第17题 概率与统计——【新课标全国卷（理）】2022届高考数学考点题号一对一

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第17题 概率与统计—【新课标全国卷（理）】2022届高考数学二轮复习考点题号一对一
1.已知羽毛球单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，下一回合继续发球；若接球方胜，则接球方得1分，且下一回合成为发球方.现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，若甲发球，则甲胜的概率为；若乙发球，则甲胜的概率为.比赛开始的第一回命，由甲先发球.
（1）求第四回合由甲发球的概率；
（2）若比赛采取3分制，即先得到3分的人胜出，最后比赛以的比分结束，求.
2.某大型超市为了了解节假日当天的消费情况，随机抽取了2021年元旦当天100名(男、女各50名)消费者的消费额度，并将数据整理如下：

少于300元
不少于300元
男性
13
27
女性
25
25
(1)试判断是否有99%的把握认为2021年元旦当天消费者的消费额度与性别有关？
(2)现从抽取的50名女性中任意抽取3人，记表示3人中消费额度不少于300元的人数，求的分布列和数学期望.
附：，其中.
参考数据：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
3.随着直播电商的迅速兴起，许多农民通过短视频或直播销售，让新鲜的农产品快速直接地送到消费者手中，这种新的销售形式推动了农民收入的增加.某农副产品超市从一家电商农户购进一批总质量为1000千克的西瓜，从中随机抽取40个西瓜统计其质量，得到的结果如下表所示：
质量/千克






数量/个
2
6
10
16
4
2
（1）以组中值为代表，试估计该批西瓜的数量是多少；（所得结果四舍五入保留整数）
（2）以频率估计概率，某顾客在这批西瓜中随机挑选3个，记这3个西瓜的质量在之间的数量为随机变量X，求X的分布列与数学期望.
4.“双减”政策明确指出要通过阅读等活动，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间.某家庭有小明和小红两个孩子，父母每天为他们安排了自由阅读的时间，约定周一到周日每天的阅读时间不能比前一天少.为了调查两人自由阅读时间的情况，父亲记录了两人某周每天的阅读时间（单位：min），如下表所示，其中小明周日的阅读时间a忘了记录，但知道，.

周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
序号x
1
2
3
4
5
6
7
小明的阅读时间y/min
16
20
20
25
30
36
a
小红的阅读时间z/min
6
22
25
26
32
35
35
（1）求小明这一周的阅读时间超过小红这一周的阅读时间的概率；
（2）根据小明这一周前6天的阅读时间，求其阅读时间y关于序号x的线性回归方程，并估计小明周日阅读时间a的值.
参考公式：回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，.
5.2021年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员选择就地过年.某市统计了该市4个地区的外来务工人数与就地过年人数（单位：万），得到如下表格：

A区
B区
C区
D区
外来务工人数x/万
3
4
5
6
就地过年人数y/万
2.5
3
4
4.5
（1）请用相关系数说明y与x之间的关系可用线性回归模型拟合，并求y关于x的线性回归方程.
（2）假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的每人发放1000元补贴.
（ⅰ）若该市E区有2万名外来务工人员，根据（1）的结论估计该市政府需要给E区就地过年的人员发放的补贴总金额；
（ⅱ）若A区的外来务工人员中甲、乙选择就地过年的概率分别为p，，该市政府对甲、乙两人的补贴总金额的期望不超过1500元，求p的取值范围.
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
6.“五项管理”（中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质五个方面的管理）是教育部旨在推进立德树人，促进学生身体健康、全面发展的重大举措.为了解家长对“五项管理”的认知情况，某机构对该市800名在校学生的家长（不同学历）进行了问卷调查，结果如下：
家长学历
小学及以下
初中
高中
大学专科
大学本科
硕士研究生及以上
不了解
30
25
45
25
24
1
了解
45
70
185
140
180
30
（1）完成下面的2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为家长是否了解“五项管理”与学历有关；

高中及高中以下学历
高中以上学历
合计
不了解



了解



合计



（2）若从被调查的高中及高中以下学历的家长中，按对“五项管理”的认知情况采用分层抽样的方法抽取8人，然后从这8人中随机抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对“五项管理”了解的概率.
附：，其中.

