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初中数学苏科版八年级下册11.1 反比例函数教案及反思
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这是一份初中数学苏科版八年级下册11.1 反比例函数教案及反思，共6页。教案主要包含了阅读等内容，欢迎下载使用。
11.1反比例函数
主备人
执教者
课 型
新授
课时
1
授课时间
教
学
目
标
类比正比例函数，结合具体情境体会反比例函数的意义，并理解反比例函数的概念；
能判断一个给定函数是否是反比例函数
能根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式；
通过探索现实生活中数量间的反比例关系，体会和认识反比例函数是刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型，进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点。
教学要点
教学
重点
反比例函数的概念．
教学
难点
1．讨论两个变量之间的相互关系，从而让学生加深对函数概念的理解；
2．通过对反比例函数的简单应用，使学生初步形成数学的建模意识和在函数概念中的运动变化观点．
教学法指导
类比讨论法 合作探究法
教具准备
多媒体课件
教学过程
二次备课
教学反思
情景创设
活动一 阅读
（一）、一个长方形的宽是2，①长为3，那么它的面积是多少？②长为4，那么它的面积是多少？③随着长的长度增加，长方形的面积会怎样？(学生回答)
当长方形的宽一定，面积与长成正比例。
设长为x，面积为s，那么可以表示为 EQ EQ EQ \F(s,x) =2 ①(或s:x=2) ,s与x成正比例关系
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系.
如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值， 那么上面的这种数量关系可以 用 EQ \F(y,x) =k (k一定) 来表示。这里的x,y可以表示单项式也可以是多项式
例如（a-3）与（b+1）成正比例，且比值是2，可以表示(a-3):(b+1)=2 或 EQ \F(a-3,b+1) =2，但是a与b之间就不是正比例关系。
EQ \F(s,x) =2可以写成s=2x
对于x,s两个变量,给定变量 x 的值，变量 s 都有唯一确定的值与它对应吗？
那么长方形的宽为2时，它的面积s是长x的函数
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
例如：1、圆柱的底面积是10，体积v与高度h的函数关系式
2、有6个相同的本子，售价y与单价x的函数关系式
3、若速度 v＝160 (km/h),路程 s(km）与时间 t(h）之间的表达式
教师提问：这些函数是什么函数？
正比例函数 y=kx (k为常数, 且k≠0)
4、若列车已经行驶了80km，继续以150（km/h）的速度行驶 t（h），行驶总路程 s（km）与时间 t（h）之间的表达式
一次函数 y=kx+b ( k、b为常数, 且k≠0)
（二）、3∶4的反比是4∶3；反过来，4∶3的反比是3∶4
一个长方形的面积是12，①长为6，那么它的宽是多少？
②长为4，那么它的宽是多少？
③随着长的长度增加，长方形的宽会怎样？
长方形的面积一定，宽与长成反比例。
若设长为x，宽为y，那么可以表示为 xy=12 , y与x成反比例关系
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系.
如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值， 那么上面的这种数量关系可以用 xy=k(k一定)来表示 这里的x,y可以表示单项式也可以是多项式
例如（a-3）与（b+1）成反比例，且乘积是12，可以表示为（a-3)(b+1）=12，但是a与b之间就不是反比例关系。
二．探索与思考
活动二
南京与上海相距约300km，一辆列车从南京出发，以速度v(km/h)开往上海，全程所用时间为t(h).
①填写下表：
v
…
100
120
150
200
250
…
t
…
…
②、你能写出t与v的数量关系式吗?
