内蒙古鄂尔多斯市准格尔旗2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷（含解析）

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 内蒙古鄂尔多斯市准格尔旗2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷 一．选择题（本题共10小题吧，共30分）垃圾混置是垃圾，垃圾分类是资源下列可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾四种垃圾回收标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A.  B.  C.  D. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标是A.  B.  C.  D. 下列事件中，是必然事件的是A. 人中有两个人的生日在同一天
B. 两条线段可以组成一个三角形
C. 早上的太阳从西方升起
D. 打开电视机，它正在放动画片如图，下列条件不能判定与相似的是A.
B.
C.
D.
 如图，已知为的直径，过点的弦平行于半径，若弧的度数是，则的度数是A.
B.
C.
D. 如图，是的弦，且，点是弧中点，点是优弧上的一点，，则圆心到弦的距离等于A.
B.
C.
D. 一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有人会做这项实验，若设人每次能教会名同学，则可列方程为A.  B.
C.  D. 三点确定一个圆；平分弦的直径平分弦所对的弧；同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等；在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为；从上述个命题中任取一个，是真命题的概率是A.  B.  C.  D. 如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：；；；一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个如图，在平面直角坐标系中放置，，点现将沿轴的正方向无滑动翻转，依次得到，，连续翻转次，则经过三顶点的抛物线解析式为
 B.
C.  D. 二．填空题（本题共6小题吧，共18分）在平面直角坐标系中，将点绕坐标原点顺时针旋转后得点，则点的坐标为______．已知圆锥的侧面展开的扇形面积是，扇形的圆心角是，则这个圆锥的底面圆的半径是______．已知是一元二次方程的一个根，则代数式______．如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，，则的度数为______．
  已知点，分别在的边，上，，，的面积之比为：：，，，则的长为______．如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到，连接，，则的最小值是______．
  三．计算题（本题共1小题吧，共8分）已知关于的方程．
当 ______时，方程是一元二次方程；
若方程有两个实数根，求的取值范围．






 四．解答题（本题共7小题吧，共64分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．
画出绕原点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
在的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积结果保留．







 为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团分别用字母，，，依次表示这四个社团，并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小明从中随机抽取一张卡片是足球社团的概率是____．小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团的概率．






 为等边内的一点，，，，将绕点顺时针旋转到位置．
判断的形状，并说明理由；
求的度数．

  






 如图，是的直径，与交于点，弦平分，，垂足为．
试判断直线与的位置关系，并说明理由；
若的半径为，，求线段的长．

  






 某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量个与销售单价元有如下关系：设这种双肩包每天的销售利润为元．求与之间的函数关系式；这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于元，该商店销售这种双肩包每天要获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？






 已知抛物线经过点、，与轴交于点，连接．

求抛物线的解析式；
在直线上方抛物线上取一点，过点作轴交边于点，求的最大值；
在直线上方抛物线上取一点，连接，交于点，当：：时，求点的坐标．






 【问题背景】如图，在和中，，，由已知可以得到：
______≌______；
______∽______．
【尝试应用】如图，在和中，，，
求证：∽．
【问题解决】如图，在和中，，，与相交于点，点在上，，求的值．








答案和解析 1.【答案】
 【解析】解：、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 2.【答案】
 【解析】解：将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度即可得到抛物线，即其顶点坐标是．
故选：．
根据函数图象平移的法则进行解答．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减．左加右减”的法则是解答此题的关键．
 3.【答案】
 【解析】解：、人中有两个人的生日在同一天属于必然事件，故此选项符合题意；
B、两条线段可以组成一个三角形，是不可能事件，故此选项不合题意；
C、早上太阳从西方升起，这个事件为不可能事件，故此选项不合题意；
D、打开电视机，有可能正在播放动画片，也有可能播放其他节目，这是随机事件，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用随机事件、必然事件的定义分别分析得出答案．
此题主要考查了随机事件、必然事件的定义，事件分为确定事件和不确定事件随机事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
必然事件发生的概率为，即必然事件；
不可能事件发生的概率为，即不可能事件；
如果为不确定事件随机事件，那么．
 4.【答案】
 【解析】解：由图可得：，
当或或时，与相似，也可以；
选项中角不是成比例的两边的夹角．
故选：．
本题中已知是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可做出判断．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形判定条件是解决问题的关键．
 5.【答案】
 【解析】解：连接．