0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
7.在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.假设每人回答问题正确与否是相互独立的.
（1）求乙答对这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.
8.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2019年春节前夕，A市某质量检测部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如图所示：

(1)求所抽取的100包速冻水饺的该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
(2)(ⅰ)由频率分布直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布，利用该正态分布，求Z落在内的概率；
(ⅱ)将频率视为概率，若某人从该市某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中该项质量指标值位于内的包数为X，求X的分布列和数学期望.
附：计算得所抽取的这100包速冻水饺的该项质量指标值的标准差.
若，则，.
9.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
y的分组





企业数
2
24
53
14
7
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)
附：.
10.2021年10月16日，搭载“神州十三号”的火箭发射升空，这是一件让全国人民普遍关注的大事，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻.某机构将每天关注这件大事的时间在2小时以上的人称为“天文爱好者”，否则称为“非天文爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人群中随机抽取了100人进行分析，得到下表(单位：人)：

天文爱好者
非天文爱好者
合计
女
20

50
男

15

合计


100
附：，其中.

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(1)将上表中的数据填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关？
(2)现从抽取的女性人群中，按“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，记其中“天文爱好者”的人数为X，求X的分布列和数学期望.
11.某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，规定成绩为80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分为100分）.

（1）求图中a的值；
（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有85%的把握认为能否晋级成功与性别有关：

晋级成功
晋级失败
总计
男
16


女


50
总计



附：

0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
k
0.780
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望.
12.随着城市规模的扩大和人们生活水平的日益提髙，某市近年机动车保有量逐年递增.根据机动车管理部门的统计数据，以5年为一个研究周期，得到机动车每5年纯增数量(单位：万辆)的情况如下表.
年度周期
1995~2000
2000~2005
2005~2010
2010~2015
2015~2020
时间变量
1
2
3
4
5
纯增数量/万辆
3
6
9
15
27
其中，2，3，…，时间变量对应的机动车纯增数量为，且通过数据分析得到时间变量x与对应的机动车纯增数量y(单位：万辆)具有线性相关关系.
(1)求机动车纯增数量y关于时间变量x的回归方程，并预测2025~2030年间该市机动车纯增数量的值；
(2)该市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到的2×2列联表如下表.

赞同限行
不赞同限行
合计
没有私家车
90
20
110
有私家车
70
40
110
合计
160
60
220
根据列联表判断，能否有99%的把握认为对限行是否赞同与拥有私家车有关？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
，.

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
13.每年的12月4日为我国的“法制宣传日”.天津市某高中团委在2019年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动.已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480、360、360.为检查该学校组织学生学习的效果，现采用分层随机抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试.具体要求：每名被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行回答，所抽取的4个问题全部答对的学生将给予表彰.
（1）求各个年级应选取的学生人数；
（2）若从被选取的10名学生中任选3名学生，求这3名学生分别来自三个年级的概率；
（3）若被选取的10人中的某学生能答对10道题中的7道题，记X表示该名学生答对问题的道数，求随机变量X的分布列及数学期望.
14.在微博知名美食视频博主李子柒的引领下，大家越来越向往田园生活，一大型餐饮企业拟对一个生态农家乐进行升级改造，加入量的农耕活动以及自己制作农产品活动，根据市场调研与模拟，得到升级改造投入x（万元）与升级改造直接收益y（万元）的数据统计如下：
x
2
3
4
6
8
10
13
21
22
23
24
25
y
13
22
31
42
50
56
58
68.5
68
67.5
66
66
当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为：．
（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对生态园升级改造的投入为17万元时的直接收益．
回归模型
模型①
模型②
回归方程



