高中数学人教A版（2019）必修第一册 第一章集合与常用逻辑用语单元测试1

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 第一章　集合与常用逻辑用语单元测试1第一部分（选择题60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2021四川成都第七中学高一上阶段测试）下列元素不能组成集合的是（　　　）A．不超过20的质数B．π的近似值C．方程x2＝1的实数根D．函数y＝x2，x∈R的最小值2．（2021天津实验中学高一上月考）集合{x∈N | x－3＜2}用列举法表示正确的是（　　　）A．{1, 2, 3, 4}   B．{1, 2, 3, 4, 5} C．{0, 1, 2, 3, 4, 5}   D．{0, 1, 2, 3, 4}3．（2021重庆巴蜀中学高一上月考）已知集合A＝{0, 1}，则集合A的子集个数是（　　　）A．1 B．2 C．3 D．44．（2021安徽安庆高一上检测）已知集合A＝{x | x＞3或x＜1}，B＝{x | x－a＜0}， 若B⊆A，则实数a的取值范围是（　　　） A．a＞3 B．a≥3 C．a＜1 D．a≤15．（2021上海实验学校高一上期中）设全集U＝R，A＝{x | x＜－4或x≥3}，B＝{x |－1＜x＜6}，则集合{x |－1＜x＜3}＝（　　　） A．(∁U A)∪(∁U B)   B．∁U (A∪B) C．(∁U A)∩B   D．A∩B6．（2021山西怀仁高一上期中）王昌龄是盛唐时期著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传颂至今：“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还．”由此推断，最后一句“攻破楼兰”是“返还家乡”的（　　　） A．充分条件   B．必要条件  C．充要条件   D．既不充分也不必要条件7．（2020山东德州实验中学高一上月考）设集合A＝{x∈R | x－2＞0}，B＝{x∈R | x＜0}，C＝{x∈R| x＜0或x＞2}，则“x∈（A∪B）”是“x∈C”的（　　　） A．充分不必要条件   B．必要不充分条件 C．充要条件   D．既不充分也不必要条件8．（2021浙江温州苍南高一上检测）下列命题中，存在量词命题的个数是（　　　）①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有． A．0 B．1 C．2 D．3二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．（2020山东济南第一中学高一上月考）若集合M⊆N，则下列结论正确的是（　　　） A．M∩N＝N B．M∪N＝N C．N⊆(M∩N) D．(M∪N)⊆N10．（2020山东日照高一上月考）设集合M＝{a | a＝x2－y2，x，y∈Z}，则对任意的整数n，在形如4n，4n＋1，4n＋2，4n＋3的数中，是集合M中的元素的有（　　　） A．4n B．4n＋1 C．4n＋2 D．4n＋311．（2021河北唐山第一中学高二上期中）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是（　　　） A．若两个三角形全等，则这两个三角形相似B．若x＞5，则x＞10 C．若ac＝bc，则a＝b D．若0＜x＜5，则 |x－1|＜112．（2021湖南娄底第一中学高二上期中）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（　　　） A．∃x∈R，x2－x＋＜0 B．所有的正方形都是矩形 C．∃x∈R， x2＋2x＋2≤0 D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0第二部分（非选择题90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上）13．（2020辽宁抚顺一中高一月考）给出下列说法：①0∈N*；②如果a，b∈Z，则a－b∈Z；③所有正方形构成的集合是有限集；④如果a∈N，则－a ∉ N．其中正确的是_______．（填序号）14．（2021北京理工大学附属中学高一上期中）已知A＝，B＝{x | 2m＋1＜x＜7－m}，若A∩(∁RB)＝A，则m的取值范围是________．15．（2021上海复旦大学附属中学高一上期中）若α是β的必要不充分条件，β是γ的充要条件，γ是δ的必要不充分条件，则δ是α的_________条件．16．（2021福建福州高一上检测）已知命题“∃x∈R， x2－ax＋1＝0”为假命题，则实数a的取值范围是_________． 四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（2021湖南百校高一上联考）在①A∪B＝A，②(∁RA)∩B＝⌀，③(∁RB)∪A＝R三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答．设集合A＝，B＝{x | (x＋a)2＝5－2x}，________，求实数a的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．    18．（12分）（2020上海金山中学高一期中）设数集A由实数构成，且满足：若x∈A(x≠1且x≠0)，则∈A．（1）若2∈A，试证明A中还有另外两个元素；（2）集合A能否只含有两个元素？请说明理由；（3）若A中元素个数不超过8，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的所有元素．   19．