2022届江西省八一中学等名校高三上学期期末联考数学（文）试题含解析

2022届江西省八一中学等名校高三上学期期末联考

数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先求出集合A，再由集合的交集运算可得答案,

【详解】由可得，即

所以.

故选:D.

2．在复平面内，复数z所对应点的坐标为，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题可知，然后利用复数的乘法及除法运算即得.

【详解】由题意知，

所以.

故选：A.

3．已知平面向量，，若，则实数的值为（       ）

A．10 B．8 C．5 D．3

【答案】A

【分析】由，得，将坐标代入化简计算可得答案

【详解】因为，，

所以.

因为，

所以，解得.

故选：A.

4．已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数单调性得到为真命题，结合余弦函数的有界性得到为假命题，故判断出，，为假命题，为真命题.

【详解】为递增函数，故，，故为真命题，

因为，所以不可能等于，所以为假命题，

所以，，为假命题，为真命题.

故选：C.

5．某同学为了求，设计了如图所示的程序框图，在该程序框图中，①和②两处应分别填入（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据流程图及最后输出的结果逐项判断后可得正确的选项.

【详解】对于A，第1次判断前，第2次判断前，

依次，最后一次判断前，，此时，终止循环，

故此时输出，不合题意.

对于C，第1次判断前，第2次判断前，

依次，最后一次判断前，，此时，终止循环，

故符合题意.

对于B，第1次判断前，第2次判断前，

依次，最后一次判断前，，此时，终止循环，

故此时输出，不合题意.

对于D，第1次判断前，第2次判断前，

依次，最后一次判断前，，此时，终止循环，

故此时输出，不合题意.

故选：C

6．在区域内任取一点，则满足的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，作出可行域的约束的平面区域，再结合几何概型求解即可.

【详解】解：画出区域（图中及内部），

区域内满足的区域为图中四边形的内部及边界（不包括），

且，，，

所以，所以，

故所求概率.

故选:B.

7．已知函数，则下列判断正确的是（       ）

A．的最小正周期为 B．的最大值为2

C．在上单调递增 D．的图象关于点对称

【答案】D

【分析】先对函数化简变形，然后根据三角函数的性质逐个分析判断即可

【详解】由题意得，

所以其最小正周期为，最大值为1，所以AB错误

对于C，由，得，所以函数的单调递增区间为，所以C错误，

对于D，因为，的图象关于点对称，所以D正确.

故选：D.

8．某文具店开业期间，用100根相同的圆柱形铅笔堆成横截面为“等腰梯形垛”的装饰品，其中最下面一层铅笔数为16根，从最下面一层开始，每一层的铅笔数比上一层的铅笔数多1根，则该“等腰梯形垛”最上面一层堆放的铅笔数为（       ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】B

【分析】从下到上各层的铅笔数构成公差为的等差数列，可得，求出可得答案.

【详解】记最下面一层铅笔数为，一共放层，从下到上各层的铅笔数构成公差为的等差数列，则，整理得，解得或.当时，；当时，，不合题意，舍去，故最上面一层堆放的铅笔数为9，

故选：B.

9．在长方体中，，，点，分别为，的中点，则与所成的角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用平移法，构造出异面直线所成的角，解三角形可得.

【详解】

如图，分别取，的中点，，连接，，，

∵，且，故四边形是平行四边形，故，

同理可证：，所以为所求的角（或其补角），又因为，，所以，故，所以.

故选：C.

10．已知（，且），则下列函数为奇函数的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先判断函数的对称性，再根据奇函数的性质，结合图象变换的性质进行判断即可.

【详解】因为，

所以的图象关于点对称，

故的图象向下平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，

即为奇函数.

故选：D.

11．已知点，分别为双曲线的左，右焦点，为的左支上一点，，若圆与直线相切，则的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据直线与圆相切可得等腰三角形底边上的高，再结合双曲线的定义可得的关系式，从而可求双曲线的离心率.

【详解】作，垂足为，

因为圆与直线相切，故.

因为，所以，而，

故三角形为等腰三角形，故，

又，即，所以，即.

故选：A.

12．已知实数x，y满足，则以下结论错误的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题可得，然后逐项分析即得.

【详解】由得，

所以，所以，故A正确；

，，所以，故B正确；

∵，故C正确：

由选项A，得.则；另一方面，，则，所以不成立，故D错误.

故选：D.

二、填空题

13．在等比数列中，若，，则_____________．

【答案】4

【分析】根据等比数列关系求出公比，利用即可得解.

【详解】在等比数列中，若，，设公比为q，

，

.

故答案为：4

【点睛】此题考查等比数列基本量的计算，根据等比数列基本量求解数列中的特定项，关键在于熟练掌握等比数列通项公式，根据公式准确计算求解.

14．蟋蟀鸣叫可以说是大自然的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率（每分钟鸣叫的次数）与气温（单位：℃）有着很大的关系.某观测人员由下列表中的观测数据计算出关于的线性回归方程，那么下表中的值为______.

【答案】51

【分析】将样本中心点代入回归方程即可.

【详解】，，代入，解得.

故答案为：51

15．已知点F为抛物线的焦点，点M为C上一点，点N为C的准线上一点，若为等边三角形，则的面积为___________.

【答案】

【分析】利用抛物线的性质，结合正三角形的性质和面积公式进行求解即可.

【详解】由题意知，则与准线垂直，又为正三角形，所以与准线所成的锐角为，由抛物线标准方程可知：焦点到准线的距离为，

所以，所以的面积为.

故答案为：

16．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.由于这个“圆柱容球”是阿基米德生前最引以为豪的发现，于是他留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.如图，在底面半径为1的圆柱内的球与圆柱的上、下底面及母线均相切，设，分别为圆柱的上、下底面圆周上一点，且与所成的角为90°，直线与球的球面交于两点，，则的值为______.

