高中数学人教A版（2019）必修第一册 第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试3

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 第二章《一元二次函数、方程和不等式》单元测试3一、单选题1．不等式的解集是（    ）A． B．C．或 D．2．函数取得最小值时的自变量x等于（    ）A． B． C．1 D．33．已知不等式解集为，下列结论正确的是（　　）A． B．C． D．4．已知P＝a2＋(a≠0)，Q＝b2－4b＋7(1＜b≤3)．则P、Q的大小关系为（    ）A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q5．当0<x<1时，最小值为（    ）A．0 B．9 C．10 D．126．设，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知a，b为正实数，且满足，则的最小值为（    ）A．2 B． C．4 D．8．已知a<0且关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0解集为{x|x1<x<x2}，则x1＋x2＋最大值是（    ）A．－ B．－ C． D． 二、多选题9．已知关于的不等式，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（    ）A．不等式的解集可以是B．不等式的解集可以是C．不等式的解集可以是D．不等式的解集可以是10．已知且，那么下列不等式中，恒成立的有（    ）A． B．C． D．11．下列说法正确的是（    ）A．若a>b，则 B．存在实数a，使得不等式成立C．若a>b>0，m>0，则 D．若a<b<c，且a+b+c=0则ac<bc12．关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0(a∈Z)的解集中有且仅有3个整数，则a的取值可以是（　　）A．6 B．7 C．8 D．9  三、填空题13．已知，则___________.（用“>”或“<”填空）14．若关于x的不等式（）的解集为，且，则a的值为___________.15．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为___________．16．已知正实数x，y满足，则的最小值为___________. 四、解答题17．解下列不等式：（1）；        （2）；（3）；        （4）；（5）；    （6）.18．（1）已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．（2）已知a，b，c是两两不等的实数，p＝a2＋b2＋c2，q＝ab＋bc＋ca，试比较p与q的大小．19．（1）已知，，且，求的最大值；（2）若，，且，求的最小值.20．（1）求函数的最小值；（2）已知且，求x＋y的最小值．21．（1）k是什么实数时，方程有两个不相等的实数根？（2）已知不等式对一切实数x恒成立，求实数k的取值范围.22．（1）若关于x的不等式x2－x＋1＞2x＋m在[－1, 1]上恒成立，求实数m的取值范围；（2）若关于x的不等式x2－x＋1＞2x＋m在[－1, 1]上有解，求实数m的取值范围．             答案1．B【分析】将分式不等式化为一元二次不等式求解即可.【详解】解：∵，∴∴，即，∴，解得故选：B2．A【分析】根据基本不等式确定函数取得最小值时的自变量x的值.【详解】函数，且，可得，当且仅当，即时，取得最小值．故选：A．3．C【分析】根据不等式解集为，得方程的解为或，且，利用韦达定理即可将用表示，即可判断各选项的正误.【详解】解：因为不等式解集为，所以方程的解为或，且，所以，所以，所以，故ABD错误；，故C正确.故选：C.4．C【分析】由基本不等式可得，通过配方结合可得即可选得答案.【详解】，当且仅当时等号成立，，当时等号成立，所以.故选：C5．B【分析】利用基本不等式求解.【详解】因为0<x<1，则0<1-x<1，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为9，故选：B.6．B【分析】由得，再根据充分必要条件的概念即可得答案.【详解】由得，因为，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.7．C【分析】根据题意可得，由，展开利用基本不等式即可求解.【详解】由，可得，，当且仅当且，即时等号成立．故选：C．8．A【分析】根据关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0解集为{x|x1<x<x2}，由韦达定理得到，进而得到x1＋x2＋，利用基本不等式求解.【详解】因为关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0解集为{x|x1<x<x2}，所以，又因为a<0，所以x1＋x2＋，当且仅当，即，等号成立，故选：A9．