2021-2022学年湖南省长沙市岳麓区雅礼洋湖实验中学九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年湖南省长沙市岳麓区雅礼洋湖实验中学九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 2021-2022学年湖南省长沙市岳麓区雅礼洋湖实验中学九年级（下）第一次月考数学试卷副标题题号一二三总分得分      一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）下列各数是无理数的是A.  B.  C.  D. 新冠疫情在全球肆虐，截止年月日，全球累计确诊新冠肺炎人数超过人，用科学记数法表示为A.  B.  C.  D. 如图所示正三棱柱的主视图是A.
B.
C.
D. 下列运算正确的是A.  B.
C.  D. 如图，直线，将一个三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数是A.
B.
C.
D. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是A.  B.
C.  D. 为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是时间小时人数A. ， B. ， C. ， D. ，下列关于反比例函数的结论中正确的是A. 图象过点 B. 图象在一、三象限内
C. 当时，随的增大而增大 D. 当时已知的直径与弦的夹角为，过点作的切线交的延长线于点，则等于A.
B.
C.
D. 如图，抛物线的顶点为，与轴的一个交点，与轴的交点在和之间下列结论中：；；；，则正确的个数为A.
B.
C.
D.  二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）分解因式：______．已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是______ ．一个圆锥的母线长为，底面圆半径为，则这个圆锥的侧面积是______．如图，在中，，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接，则的周长为______．
  如图，为的直径，弦于点，已知，，则的半径为______．

   九章算术中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么井深为______米． 

    三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）计算：．






 先化简，再求值：，其中，．






 已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是个单位长度．
画出向上平移个单位得到的；
以点为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为：，并直接写出点的坐标．







 为坚持“五育并举”，落实立德树人根本任务，教育部出台了“五项管理”举措．我校对九年级部分家长就“五项管理”知晓情况作调查，：完全知晓，：知晓，：基本知晓，：不知晓．九年级组长将调查情况制成了条形统计图和扇形统计图．请根据图中信息，回答下列问题：

共调查了______名家长，并在图补齐条形统计图；
图中选项所对应的圆心角度数为______；
我校九年级共有名家长，估计九年级“不知晓五项管理”举措的家长有多少人？
已知选项中男女家长数相同，若从选项家长中随机抽取名家长参加“家校共育”座谈会，请用列表或画树状图的方法，求抽取家长都是男家长的概率．






 如图，矩形的对角线，相交于点，，．
求证：四边形是菱形；
若，，求菱形的面积．







 某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买件种奖品和件种奖品共需元；购买件种奖品和件种奖品共需元．
求，两种奖品的单价各是多少元？
学校准备购买，两种奖品共件，奖品的数量不少于奖品数量的，且购买总费用不超过元．设购买种奖品件，购买总费用为元，求与的函数关系式；当购买种奖品多少件时，购买总费用最少？总费用最少是多少？






 已知：如图，在中，，是角平分线，平分交于点，经过，两点的交于点，交于点，恰为的直径．
求证：与相切；
当，时，求的半径．







 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，称该点为这个函数图象的“等值点”，该函数称为“等值函数”例如：“等值函数”，其图象上的“等值点”为．
在下列关于的函数中，是“等值函数”的，请在相应题目后面的横线上打“”．
______； ______； ______．
若点，点是“等值函数”其中上的“等值点”，且，求的取值范围；
若“等值函数”的图象上存在唯一的一个“等值点”，且当时，的最小值为，求的值．






 已知：如图所示，将一块等腰三角板放置与正方形的重合，连接，，是的中点，连接，与交于点．

观察猜想
与的数量关系是______，与的数量关系是______，与的位置关系是______；
探究证明
如图所示，把三角板绕点逆时针旋转，其他条件不变，线段与的关系是否仍然成立，并说明理由；
拓展延伸
若旋转角，且，求的值．







答案和解析 1.【答案】
 【解析】解：是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.是无理数，故本选项符合题意．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
本题主要考查了无理数，判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．
 2.【答案】
 【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 3.【答案】
 【解析】解：如图所示正三棱柱的主视图是平行排列的两个矩形，故选B．
找到从正面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．注意本题不要误选C．
 4.【答案】
 【解析】解：，
选项A符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C不符合题意；
，
选项D不符合题意；
故选：．
利用幂的乘方与积的乘方的法则，合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，乘法分配律对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，乘法分配律，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，乘法分配律是解决问题的关键．
 5.【答案】
 【解析】解：，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
由对顶角相等，根据的度数求出的度数，再由与平行，得到同旁内角互补，再由为直角，求出的度数即可．
此题考查了平行线的性质，以及余角和补角，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
 6.【答案】
 【解析】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 7.【答案】
 【解析】解：抽查学生的人数为：人，
这名学生的睡眠时间出现次数最多的是小时，共出现次，因此众数是小时，
将这名学生的睡眠时间从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是小时，
故选：．
根据中位数、众数的意义求解即可．
本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的关键．
 8.【答案】
 【解析】解：，
图象不经过点，
故A错误，不符合题意；
B.，
图象位于第二，第四象限，
故B错误，不符合题意；
C.，
图象位于第二，第四象限，
当时，随的增大而增大，
故C正确，符合题意；
D.当时，，
故D错误，不符合题意．
故选：．
根据反比例函数的性质对各项进行逐一分析即可．
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
 9.【答案】
 【解析】解：连接，
，，
，
，
切于，
，
，
故选：．
连接，根据切线性质求出，根据等腰三角形性质求出，根据三角形外角性质求出，在中，根据三角形的内角和定理求出即可．
本题考查了等腰三角形性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、切线的性质等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
 10.【答案】
 【解析】解：函数图象开口向上，
，
对称轴在轴右侧，与异号，
，
函数图象与轴交负半轴，
，故，正确
顶点坐标，对称轴，
，，
点关于对称轴对称点为，
当时，，得，
，
，
，错误．
当时，，，正确．
当，时，，
，，
，
，
，
，即，错误．
故选：．
根据二次函数图象开口方向，对称轴可求得，符号和关系，与轴交点判断的取值范围，利用当为，时，对应的值进行判断对错，依据顶点坐标可以判断出系数与关系式．
本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，函数图象对称性性质的使用，解题关键是找到各个系数与顶点坐标之间的关系．
 11.【答案】
 【解析】解：原式．
故答案为：．
利用提公因式法直接分解得结论．
本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法是解决本题的关键．
 12.【答案】
 【解析】解：依题意得：，
解得．
故答案是：．
把代入方程，列出关于的新方程，通过解该方程可以求得的值．
本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
 13.【答案】
 【解析】解：圆锥的侧面积．
故答案为：．
圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应数值代入即可求解．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
 14.【答案】
 【解析】解：依据作图可得，垂直平分，
，
，
又，
的周长为，
故答案为：．
依据垂直平分，即可得出，进而得到，再根据，，即可得出的周长．
本题主要考查了作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
 15.【答案】
 【解析】 【分析】
本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题的关键．
连接，由垂径定理知，点是的中点，，在直角中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．
【解答】解：连接，
为的直径，，
，
设的半径为，
则，，
在中，，
，
解得：，
的半径为，
故答案为：．
   16.【答案】
 【解析】解：，，
，
∽，
，
，
，
即井深为米，
故答案为．
首先证明∽，得到，将相关数值代入，求出即可．
本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．
 17.【答案】解：


