2022年中考数学复习之挑战压轴题（填空题）：数与式（含答案）

这是一份2022年中考数学复习之挑战压轴题（填空题）：数与式（含答案），共15页。试卷主要包含了的值是 等内容，欢迎下载使用。
1．（2014春•金堂县期末）已知a、b、c为三角形的三边，且则a2+b2+c2＝ab+bc+ac，则三角形的形状是 ．
2．（2021•乐山模拟）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”．如记：
k＝1+2+3+…+（n﹣1）+n；（x+k）＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；（x+k）＝（x+3）+（x+4）+（x+5）；…
若（x﹣k）（x﹣k+1）＝3x2﹣15x+m，则m＝ ，n＝ ．
3．（2021秋•孝南区期末）已知，|a|＝﹣a，，|c|＝c，化简|a+b|+|a﹣c|+|b﹣c|＝ ．
4．（2020春•建平县期末）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：
（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；
（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；
…
根据以上规律，解答下列问题：
（1）（a+b）4展开式共有 项，系数分别为 ；
（2）（a+b）n展开式共有 项，系数和为 ．

5．（2019春•吴江区期中）已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是 ．
6．对任意的四个有理数a，b，c，d，定义运算＝ad﹣bc，则的相反数是 ，倒数的绝对值是 ．
7．（2021春•清苑区期末）现有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片（a＜b＜a），如图1；取出两张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成的图案如图2；再重新用三张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成的图案如图3．则图3中阴影部分的面积为 （用含有a，b的代数式表示）；已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大2ab﹣15，则小正方形卡片的面积是 ．

8．已知a+＝﹣2，则＝ ，＝ ．
9．（2014春•大邑县校级期中）已知a，b，c是不为0的实数，且，那么的值是 ．
10．如图，若一个表格的行数代表关于x的整式的次数，列数代表关于x的整式的项数（规定单项式的项数为1），那么每个关于x的整式均会对应表格中的某个小方格，若关于x的整式A是三次二项式，则A对应表格中标“★”的小方格．已知B也是关于x的整式，下列说法
①若B对应的小方格行数是3，则A+B对应的小方格列数可能是4
②若A﹣B对应的小方格列数是5，则B对应的小方格行数可能是3
③若B对应的小方格列数是3，则A•B对应的小方格行数至少是5
④若A•B对应的小方格列数为3，则B对应的小方格的列数一定是2
所有正确说法的序号是 ．

2022年中考数学复习之挑战压轴题（填空题）：数与式（10题）
参考答案与试题解析
一．填空题（共10小题）
1．（2014春•金堂县期末）已知a、b、c为三角形的三边，且则a2+b2+c2＝ab+bc+ac，则三角形的形状是 等边三角形 ．
【考点】因式分解的应用．
【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2，利用配方法变形，得（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，再利用非负数的性质求解即可．
【解答】解：∵a2+b2+c2＝ab+bc+ac，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，
∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0，
∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2＝0，
即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
【点评】本题考查了配方法的应用，用到的知识点是配方法、非负数的性质、等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题
2．（2021•乐山模拟）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”．如记：
k＝1+2+3+…+（n﹣1）+n；（x+k）＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；（x+k）＝（x+3）+（x+4）+（x+5）；…
若（x﹣k）（x﹣k+1）＝3x2﹣15x+m，则m＝ 20 ，n＝ 4 ．
【考点】多项式乘多项式；数学常识；整式的加减．
【专题】新定义；整式；运算能力．
【分析】根据二次项的系数为3，可得n＝4，然后列出算式进行计算，再根据常数项相等解答即可．
【解答】解：∵二次项的系数为3，
∴可以判断有三项，
∴n＝4，
∴（x﹣2）（x﹣1）+（x﹣3）（x﹣2）+（x﹣4）（x﹣3）＝3x2﹣15x+m，
∴x2﹣3x+2+x2﹣5x+6+x2﹣7x+12＝3x2﹣15x+m，
∴3x2﹣15x+20＝3x2﹣15x+m，
∴m＝20．
故答案为：20，4．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，根据二次项的系数判断出有三项是解题的关键．
3．（2021秋•孝南区期末）已知，|a|＝﹣a，，|c|＝c，化简|a+b|+|a﹣c|+|b﹣c|＝ 2c﹣2a﹣2b ．
【考点】整式的加减；绝对值．
【专题】计算题．
【分析】由已知的等式判断出a，b及c的正负，进而确定出a+b，a﹣c与b﹣c的正负，利用绝对值的代数意义化简，即可得到结果．
【解答】解：∵|a|＝﹣a，＝﹣1，即|b|＝﹣b，|c|＝c，
∴a≤0，b＜0，c≥0，
∴a+b＜0，a﹣c≤0，b﹣c＜0，
则原式＝﹣a﹣b+c﹣a+c﹣b＝2c﹣2a﹣2b．
故答案为：2c﹣2a﹣2b
【点评】此题考查了整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．
4．（2020春•建平县期末）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：
（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；
（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；
…
根据以上规律，解答下列问题：
（1）（a+b）4展开式共有 5 项，系数分别为 1，4，6，4，1 ；
（2）（a+b）n展开式共有 （n+1） 项，系数和为 2n ．