BD【分析】选项A先假设结论成立，再得到不等式为并求解，最后与解集产生矛盾判断选项A错误；选项B当，时，不等式恒成立，判断选项B正确；选项C当时不等式成立，判断选项C错误；选项D先假设结论成立，再求解得，符合题意，判断选项D正确；【详解】解：选项A：假设结论成立，则，解得，则不等式为，解得，与解集是矛盾，故选项A错误；选项B：当，时，不等式恒成立，则解集是，故选项B正确；选项C：当时，不等式，则解集不可能为，故选项C错误；选项D：假设结论成立，则，解得，符合题意，故选项D正确；故选：BD10．BC【分析】AD选项结合均值不等式即可判断；BC选项结合二次函数的最值问题即可分析.【详解】A．因为，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，故A错误，B．，当且仅当时，等号成立，故B正确，C．，当且仅当时，等号成立，因此，故C正确，D． ，当且仅当，即时，等号成立，故D错误；故选：BC.11．BCD【分析】利用特例可判断AB，利用作差法可判断C，利用不等式的性质可判断D，即得.【详解】若，可知，故A错误；当时，，故存在实数a，使得不等式成立，故B正确；∵a>b>0，m>0，∴,即，故C正确；∵a<b<c，且a+b+c=0，∴即，∴ac<bc，故D正确.故选：BCD12．ABC【分析】利用二次函数的对称性确定原不等式的三个整数解即可计算作答.【详解】函数f(x)= x2-6x+a的图象对称轴为x=3，即在x=3时函数f(x)取得最小值，依题意，不等式f(x)≤0的解集中有且仅有3个整数，则这三个整数必为2，3，4，即2，4在不等式的解集中，1，5不在解集中，于是得，解得，而a∈Z，则a=6或a=7或a=8，所以a的取值可以是6或7或8.故选：ABC13．>【分析】利用作差法即得.【详解】∵，∴>.故答案为：>14．【分析】根据一元二次不等式的解集与对应方程解的关系，利用根与系数的关系，结合题意即可求出a的值.【详解】解：关于x的不等式（）的解集为，所以，是一元二次方程的实数根，所以，且，.又因为，所以，又，解得.故答案为：.15．【分析】利用“乘1法”即求.【详解】，且，∴，当且仅当时取等号，故答案为：16．##【分析】由条件可得且，利用基本不等式求解即可【详解】由得，又，为正实数，所以，得，则，，当且仅当,即时取等号，所以的最小值为，故答案为：17．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【分析】利用一元二次不等式的解法即可求解.【详解】（1），所以不等式的解集为.（2）或，所以不等式的解集为.（3），解得，所以不等式的解集为.（4），解得或，所以不等式的解集为.（5），解得，所以不等式的解集为.（6），方程，，二次函数开口向上，所以不等式的解集为.18．（1）3x3≤3x2－x＋1；（2）p>q.【分析】（1）作差法可得3x3－(3x2－x＋1)＝(3x2＋1)(x－1)，结合x≤1，即得解；（2）由题意可证明a2＋b2>2ab，b2＋c2>2ac， a2＋c2>2ac，三个不等式叠加，即得解【详解】（1） 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．因为x≤1，所以x－1≤0，而3x2＋1>0，所以(3x2＋1)(x－1)≤0，即3x3≤3x2－x＋1.（2） 因为a， b， c互不相等，所以a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0，即a2＋b2>2ab.同理b2＋c2>2ac， a2＋c2>2ac.所以2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)，即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，亦即p>q.19．（1）；（2）4.【分析】（1）由基本不等式即可求解；（2）由已知得，根据基本不等式即可求解.【详解】（1）因为，，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以，故的最大值为.（2）因为，，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为4.20．（1）5；（2）16．【分析】（1）构造，利用均值不等式，即得解（2）构造，利用均值不等式，即得解【详解】（1），又，．当且仅当，即x＝4时，y有最小值5.（2），，当且仅当，又，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，．21．（1）；（2） 或.【分析】结合二次不等式和二次函数之间的关系得出关于 的不等式，从而求出 的范围.【详解】（1）方程有两个不相等的实数根，即 ，则有 ，即 ， ，即，解得 ；（2）不等式对一切实数x恒成立，即，那么 ，那么 ，即 或 .22．（1）{m|m＜－1}；（2）{m|m＜5}．【分析】先参变分离，转化为m＜x2－3x＋1，（1）恒成立问题，只需m小于函数y＝x2－3x＋1的最小值；（2）有解问题，只需m小于函数y＝ x2－3x＋1的最大值.【详解】解　（1） x2－x＋1＞2x＋m在[－1, 1]上恒成立，即m＜x2－3x＋1在[－1, 1]上恒成立．令y＝x2－3x＋1＝，则当－1≤x≤1时，y随x的增大而减小，所以ymin＝12－3×1＋1＝－1，所以实数m的取值范围是{m|m＜－1}．（2） x2－x＋1＞2x＋m在[－1, 1]上有解，即m＜x2－3x＋1在[－1, 1]上有解．令y＝x2－3x＋1＝，则当－1≤x≤1时，y随x的增大而减小，所以ymax＝(－1)2－3×(－1)＋1＝5，所以实数m的取值范围是{m|m＜5}