（12分）（2020江苏镇江高一期中）已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0．      20．（12分）（2020山东济宁邹城高三上期中）已知集合A＝{x∈R | 0＜ax＋1≤3}（a≠0），集合B＝{x∈R |－1＜x≤2}．若命题p：x∈A，命题q：x∈B，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．      21．（12分）（2020山东师范大学附属中学高一上期中）已知命题p：∀x∈{x | 0≤x≤4}，0≤x<2a，命题q：∃x∈R，x2－2x＋a＜0．（1）若命题¬p和命题q有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围．         22．（12分）（2021贵州遵义航天高级中学高一上月考）已知集合A＝{x |－2≤x≤5}，B＝{x | m＋1≤x≤2m－1}．（1）若A∩B＝⌀，求实数m的取值范围；（2）若A∪B＝A，求实数m的取值范围．                     参考答案一、单项选择题1．B；2．D；3．D；4．D；5．C；6．B；7．C；8．B．二、多项选择题9．BD；10．ABD；11．BCD；12．AC．三、填空题13．②；14．{m | m≥0}；15．充分不必要；16．{a |－2＜a＜2}．四、解答题17．若选①，由A∪B＝A，得B⊆A．由题意，A＝＝{1， 2}，B＝{x|(x＋a)2＝5－2x}＝{x | x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}．当集合B＝⌀时，关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0没有实数根，∴Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＜0，解得a＜－3;当集合B≠⌀时，若集合B中只有一个元素，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝0，解得a＝-3，此时B＝{x | x2－4x＋4＝0}＝{2}，符合题意;若集合B中有两个元素，则B＝{1，2}，∴无解．综上可知，实数a的取值范围为{a | a≤－3}．若选②，由(∁RA)∩B＝⌀，得B⊆A．若选③，由(∁RB)∪A＝R，得B⊆A．同理，可得实数a的取值范围为{a | a≤－3}．18．（1）证明：由题意可知若2∈A，则＝－1∈A．∵－1∈A，∴∈A．∵∈A，∴＝2∈A，∴若2∈A，则A中还有另外两个元素－1，．（2）集合A不是双元素集合．理由如下：若x∈A，则∈A，则＝∈A，且x≠，≠，x≠，故集合A中至少有3个元素，∴集合A不能只含有两个元素．（3）由（2）可知，若x∈A，则x，，都为A中的元素，且x··＝－1＜0，∴A中元素的个数不为3，又∵A中元素的个数不超过8，∴A中有6个元素．设m∈A（m≠x），则m，，都为A中的元素，此时A＝，所有元素的积为1，∴＝1或＝1，∴x＝2或x＝，∴＋2－1＋m＋＋＝，解得m＝－或m＝3或m＝，∴A中的所有元素为，2，－1，－，3，．19．证明　①必要性：因为a＋b＝1，所以a＋b－1＝0．所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0．②充分性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，所以(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0，又ab≠0，所以a≠0且b≠0．因为a2－ab＋b2＝＋b2＞0，所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1．综上可得，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0．20．由题意得A⫋B．由集合A得，－1＜ax≤2．（*）①当a＞0时，由（*）得A＝，因为A⫋B，所以或解得a＞1．②当a＜0时，由（*）式得A＝，因为A⫋B，所以解得a＜－2．综上，实数a的取值范围是{a | a＜－2或a＞1}．21．若命题p：∀x∈{x | 0≤x≤4}，0≤x＜2a为真命题，则2a＞4，即a＞2．所以若¬p为真命题，则a≤2．若命题q：∃x∈R，x2－2x＋a＜0为真命题，则Δ＝(－2)2－4×1×a＞0，即a＜1．若¬q为真命题，则a≥1．（1）①当¬p为真，q为假时，¬q为真，即 ，所以1≤a≤2;②当¬p为假，q为真时，p为真，即，无解，舍去．综上所述，当命题¬p和命题q有且只有一个为真命题时，a的取值范围为{a | 1≤a≤2}．（2）解法一：①当p真q假时，¬q为真，即 ，所以a＞2;②当p假q真时，¬p为真，即，所以a＜1;③当p真q真时，，无解，舍去．综上所述，a的取值范围为{a | a＜1或a＞2}．解法二：考虑p，q至少有一个为真命题的反面，即p，q均为假命题，即¬p为真，且¬q为真，则，解得1≤ a ≤2，即{a|1≤a≤2}，故p，q至少有一个为真命题时，a的取值范围为{a|1≤a≤2}的补集．故a的取值范围为{a | a＜1或a＞2}．22．（1）∵A＝{x |－2≤x≤5}，B＝{x | m＋1≤x≤2m－1}，∴A∩B＝⌀时，分B＝⌀和B≠⌀两种情况讨论：若B＝⌀，则m＋1 > 2m－1，解得m＜2;若B≠⌀，则或，解得m＞4．综上，实数m的取值范围是{m | m＜2或m＞4}．（2）若A∪B＝A，则B⊆A．当B＝⌀时，有m＋1＞2m－1，解得m＜2;当B≠⌀时，有,解得2≤m≤3．综上，实数m的取值范围是{m | m≤3}．