弧的度数是，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，利用圆周角定理求出，再利用平行线的性质求出，可得结论．
本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
 6.【答案】
 【解析】解：如图，

连接、，交于点，
点是弧中点，，
，且，
，
，
，
，
故圆心到弦的距离为．
故选：．
根据题意连接、，交于点，根据垂径定理推出，且，再由圆周角定理推出，从而根据直角三角形的性质进行求解即可．
本题考查圆周角定理及垂径定理，解题的关键是根据题意作出辅助线，，从而根据垂径定理和圆周角定理进行求解，注意数形结合思想方法的运用．
 7.【答案】
 【解析】解：设平均每节课一人教会人，根据题意可得：
，
即：，
故选：．
设平均每节课一人教会人，根据题意表示出两节课教会的人数，进而得出答案．
此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意表示出两节课教会的人数是解题关键．
 8.【答案】
 【解析】解：不在同一直线上的三点可以确定一个圆，故说法错误，是假命题；
平分弦非直径的直径平分弦所对的弧，所以错误，是假命题；
在同圆或等圆中，弦相等，所对的圆心角相等，所以正确，是真命题；
在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为，所以错误，是假命题．
其中真命题有个，所以是真命题的概率是：，
故选：．
先根据确定圆的条件对进行判断；根据垂径定理的推论对进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对进行判断；根据弧长公式对进行判断．然后利用概率公式进行计算即可．
本题考查了真假命题的判断及概率公式，解题的关键是：先判断命题的真假．
 9.【答案】
 【解析】解：抛物线顶点坐标为，
抛物线对称轴为直线，
图象与轴的一个交点在，之间，
图象与轴另一交点在，之间，
时，，
即，
故正确，符合题意．
抛物线对称轴为直线，
，
，
时，，
故正确，符合题意．
抛物线顶点坐标为，
有两个相等实数根，
，
，
故正确，符合题意．
的最大函数值为，
没有实数根，
故正确，符合题意．
故选：．
根据图象开口向下，对称轴为直线可得抛物线与轴另一交点坐标在，之间，从而判断由对称轴为直线可得与的关系，将代入函数解析式根据图象可判断由有两个相等实数根可得，从而判断由函数最大值为可判断．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 10.【答案】
 【解析】解：过点作轴，垂足为，

，点，
，，
，
三角形有三条边，连续翻转次是一个循环，，
与位置相同，一个周期长为，
是直角三角形，
是的面积，
，
，
，
，
，，，
设过、、的抛物线解析式为，
把代入中得：
，
解得：，
过、、的抛物线解析式为，
将抛物线向右平移四个循环，得抛物线为，
故选：．
过点作轴，垂足为，根据已知可得的三边长，再根据三角形有三条边，可得连续翻转次是一个循环，，从而可得与位置相同，一个周期长为，然后求出、、的坐标，利用待定系数法求出过、、的抛物线解析式，最后利用向右平移个单位即可解答．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，规律型：点的坐标，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，以及抛物线的平移是解题的关键．
 11.【答案】
 【解析】解：将点绕原点旋转得到的点，
点和点关于原点对称，
点的坐标为，
的坐标为．
故答案为：．
根据题意可得，点和点关于原点对称，据此求出的坐标即可．
本题考查了坐标与图形变化旋转，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
 12.【答案】
 【解析】解：设扇形的半径为，圆锥的底面半径为．
由题意，，
解得或舍弃，
扇形的弧长圆锥底面圆的周长，
，
，
故答案为：．
设扇形的半径为，圆锥的底面半径为利用扇形的面积公式求出，再根据扇形的弧长圆锥底面圆的周长，构建方程求出即可．
本题考查圆锥的计算，弧长公式，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 13.【答案】
 【解析】解：将代入方程，
得，
即，
故答案为：．
将代入原方程即可求的值．
此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，解题时应注意把当成一个整体，利用了整体的思想．
 14.【答案】
 【解析】解：连接，如图：

是半圆的直径，
，
，
．
故答案为：．
连接，先根据圆周角定理得到，，即可得到的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
 15.【答案】
 【解析】解：如图，

：：，
：：，
：：：：，
：：，
：：，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
同理可证：∽，
，
，
，
∽，
，
：：，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据，，的面积之比为：：，可得出：：，：：，则可证明，利用平行线的性质与相似三角形的判定可得∽与∽，根据相似三角形判定可推出，计算后可得出结论．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握平行线的判定与相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
 16.【答案】
 【解析】解：连接，过点作交延长线于点，