vt=300或
③、随着速度的变化，全程所用的时间发生怎样的变化？时间t是速度v的函数吗？
因为在这个变化中，两个变量v和t，对于变量v的每一个值，变量t都有唯一确定的值与它对应，所以t是v的函数
两个事物或一事物的两个方面，一方发生变化，其另一方随之起相应的变化，如儿童随着年龄的增长体力也逐渐增长，就是正比
成正比是指两个相关联的量，一个量随着另一个量的增大而增大，但不一定增大相同的倍数。比如y=x2
成正比例是指两个相关联的量，一个量随着另一个量的增大而增大，并且增大的倍数相同。比如y=4x
可以省略
从学生学过的正比例入手，感受正比与正比例关系的区别与联系，为学习反比例函数做好准备。
重点有些偏离
复习函数的概念，正比例函数，感受正比例关系与正比例函数的区别与联系，为类比学习反比例函数做好准备。
从学生学过的反比例入手，感受正反比与反比例关系的区别与联系，为学习反比例函数做好准备。
从正反比例到正反比例关系再到函数，将小学知识与现阶段的函数联系在一起。
让学生感受反比例函数的形成。
在填写表格时，应强调表格中是一个变化的过程，两个量之间的“一一对应”关系。
融入函数的知识
活动三
用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系。
1、计划修建一条长为500km的高速公路，完成该项目的天数y(天)随日完成量x(km)的变化而变化；
2、某银行为资助某社会福利厂，提供了20万元的
无息贷款，该厂的年平均还款额y（万元）随还款年限x（年）的变化而变化；
游泳池的容积为5000m3，向池内注水，注满水所需时间t(h)随注水速度v(m3/h)的变化而变化；
实数m与n的积为－200，m随n的变化而变化；
5、7与x-1的积是y,y随x的变化而变化
师生讨论并回答：
（1）y= EQ \F(500,x)
（5）y= EQ \F(7,x) 这些函数关系式具有什么共同特征？你还能举出类似的实例吗
三．定义的形成：
师生总结，给出定义
一般地，形如的函数叫做反比例函数；其中x是自变量，y是x的函数。
反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数的三种表现形式：
总结出反比例函数的三种形式：
试一试
1、下列函数表达式中的y是x的反比例函数吗？
如果是，并指出常数k的值？
(4)y=3x-1
(7)y= EQ \F(2,x-3) (8) (9) （m为常数）
变式：下列函数表达式中的y是x的反比例函数吗？如果
是，把它写成y= EQ \F(k,x) 的形式，并指出常数k的值？
(1) 5x=4y (2) EQ \F(y,x) =5 (3) 3x+y=8
(4) 4xy+3=0 (5) x= EQ \F(2,y)
2 、若x与y成反比例关系，且x=-1时，y=2， 则k=___
y与x的函数表达式是 。
变式：下列的数表中分别给出了变量y与x之间的对应关系，其中有一个表示的是反比例函数,你能把它找出来吗?
x
…
1
2
3
4
…
y
…
6
5
4
3
…
x
…
1
2
3
4
…
y
…
8
6
4
2
…
A B
x
…
0.5
1
2
5
…
y
…
4
2
1
0.4
…
x
…
1
2
3
4
…
y
…
5
8
7
6
…
C
D
从上述函数关系式中找寻反比例函数的
三种形式
数学来源于生活，从实际问题出发感受反比例函数的特征。
建立反比例函数的基本模型
第5两题负指数幂的变形，为下面反比例函数的形式作出准备
归纳反比例函数的概念。
对比正比例函数与反比例函数的区别
这一组习题的结果，学生可以写成“xy=k”的形式，也可以写成的形式，但最后教师引导学生转换成的形式就可以了。充分发挥学生的想象，让学生体会反比例函数的形成过程，体会建模思想
进一步熟悉反比例函数的定义
主要是对反比例函数的一般形式：(k为常数，k≠0)的巩固练习
并能从中发现其他两种表现形式。
让学生体会反比例函数的三种形式是可以互相转化的
对反比例函数xy=k（k为常数，k≠0）的巩固练习
四、例题讲解
例1：下列每题中y是x的反比例函数，根据题意求值
（1）若函数 y= EQ \F(4+m,x) 是反比例函数，则 m （2）若函数y= EQ \F(4,xa-2) 是反比例函数，则a=
（3）若函数 y= EQ \F(a-4,x∣a∣-3) 是反比例函数，则 a的值
（4）若函数y=(m-3)x-1 是反比例函数，则m
（5）已知函数y=3xm-5 是反比例函数，则m=
（6）若函数 y=(m+1)xm-2 是反比例函数，则m的值
交流讨论并回答
例题2：
写出下列问题中两个变量之间关系的函数表达式，并判断它们是否为反比例函数。
（1）面积是50cm2的矩形，一边长y(cm)随另一边长
x(cm)的变化而变化；
（2）体积是100cm3的圆锥，高h(cm)随底面面积S(cm2)
的变化而变化；
（3）妈妈买菜已经用了25（元），还想买5元/斤的
鱼a 斤，则总的花费 y(元)随着所购买的斤数 a（斤）
的变化而变化．
（4）两条对角线长分别为a、b的菱形的面积为12，
则一条对角线a随另一条对角线b的变化而变化
学生独立思考，积极回答
跟踪练习：
1、用函数表达式表示下列问题中两个变量之间关系，并判断它们是否为反比例函数。
（1）一边长5cm的三角形，面积y(cm2)随这边上的高
x(cm)的变化而变化；
（2）某村有耕地200公顷，人均占有耕地面积y(公顷)
随人口数量x(人)的变化而变化；
（3）一个物体重120N，该物体对地面的压强p(N/m2)随
它与地面的接触面积S（m2）的变化而变化。
