2022年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：数与式（含答案）

这是一份2022年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：数与式（含答案），共19页。试卷主要包含了阅读下列材料，的值，其中x＝，y＝﹣1，之间的距离；等内容，欢迎下载使用。
2022年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：数与式
一．解答题（共10小题）
1．（2021秋•徐闻县期末）阅读下列材料：
材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）
（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
2．（2021秋•通川区期末）已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为6，0，﹣4，动点P从A出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动．
（1）当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时，点P在数轴上表示的数是 ；
（2）另一动点R从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多少时间追上点R？
（3）若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度．

3．（2021秋•湘潭县期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：S＝，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即p＝．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所有这个公式也叫“海伦﹣秦九韶公式”．
请你利用公式解答下列问题．
（1）在△ABC中，已知AB＝5，BC＝6，CA＝7，求△ABC的面积；
（2）计算（1）中△ABC的BC边上的高．
4．（2021秋•赵县期末）有这样一道计算题：3x2y+[2x2y﹣（5x2y2﹣2y2）]﹣5（x2y+y2﹣x2y2）的值，其中x＝，y＝﹣1．小明同学把“x＝”错看成“x＝﹣”，但计算结果仍正确；小华同学把“y＝﹣1”错看成“y＝1”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明．
5．（2021秋•罗庄区期末）我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就能用图1或图2等图形的面积表示：
（1）请你写出图3所表示的一个等式： ．
（2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2．
6．（2021春•南海区校级月考）学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1．
（1）利用多项式与多项式相乘的法则，计算：（a+2b）（a+b）＝ ；
（2）选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应取 张B型卡片才能用他们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是 （用含a，b的代数式表示）；
（3）选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为 ；
（4）选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复的叠放长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，且MN≠0．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2，若S1﹣S2＝3b2，则a与b有什么关系？请说明理由．

7．（2021秋•泰宁县期中）我们规定，若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数．
（1）若3与x是关于1的平衡数，5﹣与y是关于1的平衡数，求x，y的值；
（2）若（m+）×（1﹣）＝﹣2n+3（﹣1），判断m+与5n﹣是否是关于1的平衡数，并说明理由．
8．（2020秋•奉化区校级期末）阅读理解：|5|＝|5﹣0|，它在数轴上的意义可以理解为：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离；
|6﹣3|＝3，它在数轴上的意义可以理解为：表示6的点与3的点之间的距离为3；
类似的：|﹣6﹣3|＝ ，它在数轴上的意义表示的 点与 的点之间的距离是 ，并在下面数轴上标出这两个数，画出它们之间的距离．

归纳：|a﹣b|它在数轴上的意义表示的 点与的 点之间的距离．
应用：|a+5|＝1，它在数轴上的意义表示 的点与 的点之间的距离为1，所以a的值为 ．
9．（2021秋•皇姑区校级月考）观察下列一组等式，解答后面的问题：
（+1）（﹣1）＝1，（+）（﹣）＝1，（+）（﹣）＝1，（+）（﹣）＝1，…
（1）根据上面的规律，计算下列式子的值：
（）（+1）．
（2）利用上面的规律，比较与的大小．
10．（2020秋•罗湖区校级期末）如图，在数轴上点A表示的数a、点B表示数b，a、b满足|a﹣30|+（b+6）2＝0．点O是数轴原点．

（1）点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，线段AB的长为 ．
（2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，使AC＝2BC，则点C在数轴上表示的数为 ．
（3）现有动点P、Q都从B点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P移动到O点时，点Q才从B点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点P到达A点时，点Q就停止移动，设点P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两点相距4个单位长度？

2022年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：数与式（10题）
参考答案与试题解析
一．解答题（共10小题）
1．（2021秋•徐闻县期末）阅读下列材料：
材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）
（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等；因式分解﹣运用公式法．
【专题】计算题；整式．
【分析】（1）利用十字相乘法变形即可得；
（2）①根据材料2的整体思想可以对（x﹣y）2+4（x﹣y）+3分解因式；
②根据材料1和材料2可以对m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3分解因式．
【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；

（2）①令A＝x﹣y，
则原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3），
所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）；
②令B＝m2+2m，
则原式＝B（B﹣2）﹣3
＝B2﹣2B﹣3
＝（B+1）（B﹣3），
所以原式＝（m2+2m+1）（m2+2m﹣3）
＝（m+1）2（m﹣1）（m+3）．
【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，可以根据材料中的例子对所求的式子进行因式分解．
2．（2021秋•通川区期末）已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为6，0，﹣4，动点P从A出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动．
（1）当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时，点P在数轴上表示的数是 1 ；
（2）另一动点R从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多少时间追上点R？
（3）若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度．