【答案】

【分析】由全等三角形得，取的中点为，在中求出后利用球的性质可得弦长．

【详解】连接，，，由，得，取的中点为，则；

,,,平面，

所以平面，而平面，所以，

因为，，所以；由及，得也是的中点，所以.

故答案为：．

三、解答题

17．在中，角，，的对边分别为，，，的面积为.

(1)求角的大小；

(2)若，，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据三角形面积公式和余弦定理得，进而得；

（2）由题知，进而结合正弦定理得，再计算面积即可得答案.

(1)

解：因为的面积为，

所以，

又，

所以，

所以，又，

所以.

(2)

解：因为，，

所以.

由正弦定理，得，所以，

所以的面积为.

18．为缓解城市垃圾带来的问题，许多城市实行了生活垃圾强制分类.为了加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成良好的垃圾分类的习惯，某学校团委组织了垃圾分类知识竞赛活动.设置了四个箱子，分别标有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”；另有写有垃圾名称的卡片若干张.每位参赛选手从所有写有垃圾名称的卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中.规定每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子得5分，放入其他箱子得0分.从所有参赛选手中随机抽取40人，将他们的得分分成以下5组：，，，，，绘成如下频率分布直方图：

(1)求得分的平均数（每组数据以中点值代表）；

(2)学校规定得分在80分以上的为“垃圾分类知识达人”.为促进社区的垃圾分类，学校决定从抽取的40人中的“知识达人”（其中含，两位同学）中选出两人利用节假日到社区进行垃圾分类知识宣讲，求，两人至少1人被选中的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用平均数公式即可求得结果；

（2）列出所有基本事件，利用古典概型概率公式计算即可求得结果.

(1)

由频率分布直方图可求得各组的频率自左到右依次为：0.1，0.15，0.3，0.25，0.2，

所以得分的平均数.

(2)

所抽取的40人中，得分在80分以上的有人，

由题意知，在8人之中，余下6人记作，，，，，，从中抽取2人的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共28个，

其中含有或的基本事件有，，，，，，，，，，，，，

共13个，故所求概率为.

19．如图，平面平面，是等边三角形，为的中点，，，.

(1)证明：；

(2)求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用面面垂直得到平面，再由勾股定理得到， ，

线面垂直的判断定理可得平面，可得；

（2）连接，，由（1）知平面，则到平面的距离等于到平面的距离，由可得答案.

(1)

因为，为的中点，所以，

因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，

因为，，所以，所以，同理，

因为，，平面，所以平面，所以.

(2)

连接，，由（1）知平面，则到平面的距离等于到平面的距离，所以，

作，垂足为，因为平面，平面，所以，

又，，平面，所以平面，

又，所以，

所以.

20．已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为，，过点任作一条直线，与交于异于，的，两点.

(1)设直线，的斜率分别为，，求证：为定值；

(2)设直线的斜率为，是否存在正常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，

【分析】（1）由题设知直线，的斜率存在且均不为0，设，将点的坐标代入椭圆方程中得，然后利用斜率公式计算化简可得答案，

（2）方法一：设，直线的方程为，代入椭圆方程中消去，整理利用根与系数的关系，再利用斜率公式计算的值，再结合（1）的结论可求得结果，方法二：设，直线的方程为，代入椭圆方程中消去，整理利用根与系数的关系，再利用斜率公式直接计算的值可得答案

(1)

证明：由题设知直线，的斜率存在且均不为0，，.

设，则，即.

所以为定值.

(2)

法一：设，直线的方程为，代入，整理得，显然，则，.

.

由（1），得，则，取.

综上，存在正常数，使得.

法二：设，直线的方程为，代入，并整理得，显然，则，.（※）因为，，

所以，

将（※）代入，得.

综上，存在正常数，使得.

21．已知函数.

(1)求过点且与曲线相切的切线方程；

(2)求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）求出导函数，计算，得切线斜率，由点斜式得切线方程并整理；

（2）设，由导数求得的最小值，证得，设，用导数求得有最小值，证得故，再结合不等式性质可得结论．

(1)

设曲线过点的切线为，且与曲线切于点.

由，得，所以，所以的斜率为，

所以的方程为.

因为过点，所以，解得，

故切线的方程为，即.

(2)

证明：要证即证.

设，则，

所以当时，；当时，，

所以在上为减函数，在上为增函数，

所以是的极小值点，也是的最小值点，且，

故（当且仅当时取等号）.

设，则，

所以当时，；当时，，

所以在上为减函数，在上为增函数，

所以是的极小值点，也是的最小值点，且，

故（当且仅当时取等号），所以.综上，.

22．在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l过点，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

(1)写出直线l的一个参数方程及曲线C的直角坐标方程；

(2)若l与C交于M，N两点，求的值.

【答案】(1)（t为参数）；；

(2).

【分析】（1）由题可得l的一个参数方程为，利用公式法可求曲线C的直角坐标方程；

（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用韦达定理即得.

(1)

因为l过点且倾斜角为，

所以l的一个参数方程为（t为参数）；

因为，所以，

又，

所以，即，

所以曲线C的直角坐标方程为.

(2)

将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得，

则，

设点M，N所对应的参数分别为，则，

由于，所以均大于0.

所以.

23．已知.

(1)解不等式；

(2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分别讨论，去掉绝对值，分别求出每个不等式的解集，再求并集即可.

（2）由题可得，再利用绝对值三角不等式求出，解不等式即可.

(1)

当时，可化为，解得，所以；

当时，可化为，解得，所以；

当时，可化为，解得，所以.

综上，不等式的解集为.

(2)

关于x的不等式在上恒成立等价于，

又，

当且仅当，即时等号成立，所以，

所以，解得.

故实数m的取值范围为.