2022武汉华中师范大学第一附中高一下学期期中考试数学试题含答案

这是一份2022武汉华中师范大学第一附中高一下学期期中考试数学试题含答案，共15页。
华中师大一附中2021-2022学年度第二学期期中检测高一年级数学试题本试卷分四个大题，满分150分，考试用时90分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔．一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意）1. 已知复数（为虚数单位），则z的共轭复数（）A.  B.  C.  D. 2. 已知向量，满足，且．则向量与向量的夹角是（）A.  B.  C.  D. 3. 函数图象的大致形状为（）A.  B. C.  D. 4. 已知，“实系数一元二次方程的两根都是虚数”是“存在复数z同时满足且”的（）条件.A充分非必要 B. 必要非充分C. 充分必要 D. 既非充分又非必要5. 如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是()A B.  C.  D. 6. 已知复数满足：（为虚数单位），且在复平面内对应的点位于第三象限，则复数的虚部为（）A.  B. C.  D. 7. 中，、、分别是内角、、的对边，若且，则的形状是（）A. 有一个角是的等腰三角形B. 等边三角形C. 三边均不相等的直角三角形D. 等腰直角三角形8. 向量的运算包含点乘和叉乘，其中点乘就是大家熟悉的向量的数量积．现定义向量的叉乘：给定两个不共线的空间向量与，规定：①为同时与，垂直的向量；②，，三个向量构成右手系（如图1）；③；④若，，则，其中．如图2，在长方体中，，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D. 长方体的体积二、多项选择题（每题有两个或者两个以上正确答案，每题5分，少选得3分，共20分）9. 定义：，两个向量的叉乘，则以下说法正确的是（）A. 若，则B. C. 若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于D. 若，，则的最小值为10. 已知函数，下列说法正确的是（）A. 是周期函数B. 若，则C. 在区间上是增函数D. 函数在区间上有且仅有1个零点11. 设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（）A. 若|z|＝1，则z＝±1或z＝±iB. 若点Z的坐标为（－1，l），则z＋1是纯虚数C. 若，则z的虚部为－2iD. 若，则点Z的集合所构成的图形的面积为12. 已知的内角分别为，满足，且，则以下说法中正确的有（）A. 若为直角三角形，则；B. 若，则为等腰三角形；C. 若，则的面积为；D. 若，则．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13. 在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是________．14. 在中，内角的对边分别为，且， ，则外接圆的面积为______.15. 已知是虚数单位，则________.16. 半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.以正方体每条棱的中点为顶点构造一个半正多面体，如图，它由八个正三角形和六个正方形构成，若它的所有棱长都为1，则该半正多面体外接球的表面积为___________；若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该正四面体体积最小值为___________.四解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知复数，其中i为虚数单位．（1）若z是纯虚数，求实数m的值；（2）若m＝2，设，试求a＋b的值．19. 设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角．（1）证明：；（2）求的取值范围．21. 已知函数，其中．（1）求使得的取值范围；（2）为锐角三角形，O为其外心，，令，求实数t的取值范围．23. 重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，，设.（1）将、用含有的关系式表示出来；（2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计、的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？24. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接（1）证明：．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）记阳马体积为，四面体的体积为，求的值；（3）若面与面所成二面角大小为，求的值．26. 设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为称为函数的“相伴向量"（1）设函数，求函数相伴向量（2）记的“相伴函数"为，若方程在区间[0，2]上有且仅有四个不同的实数解，求实数的取值范围；（3）已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值，当点运动时，求的取值范围.  
【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】AB【11题答案】【答案】BD【12题答案】【答案】BD【13题答案】【答案】##0.9【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】【16题答案】【答案】    ①.     ②. 【17题答案】【答案】（1）（2）【小问1详解】由题意可得：，且，；【小问2详解】若m＝2，则，所以，，，.（2）由（1）求出角B的范围，并将表示成B的函数，求出函数值域作答.19【小问1详解】在中，由及正弦定理得：，而，，于是得，即有，又为钝角，有为锐角，即，则，所以．【小问2详解】由（1）知，，即，于是，由得：，因此，所以的取值范围是.【21题答案】【答案】（1）（2）【小问1详解】由题意得：.令，得即，故x的取值范围为．【小问2详解】，则，又，则，由正弦定理，可知，则∴又为锐角三角形，则.则，∴【23题答案】【答案】（1），；（2）当时，取最大值.【详解】（1）因为，，，所以，，.（2）因为，，所以，在中，由余弦定理易知，即，因，所以，，当，即时，取最大值，取最大值，此时，，故当时，取最大值.24【小问1详解】因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，
由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，
所以BC⊥平面PCD．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE．
又因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．
而PC∩CB＝C，所以DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE．
又PB⊥EF，DE∩FE＝E，所以PB⊥平面DEF．
由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，
即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB；【小问2详解】由已知，PD是阳马P−ABCD的高，
∴，
由（Ⅰ）知，，
在Rt△PDC中，∵PD＝CD，
点E是PC的中点，
∴，
∴．【小问3详解】如图所示，在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ABCD的交线．
由（1）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．
又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB＝P，所以DG⊥平面PBD．
所以DG⊥DF，DG⊥DB
故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，
设PD＝DC＝1，BC＝λ，有，
在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得，
则，解得．
所以
故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，【26题答案】【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1），所以函数的相伴向量.（2）的“相伴函数”，方程为，，则方程，由四个实数解.所以，由四个实数解.令，①当，，②当，，所以，作出的图像：所以函数与有四个交点时，实数的取值范围为.（3）向量的“相伴函数”，其中，，.当，即时，取最大值，所以，所以，令，则，所以，解得：，所以，因为单调递增，所以，所以.