2022汕头金山中学高二下学期期中考试数学PDF版含答案（可编辑）

汕头市金山中学2020级高二第二学期期中考数学试卷

命题人：周荃

本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.

第Ⅰ卷 选择题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（ ）

A． B． C． D．

2．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（       ）

A． B． C． D．

3．已知都是实数，则“”是“”的（       ）

A．充要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．即不充分也不必要条件

4．已知点在角的终边上，且，则的值为（       ）

A． B． C． D．

5．已知各项不为的等差数列满足，数列是等比数列，且，则（       )

A．1 B．8 C．4 D．2

6．已知直线与直线互相垂直，则的最小值为（       ）

A．5 B．4 C．2 D．1

7．某班班会准备从含甲、乙的人中选取人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（       ）

A．种 B．种 C．种 D．种

8．已知正项数列满足，当最大时，的值为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是　　

A．                         B．数列是等比数列

C．                       D．数列是公差为2的等差数列

10．已知函数（其中，，）的部分图像，则下列结论正确的是（       ）

A．函数的图像关于直线对称    B．函数的图像关于点对称

C．将函数图像上所有的点向右平移个单位，得到函数，则为奇函数

D．函数在区间上单调递增

11．函数的所有极值点从小到大排列成数列，设是的前项和，则下列结论中正确的是（       ）

A．数列为等差数列   B．     C．    D．

12．已知抛物线的焦点为F，抛物线C上存在n个点，，，（且）满足，则下列结论中正确的是（       ）

A．时，          B．时，的最小值为9

C．时，   D．时，的最小值为8

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．二项式展开式中的常数项为__________.

14．根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有满足“勾3股4弦5”，其中“股”，为“弦”上一点（不含端点），且满足勾股定理，则______.

15．已知抛物线焦点为，过点斜率为的直线交该抛物线于点，（点在第一象限），与该抛物线的准线交于点，则______．

16．如图，长方形中，，，点在线段（端点除外）上，现将沿折起为．设，二面角的大小为，若，则四棱锥体积的最大值为_______

四、解答题：本大题共6小题，共70分．第17题为10分，其他为12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．从10名同学（其中6女4男）中随机选出3人参加测验，每个女同学通过测验的概率均为，每个男同学通过测验的概率均为，求：

(1)选出的3个同学中，至少有一个男同学的概率；

(2)10个同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率．

18．如图，在四边形中，，，，，.

（1）求；（2）求的长.

19．已知正项数列，其前n项和满足.

(1)求证：数列是等差数列，并求出的表达式；

(2)数列中是否存在连续三项，，，使得，，构成等差数列？请说明理由.

20．如图，在四棱锥E-ABCD中，，，E在以AB为直径的半圆上（不包括端点），平面平面ABCD，M，N分别为DE，BC的中点．

(1)求证：平面ABE；     (2)当四棱锥E-ABCD体积最大时，求二面角N-AE-B的余弦值．

21．已知函数．

（Ⅰ）当时，求证：．

（Ⅱ）设，若，，使得成立，求实数a的取值范围．

22．已知椭圆的焦距为，经过点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足，直线分别交椭圆于A，B．，Q为垂足．是否存在定点R，使得为定值，说明理由．

高二第二学期期中考数学试卷参考答案：

1．A  2．D  3．C  4．A  5．B  6．C  7．D   8．B 

9．ABC   10．ACD   11．BC   12．BC

13．60  14． 15． 16

8令，两边取对数，有，令，则，

当时，；当时，.

所以在上单调递增，在上单调递减.

所以时，取到最大值，从而有最大值，

因此，对于，当时，；当时，.

而，因此，当最大时，.

12当时，，此时不妨取 过焦点垂直于x轴，

不妨取 ，则，故A错误；

当时，，

此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设,

则 ，则 ，

故

，

令 ，则，

令 ，则     ，

当时， ， 递增，当时， ， 递减，

故 ，

故当 ，即 时，取到最小值9，故B正确；

当时，，

此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设,

则，

即，

故，，

所以，故C正确；

由C的分析可知：，

当 时，取到最小值16，即最小值为16，故D错误；

15由题意可得,抛物线准线方程为,

则直线的方程为:,

联立,解得或,

即,,,,所以,,则,

16．设过与垂直的线段长为，

则，，，，

则四棱锥的高，

则

，，

∴四棱锥体积的最大值为.

17．(1)记选出的同学中至少有一个男同学为事件A，则；

(2)甲、乙被选中且通过测验的概率.

18．（1）因为，，则、均为锐角，

所以，，，

，

，则，因此，；

（2）在中，由正弦定理可得，

可得，

在中，由余弦定理可得，

因此，.

19．(1)依题意，正项数列中，，即，

当时，，即，

整理得，又，因此，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，

则，因为是正项数列，即，

所以.

(2)不存在，

当时，，又，即，都有，

则，

假设存在满足要求的连续三项，使得构成等差数列，

则，即，

两边同时平方，得，即，

整理得：，即，显然不成立，因此假设是错误的，

所以数列中不存在满足要求的连续三项.

20 (1)证明：如图所示，取EC的中点的F，连接MF，NF，

因为M，F分别为ED和EC的中点，所以，

因为，所以，

因为平面，平面，所以平面，

同理可得平面，

因为，平面，平面，

所以平面平面，

因为平面，所以平面.

(2)解：如图所示，过E作交AB于O，

因为平面平面ABCD，平面平面，平面，

所以平面ABCD，故EO为四棱锥E-ABCD的高，

要使四棱锥E-ABCD体积最大，则E为弧的中点，所以O与AB的中点，

取CD的中点G，连接OG，因为，，所以，

因为平面ABCD，所以，，所以EO，AB，OG两两垂直，

以O为原点，分别以AB为x轴，以OE为y轴，以OG为z轴建立空间直角坐标系，

设，所以，

可得，，，则，，

设平面的一个法向量，则，可得，

令，则平面的一个法向量为，

平面的一个法向量为，则，

由图可知二面角的平面角为锐角，

所以二成角的余弦值为．

21．解：（Ⅰ）当时，要证，只需证，

令，则

当时，单调递增；

当时，单调递减；

所以，

故，所以．

（Ⅱ）问题等价于，，

由得，

由得，

所以在上，是增函数，故．定义域为，

而．

当时，恒成立，在上是减函数，

所以，不成立；

当时，由，得；由，得，

所以在单调递减，在单调递减．

若，即时，在是减函数，

所以，不成立；

若，即时，在处取得最小值，，

令，

则在上恒成立，

所以在是增函数且，

此时成立，满足条件．综上所述，．

22．（1）由题意可知，又椭圆经过点知

解得，所以；

（2）设直线方程, 与椭圆C交于

，得

,

直线，即

因此M坐标为，同理可知

由知：

化简整理得

则

整理：

若则直线，过点P不符合题意

若则直线符合题意

直线过点

于是为定值且为直角三角形且为斜边

所以中点R满足为定值

此时点R的坐标为.