【考点】完全平方公式．
【专题】规律型．
【分析】经过观察发现，这些数字组成的三角形是等腰三角形，两腰上的数都是1，从第3行开始，中间的每一个数都等于它肩上两个数字之和，展开式的项数比它的指数多1．根据上面观察的规律很容易解答问题．
【解答】解：（1）展开式共有5项，展开式的各项系数分别为1，4，6，4，1，
（2）展开式共有n+1项，系数和为2n．
故答案为：（1）5；1，4，6，4，1；（2）（n+1），2n．
【点评】本题考查完全平方式．本题主要是根据已知与图形，让学生探究，观察规律，锻炼学生的思维，属于一种开放性题目．
5．（2019春•吴江区期中）已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是 6 ．
【考点】因式分解的应用．
【专题】探究型；整体思想；应用意识．
【分析】根据完全平方公式分解因式后整体代入即可求解．
【解答】解：a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）
＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac
＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2
＝（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2
＝1+4+1
＝6
故答案为6．
【点评】本题考查了分解因式的应用，解题关键是整体思想的运用．
6．对任意的四个有理数a，b，c，d，定义运算＝ad﹣bc，则的相反数是 3 ，倒数的绝对值是 ．
【考点】倒数；相反数；绝对值．
【分析】先根据新定义计算出该式的值，再根据相反数、倒数、绝对值计算可得．
【解答】解：∵＝（﹣1）2015×2﹣12015×（﹣1）2014＝﹣1×2﹣1×1＝﹣3，
∴它的相反数为3，其倒数的绝对值为|﹣|＝，
故答案为：3，．
【点评】本题主要考查相反数、倒数、绝对值，根据新定义计算出该式的值是关键．
7．（2021春•清苑区期末）现有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片（a＜b＜a），如图1；取出两张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成的图案如图2；再重新用三张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成的图案如图3．则图3中阴影部分的面积为 （a﹣b）2 （用含有a，b的代数式表示）；已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大2ab﹣15，则小正方形卡片的面积是 5 ．