【考点】数轴．
【专题】方程思想．
【分析】（1）根据中点坐标公式即可求解；
（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点R，于是得到AC＝6x BC＝4x，AB＝10，根据AC﹣BC＝AB，列方程即可得到结论；
（3）线段MN的长度不发生变化，理由如下分两种情况：①当点P在A、B之间运动时②当点P运动到点B左侧时，求得线段MN的长度不发生变化．
【解答】解：（1）（6﹣4）÷2＝1．
故点P在数轴上表示的数是1；
故答案为：1；
（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点R，
则AC＝6x BC＝4x，AB＝10，
∵AC﹣BC＝AB，
∴6x﹣4x＝10，
解得x＝5，
∴点P运动5秒时，追上点R；
（3）线段MN的长度不发生变化，理由如下分两种情况：
①当点P在A、B之间运动时（如图①）：MN＝MP+NP＝AP+BP＝（AP+BP）＝AB＝5．
②当点P运动到点B左侧时（如图②），
MN＝PM﹣PN＝AP﹣BP＝（AP﹣BP）＝AB＝5．
综上所述，线段MN的长度不发生变化，其长度为5．


【点评】主要考查了一元一次方程的应用、数轴，以及线段的计算，解决问题的关键是根据题意正确画出图形，要考虑全面各种情况，不要漏解．
3．（2021秋•湘潭县期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：S＝，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即p＝．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所有这个公式也叫“海伦﹣秦九韶公式”．
请你利用公式解答下列问题．
（1）在△ABC中，已知AB＝5，BC＝6，CA＝7，求△ABC的面积；
（2）计算（1）中△ABC的BC边上的高．
【考点】二次根式的应用．
【分析】（1）由三角形的边角命名修改找出a、b、c的值，代入海伦公式即可得出结论；
（2）由三角形的面积S＝底×高÷2，代入数据，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AB＝5，BC＝6，CA＝7，
∴a＝6，b＝7，c＝5，p＝＝9，
∴△ABC的面积S＝＝6．
（2）设BC边上的高为h，
则×6×h＝6，
解得h＝2．
【点评】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是明白海伦公式的运用，代入数据即可．
4．（2021秋•赵县期末）有这样一道计算题：3x2y+[2x2y﹣（5x2y2﹣2y2）]﹣5（x2y+y2﹣x2y2）的值，其中x＝，y＝﹣1．小明同学把“x＝”错看成“x＝﹣”，但计算结果仍正确；小华同学把“y＝﹣1”错看成“y＝1”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明．
【考点】整式的加减—化简求值．
【专题】计算题．
【分析】原式去括号合并得到最简结果，即可作出判断．
【解答】解：原式＝3x2y+2x2y﹣5x2y2+2y2﹣5x2y﹣5y2+5x2y2＝﹣3y2，
结果不含x，且结果为y2倍数，
则小明与小华错看x与y，结果也是正确的．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（2021秋•罗庄区期末）我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就能用图1或图2等图形的面积表示：
（1）请你写出图3所表示的一个等式： （a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2 ．
（2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2．
【考点】多项式乘多项式．
【专题】作图题．
【分析】（1）由题意得：长方形的面积＝长×宽，即可将长和宽的表达式代入，再进行多项式的乘法，即可得出等式；
（2）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的长和宽的表达式，即可画出图形．
【解答】解：（1）∵长方形的面积＝长×宽，
∴图3的面积＝（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2，
故图3所表示的一个等式：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2，
故答案为：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2；

（2）∵图形面积为：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2，
∴长方形的面积＝长×宽＝（a+b）（a+3b），
由此可画出的图形为：

【点评】本题考查了多项式的乘法的运用以及由多项式画图形的创新题型．
6．（2021春•南海区校级月考）学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1．
（1）利用多项式与多项式相乘的法则，计算：（a+2b）（a+b）＝ a2+3ab+2b2 ；
（2）选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应取 4 张B型卡片才能用他们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是 a+2b （用含a，b的代数式表示）；
（3）选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为 （a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2 ；
（4）选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复的叠放长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，且MN≠0．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2，若S1﹣S2＝3b2，则a与b有什么关系？请说明理由．

