2021-2022学年湖北省武汉市江汉区四校联盟八年级（下）诊断数学试卷（3月份）（含解析）

2021-2022学年湖北省武汉市江汉区四校联盟八年级（下）诊断数学试卷（3月份）

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列式子中，是最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

2. 在直角坐标系中，点到原点的距离是

A.  B.  C.  D.

3. 下列运算正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 若成立，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

5. 在操场上，小明沿正东方向走后，沿第二个方向又走了，再沿第三个方向走回到原地，小明走的第二个方向是

A. 正西方向 B. 东北方向
C. 正南方向或正北方向 D. 东南方向

6. 若实数、满足等式，则

A.  B.  C.  D.

7. 若的三边长分别为、、，由下列条件不能判定为直角三角形的是

A.  B. ，，
C.  D. ：：：：

8. 若，，则

A.  B.  C.  D.

9. 已知等腰三角形的两边长为和，则此等腰三角形的周长为

A.  B.
C.  D. 或

10. 如图，中，，，，分别以三边为直径画半圆，则两个月形图案的面积之和阴影部分的面积是   

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12. 若最简二次根式与能合并成一项，则______．
13. 直角三角形两条边的长度分别为，，那么第三条边的长度是______．
14. 下列命题的逆命题成立的是______．
    同旁内角互补，两直线平行
    等边三角形是锐角三角形
    如果两个实数相等，那么它们的平方相等
    全等三角形的三条对应边相等
15. 已知已知，则 ______ ．
16. 如图，中，，是的边上的高，点是上动点，则的最小值是______．
    
    
     

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

17. 计算：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
18. 在中，，，，．
    已知，，求；
    已知，，求、．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，米长的一根木棒靠在墙上点处，落地点为，已知米．现从点处拉出一根铁丝点在线段上来加固该木棒．
    在图中画出铁丝最短时的情形，并求出此时铁丝的长度；
    如果落地点向墙角处移动米，则木棒上端上移是少于米，还是多于米？并说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
20. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图网格是由小正方形拼成，每个小正方形的边长都为．
    四边形的面积为______，周长为______；
    求证：是直角；
    若为直角三角形，则满足条件的格点有______个点不与点重合．
     

22. 已知：如图，在中，，过点作直线，点关于直线的对称点为，连接、，直线交直线于点．
    若，则______
    若，在备选图中补全图形，用等式表示等式、、之间的数量关系，并证明．

23. 【阅读思考】已知，求的最小值
    分析：如图，我们可以构造边长为的正方形，为边上的动点．设，则，那么可以用含的式子表示、，问题可以转化为与的和的最小值，用几何知识可以解答．
    的最小值为______；
    运用以上方法求：的最小值，其中、为两正数，且；
    借助上述的思考过程，求的最大值．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，在平面直角坐标系中，已知、．
    如图，若点在第一象限，，求证：；
    如图，若点在第二象限，，，，则______；
    如图，若点，点在轴的负半轴上，满足，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：、，被开方数含分母，不是最简二次根式；
B、，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式；
D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
故选：．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
被开方数不含分母；
被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
 

2.【答案】

【解析】

解：过作轴，连接，
，
，．
在中，根据勾股定理得：，
，则点在原点的距离为．
故选：．
在平面直角坐标系中找出点，过作垂直于轴，连接，由的坐标得出及的长，在直角三角形中，由及的长，利用勾股定理求出的长，即为到原点的距离．
此题考查了勾股定理，以及坐标与图形的性质，勾股定理为：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，灵活运用勾股定理是解本题的关键．
 

3.【答案】

【解析】

解：．与不能合并，所以选项错误；
B.原式，所以选项错误；
C.原式，所以选项错误；
D.原式，所以选项正确．
故选：．
利用二次根式的加减法对进行判断；根据二次根式的性质对进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

4.【答案】

【解析】

解：，
，
，
故选：．
根据二次根式的性质，利用以及绝对值的意义进行解答即可．
本题考查二次根式的性质与化简，掌握以及绝对值的意义是正确解答的前提．
 

5.【答案】

【解析】

解：如图，，，，
根据得：，
故小明向东走后，又走的方向是正南方向或正北方向，
故选：．
根据题意作出图形，利用勾股定理的逆定理判定直角三角形即可确定答案．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据题意作出图形，难度中等．
 

6.【答案】

【解析】

解：由题意得，，，
解得，，，
则，
故选：．
根据非负数的性质分别求出、，代入计算即可．
本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为时，则其中的每一项都必须等于是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

解：、，，
，
为直角三角形，故此选项不合题意；
B、，
不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
C、
，
，
为直角三角形，故此选项不合题意；
D、设，，，
，
解得：，
则，
是直角三角形，故此选项不合题意．
故选：．
根据三角形内角和定理可分析出、的正误；根据勾股定理逆定理可分析出、的正误．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

8.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式的性质和化简，注意被开方数是小数的要化成分数计算，且保证分母是完全平方数，根据进行化简．
先将被开方数化成分数，观察四个选项，再化简为，开方，注意要把化为，代入即可．
【解答】

解：，故ABD错误，C正确．
故选C．

9.【答案】

【解析】

解：
只能是腰长为
等腰三角形的周长．
故选B．
先由三角形的三边关系确定出第三边的长，再求周长．
本题考查了等腰三角形的性质：两腰相等，注意要用三角形的三边关系确定出第三边．
 