【考点】列代数式．
【专题】计算题；整式；几何直观；运算能力．
【分析】图2中阴影正方形的边长为（2b﹣a），面积就是（2b﹣a）2；图3中两个阴影部分的面积可以上下拼在一起，也是个正方形，其边长是（a﹣b），面积就是（a﹣b）2．再根据等量关系列方程就可以得出含有a、b的关系式了．
【解答】解：图2中阴影部分是正方形，它的边长是（2b﹣a），
所以它的面积就是（2b﹣a）2．
图3中阴影部分可以上下拼合到一起，其边长就是（a﹣b），
所以它的面积就可以表示为：（a﹣b）2．
又因为图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大2ab﹣15，
所以可得：
（2b﹣a）2+2ab﹣15＝（a﹣b）2，
4b2﹣4ab+a2+2ab﹣15＝a2+b2﹣2ab，
3b2＝15，
b2＝5，
故小正方形的面积是5．
【点评】本题考查列代数式的能力，用字母表示阴影部分的面积．再根据等量关系进行推导．
8．已知a+＝﹣2，则＝ 2 ，＝ 0 ．
【考点】完全平方公式．
【专题】计算题．
【分析】已知a+＝﹣2，两边分别平方可求得，再进行求解即可得出答案．
【解答】解：∵a+＝﹣2，两边平方得：＝2，
∴对其两边进行平方得；＝2，
∵＝（）（）＝（a+）（a﹣）×2，
∵＝﹣2＝2﹣2＝0，
∴a﹣＝0，
故（a+）（a﹣）×2＝0．
故答案为：2，0．
【点评】本题考查了完全平方公式，难度适中，关键是熟练灵活运用完全平方公式进行解题．
9．（2014春•大邑县校级期中）已知a，b，c是不为0的实数，且，那么的值是 ．
【考点】分式的基本性质．
【专题】计算题．
【分析】将已知条件进行变换，然后将分式代简，即可得出结果．
【解答】解：∵＝，
∴＝3，即+＝3①；
同理可得+＝4②，
+＝5③；
∴①+②+③得：2（++）＝3+4+5；++＝6；
又∵的倒数为，即为++＝6，则原数为．
故答案为．
【点评】本题先把已知式子转化为倒数计算，可使计算简便．
10．如图，若一个表格的行数代表关于x的整式的次数，列数代表关于x的整式的项数（规定单项式的项数为1），那么每个关于x的整式均会对应表格中的某个小方格，若关于x的整式A是三次二项式，则A对应表格中标“★”的小方格．已知B也是关于x的整式，下列说法
①若B对应的小方格行数是3，则A+B对应的小方格列数可能是4
②若A﹣B对应的小方格列数是5，则B对应的小方格行数可能是3
③若B对应的小方格列数是3，则A•B对应的小方格行数至少是5
④若A•B对应的小方格列数为3，则B对应的小方格的列数一定是2
所有正确说法的序号是 ①③④ ．

【考点】规律型：图形的变化类；整式；单项式；多项式．
【专题】规律型；整式；推理能力．
【分析】根据多项式的项数的定义可判定A+B的列数，进而可判定①；由多项式的次数的定义可判定B的次数，即可判定②；由A，B的次数可判定A•B的次数，进而可判定③；根据多项式的次数与项数的定义可判定B的列数．
【解答】解：①B的行数是3，则B的最高次数为3，当B含有4项时，A+B的列数为4，故①正确；
②A﹣B对应的小方格列数是5，则A﹣B为五项式，当B的次数为3时，A﹣B最多为四项式，故②错误；
③B对应的小方格列数是3，则B的最高次数至少为2次，则A•B对应的小方格行数至少是5，故③正确；
④A•B对应的小方格列数为3，则B不可能是一项式，当B是三项式时，B的次数至少为2次，则A•B至少为四项，故B对应的列数一定是2，故④正确．
综上所述，正确的有①③④．
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查整式，多项式，图形的变化规律，掌握多项式的项数，次数的定义是解题的关键．
考点卡片
1．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
2．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
3．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．

【规律方法】求相反数、倒数的方法
注意：0没有倒数．
4．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
5．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
6．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
7．整式
（1）概念：单项式和多项式统称为整式．
他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数．
（2）规律方法总结：
①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字．
②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论．
8．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
9．多项式
（1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
（2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
10．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
11．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
12．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
13．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
14．分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
求一个数的相反数
求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数
求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置