【考点】完全平方公式的几何背景；多项式乘多项式．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【分析】（1）根据多项式与多项式相乘的法则即可进行计算；
（2）根据正方形的性质即可解决问题；
（3）利用正方形的面积即可解决问题；
（4）设MN＝x，根据题意可得S1＝（a﹣b）（x﹣a+b）＝ax﹣bx﹣a2+2ab﹣b2，S2＝3b（x﹣a）＝3bx﹣3ab，根据S1﹣S2＝3b2，列出等式，整理后得a﹣4b＝0，﹣a2+5ab﹣b2＝3b2，进而可以解决问题．
【解答】解：（1）（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2；
故答案为：a2+3ab+2b2；
（2）根据题意可知：a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，
∴应取4张B型卡片才能用他们拼成一个新的正方形，
∴此新的正方形的边长是a+2b，
故答案为：4，a+2b；
（3）根据题意可知：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，
故答案为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
（4）设MN＝x，
根据题意，得
S1＝（a﹣b）（x﹣a+b）＝ax﹣bx﹣a2+2ab﹣b2，
S2＝3b（x﹣a）＝3bx﹣3ab，
∵S1﹣S2＝3b2，
∴ax﹣bx﹣a2+2ab﹣b2﹣（3bx﹣3ab）＝3b2，
∴（a﹣4b）x﹣a2+5ab﹣b2＝3b2，
∴a﹣4b＝0，﹣a2+5ab﹣b2＝3b2，
∴a＝4b，a2﹣5ab+4b2＝0，
∴（a﹣b）（a﹣4b）＝0，
∴a＝4b或a＝b（舍去），
∴a＝4b．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，解决本题的关键是掌握完全平方公式．
7．（2021秋•泰宁县期中）我们规定，若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数．
（1）若3与x是关于1的平衡数，5﹣与y是关于1的平衡数，求x，y的值；
（2）若（m+）×（1﹣）＝﹣2n+3（﹣1），判断m+与5n﹣是否是关于1的平衡数，并说明理由．
【考点】二次根式的加减法．
【专题】新定义；二次根式；运算能力．
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）将已知等式化简可得，m+2n﹣2﹣m＝0，然后分三种情况分别列式计算：①当m和n均为有理数时，②当m和n中一个为有理数，另一个为无理数时，③当m和n均为无理数时，当m+5n＝2时，进而可得结论．
【解答】解：（1）根据题意可知：3+x＝2，
解得x＝﹣1，
5﹣+y＝2，
解得y＝﹣3+；
（2）（m+）×（1﹣）＝﹣2n+3（﹣1），
∴m﹣m+﹣3＝﹣2n+3﹣3，
∴m+2n﹣2﹣m＝0，
①当m和n均为有理数时，
则有m+2n＝0，﹣2﹣m＝0，
解得：m＝﹣2，n＝1，
当m＝﹣2，n＝1时，
m++5n﹣＝﹣2++5﹣＝3≠2，
所以m+与5n﹣不是关于1的平衡数；
②当m和n中一个是有理数，另一个是无理数时，
m++5n﹣＝m+5n，而此时m+5n为无理数，故m+5n≠2，
所以m+与5n﹣不是关于1的平衡数；
③当m和n均为无理数时，当m+5n＝2时，
∵m+2n﹣2﹣m＝0，
解得m＝，n＝，
使得m+与5n﹣是关于1的平衡数，
当m≠，n≠时，
m+与5n﹣不是关于1的平衡数，
综上可得：当m＝，n＝时，m+与5n﹣是关于1的平衡数，否则m+与5n﹣不是关于1的平衡数．
【点评】本题考查了二次根式的加减法，解决本题的关键是掌握分母有理化的方法．
8．（2020秋•奉化区校级期末）阅读理解：|5|＝|5﹣0|，它在数轴上的意义可以理解为：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离；
|6﹣3|＝3，它在数轴上的意义可以理解为：表示6的点与3的点之间的距离为3；
类似的：|﹣6﹣3|＝ 9 ，它在数轴上的意义表示的 ﹣6 点与 3 的点之间的距离是 9 ，并在下面数轴上标出这两个数，画出它们之间的距离．