10.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查的是勾股定理，含度角的直角三角形，三角形的面积公式，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
根据含度角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，阴影部分的面积左右两个小半圆的面积的面积扇形的面积，代入数值解答即可．
【解答】
解：，，，
，
由勾股定理得，，
两个月形图案的面积之和．
故选A．  

11.【答案】

【解析】

解：由题意可得：，
解得：．
故答案为：．
直接利用二次根式的有意义的条件得出的取值范围，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
 

12.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查同类二次根式的概念，属于基础题．
根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于的方程，可得答案．
【解答】
解：，
由最简二次根式与能合并成一项，得
．
解得．
故答案为：．  

13.【答案】

或
 

【解析】

解：当这个直角三角形的两直角边分别为，时，
则该三角形的斜边的长为：．
当这个直角三角形的一条直角边为，斜边为时，
则该三角形的另一条直角边的长为：．
故答案为：或．
利用分类讨论的思想可知，此题有两种情况：一是当这个直角三角形的两直角边分别为，时；二是当这个直角三角形的一条直角边为，斜边为时．然后利用勾股定理即可求得答案．
此题主要考查学生对勾股定理的理解和掌握，注意分类讨论得出是解题关键．
 

14.【答案】

【解析】

解：同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，成立，符合题意；
等边三角形是锐角三角形的逆命题为锐角三角形是等边三角形，不成立，不符合题意；
如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题为平方相等的两个实数相等，不成立，不符合题意；
全等三角形的三条边对应相等的逆命题为三条边相等的三角形全等，成立，符合题意，
故答案为：．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
 

15.【答案】

【解析】

解：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据完全平方公式求出，再求出，最后开方即可．
本题考查了对完全平方公式的应用，注意：
 

16.【答案】

【解析】

解：过点作于点，

在中，，，
在中，，
，
，
当、、三点在同一直线上，且时取得最小值．
，，，
，
的最小值为．
故答案为．
过点作于点，先在中求出及，再在中利用得到，当当、、三点在同一直线上，且时其取得最小值，最小值为，计算即可求出结果．
此题是胡不归模型，涉及到等腰三角形的性质，直角三角形的性质、锐角三角函数等，解题关键是将转化成．
 

17.【答案】

解：


；



．
 

【解析】

先化简，再去括号，最后进行加减运算即可；
先化简，再算乘法，最后算除法即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
 

18.【答案】

解：，，，
；
，，
，
，
，
．
 

【解析】

根据勾股定理求解即可；
根据勾股定理及等腰直角三角形的性质求解即可．
本题考查了勾股定理及等腰直角三角形的性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
 

19.【答案】

解：过画的垂线即可．

在中，米，
，
，
此时铁丝的长度为米；

移动前米，移动后 米，
这时上移了米．
因为，
．
即木棒上端上移少于米．
 

【解析】

根据垂线段最短可得；
根据勾股定理分别求出移动前和移动后的长，相减即可求解；
考查了直角三角形的性质和勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
 

20.【答案】

解：原式


，
当时，
原式

．
 

【解析】

先化简分式，然后将的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
 

21.【答案】

【解析】

解：如图，
四边形的面积


，
由勾股定理得：，，，，
所以四边形的周长，
故答案为：，；

证明：，，，
，
是直角三角形，
是直角；

解：如图所示：满足条件的格点有个．
故答案为：．
根据四边形的面积，列式计算可求四边形的面积，根据勾股定理和周长的定义可求周长；
根据勾股定理的逆定理即可求解；
画出图形即可作出判断．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

22.【答案】

【解析】

解：如图中，连接．

，关于对称，
，
，
，
，
故答案为：；

图形如图所示，结论：．
理由：设，

，，
，
，，
，
，关于对称，
，
，
，
，
．
证明，求出的度数，可得结论；
根据要求作出图形，证明，利用勾股定理可得结论．
本题考查作图轴对称变换，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】

【解析】

解：作点关于的对称点，连接，则的最小值即为的长，

在中，由勾股定理得，，
故答案为：；
，
，
如图，，，，，，

则，
当点、、三点共线时，的最小值为的长，
作，交的延长线于，
，，
由勾股定理得，，
的最小值为；
，
如图，，，，，，

则，
当点、、三点共线时，的最大值为，
延长，交于，作于，
由勾股定理得，，
的最大值为．
作点关于的对称点，连接，则的最小值即为的长，利用勾股定理求出的长即可；
构造图形，使得则，当点、、三点共线时，的最小值为的长，作，交的延长线于，勾股定理求出的长即可；
构造图形，使得则，则当点、、三点共线时，的最大值为，延长，交于，作于，勾股定理求出即可．
本题是四边形综合题，主要考查了轴对称最短路线问题，勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合思想，学会利用转化思想解决问题．
 

24.【答案】

【解析】

证明：如图，过点作，交的延长线于 ，

，
，
，
在中，，
，
，
，
，，
，
在 和中，
，
≌，
，
，
；
如图，过点作，且使，过点作，交的延长线于点，

，
，
又，
≌，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
故答案为：；
如图，在轴上取点关于轴对称点，连接．

，
，
，
作于，
，，
，
，，
≌，
，
设，
在中，，
，
，
解得，
点
过点作，交的延长线于，，证明≌，由全等三角形的性质得出 ，则可得出结论；
过点作，且使，过点作，交的延长线于点，证明≌，得出，根据直角三角形的性质及勾股定理可得出答案；
在轴上取点关于轴对称点，连接证明≌，由全等三角形的性质得出，设，由勾股定理求出即可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．