=−33 (3−x2)dx−1−21+2 (x2−2x−1)dx
−−3−1 (3−x2)dx−−11−2 (x2−2x−1)dx
+32 (3−x2)dx+21+2 (x2−2x−1)dx
=103+23−83+62+83−23+173−62=9.
故选D.
8.
【答案】
A
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
由题意可得f′(x)＝ex(a−csx+sinx)≥0恒成立，分离系数可得a≥csx−sinx，结合不等式的恒成立与最值的最值的相互转化关系可求．
【解答】
解：因为f(x)=ex(a−csx)在R上单调递增，
所以f′(x)=ex(a−csx+sinx)≥0恒成立，
即a≥csx−sinx．
令g(x)=csx−sinx，
又g(x)=csx−sinx=2cs(x+π4)，
即g(x)∈[−2,2]，
所以a≥2．
故选A.
9.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
由导函数y=f′(x)的图象，分析出函数y=f(x)的单调性，进而根据极大值的定义得到答案．
【解答】
解：由导函数y=f′(x)的图象，可得
当x0，此时函数y=f(x)为增函数；
当x313+15+17+⋯+12n+1.
故答案为：ln(n+1)>13+15+17+⋯+12n+1.
【答案】
92
【考点】
归纳推理
【解析】
（1）利用已知式子进行转化，寻找相应的规律，进而求解即可.
【解答】
解：已知f(2)=32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3 ，
可得f(21)=1+22，f(22)>2+22 ，f(23)>3+22，f(24)>4+22 ，
以此类推可得f(2n)≥n+22，
已知27=128，
所以f(128)>7+22=92.
故答案为：92.
【答案】
(−1, 0]
【考点】
利用导数研究函数的单调性
导数的运算
【解析】
先求导，再令x＝1，求出函数的解析式，再根据导数和函数的单调性的关系即可求出．
【解答】
解：∵ f(x)=x−2f′(1)ln(x+1)−f(0)ex，
∴ f′(x)=1−2f′(1)⋅1x+1−f(0)ex，
令x=1可得f′(1)=1−2f′(1)⋅12−f(0)e，
由f(0)=−f(0)，
∴ f(0)=0，
∴ f′(1)=1−f′(1)，
∴ f′(1)=12，
∴ f(x)=x−ln(x+1)，x>−1，
∴ f′(x)=1−1x+1≤0，
解得−110−3，
即证22+3>10+7，
即证22+32>10+72，
即证17+122>17+270，
即证122>270，
即证62>70，
即证622=72>702=70，显然成立，问题得证．
（综合法）由22−7=122+7，且10−3=110+3，
由2210−3，
即证22+3>10+7，
即证22+32>10+72，
即证17+122>17+270，
即证122>270，
即证62>70，
即证622=72>702=70，显然成立，问题得证．
（综合法）由22−7=122+7，且10−3=110+3，
由220，函数fx单调递增；
在403,16上，f′x0，函数fx单调递增；
在403,16上，f′x0，
当a≤0时， f′x0时，令f′x