归纳：|a﹣b|它在数轴上的意义表示的 a 点与的 b 点之间的距离．
应用：|a+5|＝1，它在数轴上的意义表示 a 的点与 ﹣5 的点之间的距离为1，所以a的值为 ﹣4或﹣6 ．
【考点】数轴；绝对值．
【专题】数形结合；实数；数感．
【分析】根据数轴上两个点之间的距离等于这两个数差的绝对值即可求解．
【解答】解：类似的：|﹣6﹣3|＝9，表示﹣6的点与3的点之间的距离为 9，
如图：

故答案为9、﹣6、3、9．
归纳：|a﹣b||它在数轴上的意义表示a的点与b的点之间的距离．
故答案为a、b．
应用：|a+5|＝1，它在数轴上的意义表示a的点与﹣5的点之间的距离为1．
所以 a的值﹣4或﹣6．
故答案为a、﹣5、﹣4或﹣6．
【点评】本题考查了数轴和绝对值，解决本题的关键是数形结合思想的运用．
9．（2021秋•皇姑区校级月考）观察下列一组等式，解答后面的问题：
（+1）（﹣1）＝1，（+）（﹣）＝1，（+）（﹣）＝1，（+）（﹣）＝1，…
（1）根据上面的规律，计算下列式子的值：
（）（+1）．
（2）利用上面的规律，比较与的大小．
【考点】二次根式的混合运算；实数大小比较；规律型：数字的变化类．
【专题】计算题．
【分析】（1）利用分母有理化得到原式＝（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）（+1），然后合并后利用平方差公式计算；
（2）通过比较它们的倒数进行判断．
【解答】解：（1）原式＝（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）（+1）
＝（﹣1）（+1）
＝2016﹣1
＝2015；
（2）∵＝+，
＝+，
而+＜+，
∴﹣＞﹣．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
10．（2020秋•罗湖区校级期末）如图，在数轴上点A表示的数a、点B表示数b，a、b满足|a﹣30|+（b+6）2＝0．点O是数轴原点．

（1）点A表示的数为 30 ，点B表示的数为 ﹣6 ，线段AB的长为 36 ．
（2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，使AC＝2BC，则点C在数轴上表示的数为 6或﹣42 ．
（3）现有动点P、Q都从B点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P移动到O点时，点Q才从B点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点P到达A点时，点Q就停止移动，设点P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两点相距4个单位长度？
【考点】实数与数轴；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【专题】图表型；分类讨论．
【分析】（1）根据偶次方以及绝对值的非负性即可求出a、b的值，可得点A表示的数，点B表示的数，再根据两点间的距离公式可求线段AB的长；
（2）分两种情况：点C在线段AB上，点C在射线AB上，进行讨论即可求解；
（3）分0＜t≤6、6＜x≤9和9＜t≤36三种情况考虑，根据两点间的距离公式结合PQ＝4即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵|a﹣30|+（b+6）2＝0，
∴a﹣30＝0，b+6＝0，
解得a＝30，b＝﹣6，
AB＝30﹣（﹣6）＝36．
故点A表示的数为30，点B表示的数为﹣6，线段AB的长为36．
（2）点C在线段AB上，
∵AC＝2BC，
∴AC＝36×＝24，
点C在数轴上表示的数为30﹣24＝6；
点C在射线AB上，
∵AC＝2BC，
∴AC＝36×2＝72，
点C在数轴上表示的数为30﹣72＝﹣42．
故点C在数轴上表示的数为6或﹣42；
（3）经过t秒后，点P表示的数为t﹣6，点Q表示的数为，
（i）当0＜t≤6时，点Q还在点B处，
∴PQ＝t﹣6﹣（﹣6）＝t＝4；
（ii）当6＜x≤9时，点P在点Q的右侧，
∴（t﹣6）﹣[3（t﹣6）﹣6]＝4，
解得：t＝7；
（iii）当9＜t≤36时，点P在点Q的左侧，
∴3（t﹣6）﹣6﹣（t﹣6）＝4，
解得：t＝11．
综上所述：当t为4秒、7秒和11秒时，P、Q两点相距4个单位长度．
故答案为：30，﹣6，36；6或﹣42．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、两点间的距离公式、绝对值以及偶次方的非负性，根据两点间的距离公式结合点之间的关系列出一元一次方程是解题的关键，本题属于中档题，难度不大，但解题过程稍显繁琐，细心仔细是得分的关键．

考点卡片
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
3．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．
4．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
5．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
6．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
7．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
8．整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
9．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
10．完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形

（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
11．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
12．因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）

②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
13．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
14．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
15．二次根式的应用
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．
二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．