．
 【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 18.【答案】解：

，
当，时，
原式


．
 【解析】先根据单项式乘多项式，平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 19.【答案】解：如图所示：，即为所求；

如图所示：，即为所求，坐标．
 【解析】直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出．
此题主要考查了位似变换和平移变换，根据题意正确得出对应点位置是解题关键．
 20.【答案】 
 【解析】解：调查学生家长的人数为：名，
选项人数为名，
所以选项人数为名，
补全条形图如下：


选项所对应的圆心角度数为；
故答案为：；

根据题意得：
人，
估计九年级“不知晓五项管理”举措的家长有人；

画树状图如图：

共有个等可能的结果，所抽取家长都是男家长的结果有个，
则抽取家长都是男家长的概率为．
由选项人数及其所占百分比可得总人数，再求出、选项人数，从而补全统计图；
用乘以选项人数所占比例即可；
总人数乘以样本中选项人数所占比例即可；
画树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 21.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是菱形；
解：作于点，
四边形是矩形，，
，，，
，
，
，
，
菱形的面积是：．
 【解析】根据，，可以得到四边形是平行四边形，然后根据矩形的性质，可以得到，由菱形的定义可以得到结论成立；
根据，，可以求得菱形边上的高，然后根据菱形的面积底高，代入数据计算即可．
本题考查菱形的判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确菱形的判定方法，知道菱形的面积底高或者是对角线乘积的一半．
 22.【答案】解：设的单价为元，的单价为元，根据题意得：
，
．
的单价元，的单价元．
设购买奖品个，则购买奖品为个，
由题意可知，
，
，
，
当时，取最小值，最小值为元．
购买种奖品件时，购买总费用最少；总费用最少是元．
 【解析】设种奖品的单价是元，种奖品的单价是元，根据“钱数种奖品单价数量种奖品单价数量”可列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
设购买种奖品件，则购买种奖品件，根据购买费用不超过元，且种奖品的数量不小于种奖品数量的，可列出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出的取值范围，再结合数量关系即可得出与之间的函数关系，根据一次函数的性质既可以解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 23.【答案】证明：连接，则，
，
平分，
，
，
，
，
在中，，是角平分线，
，
，
是的半径，
与相切；
解：在中，，是角平分线，
，，
在中，，
，
设的半径为，则，
，
∽，
，
即 ，
，
即的半径为．
 【解析】连接，可得，进而推出，由平行线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，得到，由圆的切线的判定即可证得结论；
首先证得∽，根据相似三角形对应边成比例即可求解．
本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线进行证明．
 24.【答案】不是   
 【解析】解：没有等值点；等值点为；等值点为，；
故答案为：不是；；；
点，点是“等值函数”其中上的“等值点”，
设，，
和是方程的两根，
，，，
，
，
，
解得；
“等值函数”的图象上存在唯一的一个“等值点”，
方程有两个相等的实数根，
即，
，
，
，
分以下三种情况讨论：
当即时，当时有最小值，
即，
解得舍去；
当即时，当时有最小值，
即，
解得或舍去；
当即时，当时有最小值，
即，
解得；
综上，的值为或．
根据等值函数的定义判断即可；
根据根与系数关系求出的取值即可；
根据得出，，的关系式，分情况讨论得出的值即可．
本题主要考查二次函数的综合知识，根据二次函数与轴交点的个数得出的取值，熟练掌握根与系数关系是解题的关键
 25.【答案】   
 【解析】解：设交于点，

为等腰直角三角形，
，
，，
≌，
，，
点是的中点，则，即，
，
，
即，
故答案为：，，相互垂直；
，，仍然成立，理由如下：
如图所示，延长至使，连接，

，，
≌，
，，
，，
，
而，
，
，，
≌，
，，
，
，
；
由得，
，则，
由知，，
，
过点作于点，设，则，，

，
．
由“”可证≌，由点是的中点，得到，进而求解；
证明≌和≌，得到，，进而求解；
证明，过点作于点，设，则，，则，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．