第20题 函数与导数——【新课标全国卷（理）】2022届高考数学考点题号一对一

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 第20题 函数与导数—【新课标全国卷（理）】2022届高考数学二轮复习考点题号一对一1.已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论方程的实根个数.2.已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）讨论函数的零点个数.3.已知.（1）讨论的单调性；（2）若，证明：.4.已知函数.（1）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围.（2）若函数的图象在处的切线平行于x轴，则是否存在整数k，使不等式在时恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，请说明理由.5.已知函数，是的导函数.（1）求的极值；（2）当时，证明：.6.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，，证明：.7.已知函数.（1）当时，试判断函数的单调性；（2）若，且当时，恒成立，有且只有一个实数解，证明：.8.已知函数，其导函数的最大值为0.（1）求实数a的值；（2）若，证明：.9.已知函数.（1）求的单调区间；（2）若关于x的方程在上有两个不相等的实数根，求实数t的取值范围.10.已知函数的图象在点处的切线与直线平行.（1）求函数的极值；（2）若，，求实数m的取值范围.11.已知函数.（1）若，求c的取值范围；（2）设，讨论函数的单调性.12.设函数，已知是函数的极值点.（1）求a.（2）设函数，证明：.13.已知函数.（1）若，求函数在上的最值；（2）若，不等式在上有解，求a的取值范围.14.已知函数，．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）对任意，恒成立，求实数a的取值范围；15.已知函数，其中.
（1）若函数在区间（1，e）内存在零点，求实数a的取值范围；
（2）若对任意的，都有成立，求实数a的取值范围.
答案以及解析1.答案：(1).(2)有2个实根.解析：(1)因为，所以的定义域为，，
，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
(2)方程的实根个数即方程的实根个数.
设，则，
设，
易知在上单调递增，
因为，.
所以存在唯一的，使得，
当时，，即，
当时，，即，
故在上单调递减，在上单调递增.
由，得，
对两边同时取对数可得，
所以，
又，，，
所以在及上各有1个零点，
所以在及上各有1个零点，
所以方程有2个实根.2.答案：（1）在上单调递增，在上单调递减（2）当或时，有唯一零点；当时，没有零点；当时，有两个零点解析：（1）当时，，，令，则，所以在上是减函数.由于，所以当时，，即，当时，，即，所以在上单调递增，在上单调递减.（2）由于，所以的零点个数即的零点个数.，当时，，所以在上单调递增，又，，所以有唯一零点.当时，，有唯一零点当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.当，即时，，没有零点.当，即时，，有唯一零点.当，即时，，又，且，所以在上有唯一零点.由（1）知，当时，，则，，，又，所以，，所以在上有唯一零点.因此，当或时，有唯一零点；当时，没有零点；当时，有两个零点.3.答案：（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增（2）见解析解析：（1）的定义域为，由，得，若，则恒成立，在上单调递增；若，则当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增.综上可得，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知，当时，在上单调递增，不存在，所以.由（1）知当时，在上单调递减，在上单调递增，存在.不妨设，设，，则，又由（1）知，可得.因为，所以，所以在上单调递减，所以，即当时，，由于，则，即.又，则有.又，，在上单调递增，所以，即.4.答案：（1）（2）整数k的最大值为0解析：（1）依题意，在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，则当时，取得最小值，，，即实数a的取值范围是.（2）依题意，，，，不等式在时恒成立，即在时恒成立.令，则，令，则，在上单调递增，，即在上恒成立，在上单调递增，，，整数k的最大值为0.5.答案：（1）的极大值为，无极小值（2）见解析解析：（1）因为，所以，令，得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以有极大值，极大值为，无极小值.（2）令，则.设，则，因为，所以，所以在R上单调递减，又，所以当时，，当时，，即当时，，当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，即.6.答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1），.令，则其判别式.①当，即时，，在上单调递减.②当，即时，方程有两个不相等的正根，，则当或时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递减，无增区间；当时，在，上单调递减，在上单调递增.（2）不妨设.由（1）知，当且仅当时，有极小值点和极大值点，，..令，，则，在上单调递减，，即.7.答案：（1）当时，，则，所以当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.综上，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.（2）由题意可得，令，解得.因为，所以，所以在上有唯一零点.当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.所以.因为在上恒成立，且有且只有一个实数解，所以即消去a并整理得.令，则，在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以.又，且函数在上单调递增，所以.8.答案：(1).(2)证明过程见解析.解析：(1)由题意得，函数的定义域为，其导函数，记，则.当时，恒成立，所以在上单调递增，又，所以，，故当时不成立.当时，若，则；若，则.所以在上单调递增，在上单调递减.所以.令，则.当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.所以，故.(2)由(1)得，则.易得恒成立，因为，所以，不妨设，则，欲证，即证，因为在上单调递减，所以只需证，又因为，所以只需证，即证.令，则.所以欲证，只需证，，，整理得，则，，所以在上单调递增，所以，，所以函数在上单调递减，所以，，故.9.答案：（1）函数的定义域为.，由，得，所以的单调递增区间为，由，得，且，所以的单调递减区间为，.（2）关于x的方程在上有两个不相等的实数根等价于函数的图象与函数的图象在上有两个不同的交点.由，得；由，得，所以当时，函数取得极大值，为.又，，且，所以实数t的取值范围为.10.答案：（1）易得，则的图象在点处的切线斜率为.由切线与直线平行，得，即，所以，.由，得，由，得，则在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得极大值，无极小值.（2）不妨设.若，，则，即.设，则在上为增函数，所以对任意恒成立，即对任意恒成立.设，则.当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，且为最小值，，从而，解得，所以实数m的取值范围是.11.答案：（1）设，则，其定义域为，.当时，；当时，.所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.从而当时，取得最大值，最大值为.当，即时，.所以c的取值范围为.（2），..取得，，则由（1）知，当时，，即.故当时，，所以，从而.所以在区间，上单调递减.12.答案：（1）由题意，的定义域为，令，则，，则.因为是函数的极值点，则有，即，所以.当时，.因为，所以在上单调递减，又因为，所以当时，；当时，，所以当时，是函数的极大值点.综上所述，.（2）由（1）知，，要证，只需证明，因为当时，；当时，，所以需证明，即，令，则，当时，；当时，，又，所以为的极小值点，所以，即，故，所以.13.答案：（1）当，则，
，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
因此当吋取得最小值，且最小值为，
，
，
，
故在上的最小值为5，最大值为7.2.
（2）依题意可得，
不等式在上有解，即在区间上有解，
因为当时，，，
所以在区间上有解，
令，
则，
因为，所以，
所以，在[单调递增，
所以时，，
所以，
故a的取值范围为.14.答案：（1），则的定义域为，
，，
，则切点为，
曲线在处的切线方程是：．
（2）对任意，恒成立，
对任意，恒成立，
即恒成立，
令，，
则，
①当时，当时，
，在上单调递减，
 ，
②当时，当时，，
在上单调递减，
当时，，
在单调递增，
，
，
综上，实数a的取值范围是．15.答案：（1），其定义域为.
在区间上单调递减.
要使函数在区间（1，e）内存在零点，则
又，可得，
实数a的取值范围为.
（2）对任意的，都有成立，等价于对任意的都有.
当时，，函数在上是增函数.

当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增.
①当时，函数在上单调递增，.
由，得，又，不合题意.
②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
.
由，得，又.
③当时，函数在上单调递减，
.
由，得，又.
综上所述，实数a的取值范围为.