将绕点顺时针旋转到，
，且，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
点在的射线上运动，
作点关于的对称点，
，，
，
，
，
，
是的角平分线，
即点在的角平分线上运动，
点在的延长线上，
当、、三点共线时，最小，
在中，，，
，
的最小值为，
故答案为：．
连接，过点作交延长线于点，通过证明≌，确定点在的射线上运动；作点关于的对称点，由三角形全等得到，从而确定点在的延长线上；当、、三点共线时，最小，在中，，，求出即可．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，轴对称求最短路径；能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．
 17.【答案】
 【解析】解：由一元二次方程的定义可得，
解得；
故答案为：；
方程有实数根，
，
且．
根据一元二次方程的定义，必须满足，据此即可求解．
根据根的判别式列出不等式，解不等式即可
本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立；也考查了一元二次方程的定义．
 18.【答案】解：如图，为所作，点的坐标是；
点，
，
线段在旋转过程中扫过的面积
 【解析】利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点、即可；
先计算出，然后根据扇形的面积公式计算．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了扇形面积计算．
 19.【答案】解：；
列表如下：     由表可知共有种等可能结果，小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团的结果数为种，
所以小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团的概率为．
 【解析】 【分析】
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
直接根据概率公式求解；
利用列表法展示所有种等可能性结果，再找出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】
解：一共有张卡片，每张卡片被抽到的可能性相同，故小明从中随机抽取一张卡片是足球社团的概率为；
故答案为；
见答案．  20.【答案】解：是等边三角形；
理由如下：绕点顺时针旋转到位置，
，，，
是等边三角形；
是等边三角形，
，，
，
，
是直角三角形，，
．
 【解析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．
根据旋转的性质得，，，则利用等边三角形的判定方法可判断是等边三角形；
利用是等边三角形得到，，然后利用勾股定理的逆定理可证明是直角三角形，，再计算即可．
 21.【答案】解：直线与相切．
连结，

平分，
，
，
，
，
，
，即，
，即，
是的切线；
过作于，
，
，，
，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，
，
．
 【解析】欲证明是的切线，只要证明即可；
过作于，得到，根据直角三角形的性质得到，得到，推出四边形是菱形，得到，，于是得到结论．
本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
 22.【答案】解：


，
与之间的函数解析式；
根据题意得：，
，函数有最大值，
当时，有最大值，最大值是．
当时，，
解得，，
由题意得：，
，不符合题意，舍去，，
答：该商店销售这种双肩包每天要获得元的销售利润，销售单价应定为元．
 【解析】本题考查了二次函数的应用；得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键；利用配方法或公式法求得二次函数的最值问题是常用的解题方法．
每天的销售利润每天的销售量每件产品的利润，据此列出函数关系式即可；
将中的二次函数解析式配方为顶点式，根据二次函数的性质可得答案；
根据题意将代入二次函数解析式，转化为一元二次方程求解可得答案，注意检验是否符合题意．
 23.【答案】解：把点、代入中可得：
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
当时，，
，
设直线的解析式为：，
把，代入中可得：
，
解得：，
直线的解析式为：，
过点作轴交于点，

设点坐标为，
则点坐标为，



，
的最大值是；
：：，
：：，
过点作轴交于点，

，，
∽，
，
，
，
设点坐标为，则点坐标为，

，
，
解得：，，
点的坐标为或．
 【解析】把点、代入中，进行计算即可解答；
先求出点坐标，再求出直线的解析式，过点作轴交于点，然后设点坐标为，则点坐标为，从而求出的长度，利用配方法求出的最大值即可；
根据题意可得：：，过点作轴交于点，然后利用字模型相似三角形证明∽，从而可得，再利用的思路求出，然后进行计算即可解答．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，以及字模型相似三角形是解题的关键．
 24.【答案】     
 【解析】【问题背景】和是等腰直角三角形，
∽，
，
，，
≌，
故答案为：≌；∽．
【尝试应用】∽，
，，
，
∽；
【问题解决】连接，

由【尝试应用】知，∽，
，
，
∽，
，
，
，
，
．
【问题背景】根据全等三角形的判定和相似三角形的判定可得答案；
【尝试应用】由∽，得，，则，从而证明结论；
【问题解决】连接，利用两个角相等可证∽，得，得，且，从而解决问题．
本题想相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握基本几何模型--旋转型相似是解题的关键．