182.4
79.2
（附：刻画回归效果的相关指数，．）
（2）为鼓励生态创新，当升级改造的投入不少于20万元时，国家给予公司补贴收益10万元，以回归方程为预测依据，比较升级改造投17万元与20万元时公司实际收益的大小；
（附：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式，）
15.2020年智能化在国内加速跃升，某开发商发布全新健康智能手表 Tic Watch GTH，能够24小时不间断测量体温，用户可随时从腕间轻松获取体温、血氧、心率、呼吸率四大重要健康数据指标.该智能手表内置±0.1℃高精度数字温度传感器，24小时连续监测体表温度，每隔10分钟即可自动完成测温，形成体温变化报告，并在体温异常时发出预警.下表反映某地区2020年1-7月份x与智能手表销售数量y（单位：万部）的数据：
月份x
1
2
3
4
5
6
销售数量y（万部）
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
（1）作出1-7月份销售数量y随月份x变化的散点图；

（2）计算y关于x的相关系数r，并根据相关系数说明y与x是否有较强的线性相关性？（当相关系数时，可视为两个变量之间高度线性相关，结果精确到0.001）；
（3）求y关于x的线性回归方程.
附注：
参考数据：，，.
参考公式：相关系数，
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
答案以及解析
1.答案：（1）
（2）
解析：（1）若第四回合由甲发球，则由题意知，第三回合甲胜.
记每回合甲胜为“+”，甲败为“”，则前三回合的所有胜负情况为+++，++，++，+，
故第四回合由甲发球的概率.
（2）X的所有可能取值为0，1，2，
，
当时，甲胜出的概率为，
乙胜出的概率为，
则，
，
故.
2.答案：(1)没有99%的把握认为2021年元旦当天消费者的消费额度与性别有关.
(2)分布列见解析，数学期望为.
解析：(1)由题意，2×2列联表如下：

少于300元
不少于300元
总计
男性
13
37
50
女性
25
25
50
总计
38
62
100
所以，
故没有99%的把握认为2021年元旦当天消费者的消费额度与性别有关.
(2)由题知，的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以的分布列是
X
0
1
2
3
P




.
3.答案：（1）该批西瓜的数量约为222
（2）
解析：（1）由题可得，样本中40个西瓜的平均质量为，
（个），所以该批西瓜的数量约为222.
（2）由表格可知，样本的40个西瓜中质量在之间的频率为，
所以估计农副产品超市购进的这批西瓜中，质量在之间的频率为，
以频率估计概率，随机挑一个西瓜，质量在之间的概率为，
所以该顾客挑选的3个西瓜中，质量在之间的数量，
X的所有可能取值为0，1，2，3，
且；
；
；
.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P




所以.
4.答案：（1）小明这一周的阅读时间超过小红这一周的阅读时间的概率为
（2）估计小明周日阅读时间a的值为38
解析：（1）由题意知，，所以a的取值一共有25种情况.
令，解得，
又，，
所以当小明这一周的阅读时间超过小红这一周的阅读时间时，a的取值一共有16种情况.
所以小明这一周的阅读时间超过小红这一周的阅读时间的概率为.
（2）由题可得，
，
，
，
所以，
则，
所以y关于x的线性回归方程为.
当时，.
故估计小明周日阅读时间a的值为38.
5.答案：（1）
（2）（ⅰ）估计该市政府需要给E区就地过年的人员发放的补贴总金额为1750万元
（ⅱ）
解析：（1）由题，，，
，
，
，
所以相关系数，
因为y与x之间的相关系数近似为0.99，说明y与x之间的线性相关程度非常强，所以可用线性回归模型拟合y与x之间的关系.
，
，
故y关于x的线性回归方程为.
（2）（ⅰ）将代入，得，
故估计该市政府需要给E区就地过年的人员发放的补贴总金额为（万元）.
（ⅱ）设甲、乙两人中选择就地过年的人数为X，
则X的所有可能取值为0，1，2，
，
，
.
所以，
所以，
由，得，
又，所以，
故p的取值范围为.
6.答案：（1）列联表见解析，有的把握认为家长是否了解“五项管理”与学历有关
（2）
解析：（1）补全的列联表如下：