（注：压强为单位面积上所受到的压力）
（4）某商品原价为x元，现在打8折销售，那么实
际售价为y元，y与x之间的关系
（5）圆的面积s与半径r之间的函数关系式
注重3、6两题
(k为常数，k≠0)的几种形式，对反比例函数的形式y=kx-1（k为常数，k≠0）的巩固练习
x的次数为1，系数不为0
培养学生观察、归纳总结的能力。
参考答案：
（1）根据题意，得xy＝50，
即 ：
y是x的反比例函数
（2）根据题意，得,
即：
h是s的反比例函数
通过例题加强学生对反比例函数的概念及关系式的认识．
教师要板书例题的书写过程，从而达到规范学生的书写格式，培养学生学习数学的严谨意识
通过例题的学习，归纳求出反比例函数关系的基本步骤。
培养学生独立解决问题的能力和合作学习能力．
进一步理解反比例函数的定义
合作交流:
2、同一个函数关系式可以表示很多实际问题中变量之间的关系
上题（2）某村有耕地200公顷，人均占有耕地面积y(公顷)随人口数量x(人)的变化而变化；
函数关系式y= EQ \F(200,x)
还可以表示： 某工作队要修一条200米长的路，如果该工作队有x（人）,那么平均每人修y米的路,y与x的函数关系式
你还能举出一些这样的实例吗？
条件：（1）所出题中含有两个变量，体现反比例函数关系； （2）符合实际意义，无文字表达错误；（3）每位同学出一道题，经小组讨论后，推选一道题，到讲台前展示 。
通过学生相互讨论，培养学生发散性思维，提高学生的数学语言表达能力，理解数学来源于生活，运用到生活。
六．小结：
通过这节课的学习，你有哪些收获呢？与大家共分享！
还有什么困惑吗？
讨论后共同小结
师生互动，锻炼学生的有条理的表达能力，使学生养成在学习过程中善于对问题进行总结归纳和提升
板书设计：
1.一般地，形如的函数叫做反比例函数.
其中x是自变量，y是x的函数
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
2.反比例函数的三种表现形式：
例1、
例2：（1）根据题意，得xy＝50，
即 ：
y是x的反比例函数
（2）根据题意，得
即：
h是s的反比例函数
学生练习
反比例与正比例的区别与联系
11.1反比例函数
主备人
执教者
课 型
新授
课时
1
授课时间
教
学
目
标
类比正比例函数，结合具体情境体会反比例函数的意义，并理解反比例函数的概念；
能判断一个给定函数是否是反比例函数
能根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式；
通过探索现实生活中数量间的反比例关系，体会和认识反比例函数是刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型，进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点。
教学要点
教学
重点
反比例函数的概念．
教学
难点
1．讨论两个变量之间的相互关系，从而让学生加深对函数概念的理解；
2．通过对反比例函数的简单应用，使学生初步形成数学的建模意识和在函数概念中的运动变化观点．
教学法指导
类比讨论法 合作探究法
教具准备
多媒体课件
教学过程
二次备课
教学反思
情景创设
活动一 阅读
（一）、一个长方形的宽是2，①长为3，那么它的面积是多少？②长为4，那么它的面积是多少？③随着长的长度增加，长方形的面积会怎样？(学生回答)
当长方形的宽一定，面积与长成正比例。
设长为x，面积为s，那么可以表示为 EQ EQ EQ \F(s,x) =2 ①(或s:x=2) ,s与x成正比例关系
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系.
如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值， 那么上面的这种数量关系可以 用 EQ \F(y,x) =k (k一定) 来表示。这里的x,y可以表示单项式也可以是多项式
例如（a-3）与（b+1）成正比例，且比值是2，可以表示(a-3):(b+1)=2 或 EQ \F(a-3,b+1) =2，但是a与b之间就不是正比例关系。
EQ \F(s,x) =2可以写成s=2x
对于x,s两个变量,给定变量 x 的值，变量 s 都有唯一确定的值与它对应吗？
那么长方形的宽为2时，它的面积s是长x的函数
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
例如：1、圆柱的底面积是10，体积v与高度h的函数关系式
2、有6个相同的本子，售价y与单价x的函数关系式
3、若速度 v＝160 (km/h),路程 s(km）与时间 t(h）之间的表达式
教师提问：这些函数是什么函数？
正比例函数 y=kx (k为常数, 且k≠0)
4、若列车已经行驶了80km，继续以150（km/h）的速度行驶 t（h），行驶总路程 s（km）与时间 t（h）之间的表达式
一次函数 y=kx+b ( k、b为常数, 且k≠0)
（二）、3∶4的反比是4∶3；反过来，4∶3的反比是3∶4
一个长方形的面积是12，①长为6，那么它的宽是多少？
②长为4，那么它的宽是多少？
③随着长的长度增加，长方形的宽会怎样？
长方形的面积一定，宽与长成反比例。
若设长为x，宽为y，那么可以表示为 xy=12 , y与x成反比例关系
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系.