高中及高中以下学历
高中以上学历
合计
不了解
100
50
150
了解
300
350
650
合计
400
400
800
根据列联表得，
故有的把握认为家长是否了解“五项管理”与学历有关.
（2）抽取的8人中，不了解“五项管理”的家长有（人），
了解“五项管理”的家长有（人）.
解法一 被选中的2人中至少有1人对“五项管理”了解的概率.
解法二 被选中的2人中至少有1人对“五项管理”了解的概率.
7.答案：（1）
（2）
解析：（1）记甲、乙、丙三人独自答对这道题分别为事件A，B，C，
设乙答对这道题的概率，
由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此A，B，C是相互独立事件.
由题意，并根据相互独立事件同时发生的概率公式，
得，解得.
所以乙答对这道题的概率为.
（2）设丙答对这道题的概率，
由（1），并根据相互独立事件同时发生的概率公式，
得，解得.
甲、乙、丙三人都回答错误的概率为.
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，
所以所求事件的概率为.
8.答案：(1)
(2)(ⅰ)0.6827；(ⅱ)
解析：(1)所抽取的100包速冻水饺的该项质量指标值的平均数为
.
(2)(ⅰ)服从正态分布，且，，
，落在内的概率是0.6827.
(ⅱ)根据题意得，；
；；
；.
的分布列为
X
0
1
2
3
4
P





.
9.答案：(1)产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为20%
(2)平均数与标准差的估计值分别为30%，17%
解析：(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为.产值负增长的企业频率为.
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为20%.
(2)，
，
.
所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%.
10.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)由题意，得列联表如下：

天文爱好者
非天文爱好者
合计
女
20
30
50
男
35
15
50
合计
55
45
100
，
所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关.
(2)由题得，抽取的100人中女性人群有50人，其中“天文爱好者”有20人，“非天文爱好者”有30人，
所以按分层抽样在50个女性人群中抽取5人，则有2人为“天文爱好者”，有3人为“非天文爱好者”，
再从这5人中随机选出3人，记其中“天文爱好者”的人数为X，则X的可能值为0，1，2，
，
，
，
所以X的分布列如下表：
X
0
1
2
P



所以数学期望为：.
11.答案：（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1，
可知，
解得.
（2）由频率分布直方图，知晋级成功的频率为，
所以晋级成功的人数为，
填表如下：

晋级成功
晋级失败
总计
男
16
34
50
女
9
41
50
总计
25
75
100
所以，
所以有85%的把握认为能否晋级成功与性别有关.
（3）由（2）知晋级失败的频率为，
将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，此人晋级失败的概率为，
所以X可视为服从参数为4，的二项分布，即，
故，
，
，
，
.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P





（或）.
12.答案：(1)，2025~2030年间该市机动车约纯增34.8万辆
(2)有99%的把握认为对限行是否赞同与拥有私家车有关
解析：(1)由机动车的纯增数量表可知
，，
所以，
因为回归直线过样本点的中心，所以，
解得，所以.
当年度周期为2025~2030时，，所以，
所以2025~2030年间该市机动车约纯增34.8万辆.
(2)根据列联表，计算得的观测值.
因为，
所以有99%的把握认为对限行是否赞同与拥有私家车有关.
13.答案：（1）由题意，知高一、高二、高三年级的人数之比为，由于采用分层随机抽样的方法从中选取10名学生，因此，高一年级应选取4名学生，高二年级应选取3名学生，高三年级应选取3名学生.
（2）由（1）知，被选取的10名学生中，高一、高二、高三年级分别有4名、3名、3名学生，所以从这10名学生中任选3名，这3名学生分别来自三个年级的概率为.
（3）由题意知，随机变量X的可能取值为1，2，3，4，且X服从超几何分布，.
所以随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P




所以.
14.答案：（1）由表格中的数据，有，即，
所以模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好．
所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值为．
（亿元）.
（2）由已知可得：，所以．
，所以．
.
所以当亿元时，y与x满足的线性回归方程为：．
所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值．
所以当亿元时，实际收益的预测值为亿元.
即79.3亿元亿元.
所以技改造投入20亿元时，公司的实际收益的更大．
15.答案：(1)作出散点图如图所示，

(2)，
，


，
因为，故y与x有较强的线性相关性.
(3)，
，
故y关与x的线性回归方程为.