如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值， 那么上面的这种数量关系可以用 xy=k(k一定)来表示 这里的x,y可以表示单项式也可以是多项式
例如（a-3）与（b+1）成反比例，且乘积是12，可以表示为（a-3)(b+1）=12，但是a与b之间就不是反比例关系。
二．探索与思考
活动二
南京与上海相距约300km，一辆列车从南京出发，以速度v(km/h)开往上海，全程所用时间为t(h).
①填写下表：
v
…
100
120
150
200
250
…
t
…
…
②、你能写出t与v的数量关系式吗?
vt=300或
③、随着速度的变化，全程所用的时间发生怎样的变化？时间t是速度v的函数吗？
因为在这个变化中，两个变量v和t，对于变量v的每一个值，变量t都有唯一确定的值与它对应，所以t是v的函数
两个事物或一事物的两个方面，一方发生变化，其另一方随之起相应的变化，如儿童随着年龄的增长体力也逐渐增长，就是正比
成正比是指两个相关联的量，一个量随着另一个量的增大而增大，但不一定增大相同的倍数。比如y=x2
成正比例是指两个相关联的量，一个量随着另一个量的增大而增大，并且增大的倍数相同。比如y=4x
可以省略
从学生学过的正比例入手，感受正比与正比例关系的区别与联系，为学习反比例函数做好准备。
重点有些偏离
复习函数的概念，正比例函数，感受正比例关系与正比例函数的区别与联系，为类比学习反比例函数做好准备。
从学生学过的反比例入手，感受正反比与反比例关系的区别与联系，为学习反比例函数做好准备。
从正反比例到正反比例关系再到函数，将小学知识与现阶段的函数联系在一起。
让学生感受反比例函数的形成。
在填写表格时，应强调表格中是一个变化的过程，两个量之间的“一一对应”关系。
融入函数的知识
活动三
用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系。
1、计划修建一条长为500km的高速公路，完成该项目的天数y(天)随日完成量x(km)的变化而变化；
2、某银行为资助某社会福利厂，提供了20万元的
无息贷款，该厂的年平均还款额y（万元）随还款年限x（年）的变化而变化；
游泳池的容积为5000m3，向池内注水，注满水所需时间t(h)随注水速度v(m3/h)的变化而变化；
实数m与n的积为－200，m随n的变化而变化；
5、7与x-1的积是y,y随x的变化而变化
师生讨论并回答：
（1）y= EQ \F(500,x)
（5）y= EQ \F(7,x) 这些函数关系式具有什么共同特征？你还能举出类似的实例吗
三．定义的形成：
师生总结，给出定义
一般地，形如的函数叫做反比例函数；其中x是自变量，y是x的函数。
反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数的三种表现形式：
总结出反比例函数的三种形式：
试一试
1、下列函数表达式中的y是x的反比例函数吗？
如果是，并指出常数k的值？
(4)y=3x-1
(7)y= EQ \F(2,x-3) (8) (9) （m为常数）
变式：下列函数表达式中的y是x的反比例函数吗？如果
是，把它写成y= EQ \F(k,x) 的形式，并指出常数k的值？
(1) 5x=4y (2) EQ \F(y,x) =5 (3) 3x+y=8
(4) 4xy+3=0 (5) x= EQ \F(2,y)
2 、若x与y成反比例关系，且x=-1时，y=2， 则k=___
y与x的函数表达式是 。
变式：下列的数表中分别给出了变量y与x之间的对应关系，其中有一个表示的是反比例函数,你能把它找出来吗?
x
…
1
2
3
4
…
y
…
6
5
4
3
…
x
…
1
2
3
4
…
y
…
8
6
4
2
…
A B
x
…
0.5
1
2
5
…
y
…
4
2
1
0.4
…
x
…
1
2
3
4
…
y
…
5
8
7
6
…
C
D
从上述函数关系式中找寻反比例函数的
三种形式
数学来源于生活，从实际问题出发感受反比例函数的特征。
建立反比例函数的基本模型
第5两题负指数幂的变形，为下面反比例函数的形式作出准备
归纳反比例函数的概念。
对比正比例函数与反比例函数的区别
这一组习题的结果，学生可以写成“xy=k”的形式，也可以写成的形式，但最后教师引导学生转换成的形式就可以了。充分发挥学生的想象，让学生体会反比例函数的形成过程，体会建模思想
进一步熟悉反比例函数的定义
主要是对反比例函数的一般形式：(k为常数，k≠0)的巩固练习
并能从中发现其他两种表现形式。
让学生体会反比例函数的三种形式是可以互相转化的
对反比例函数xy=k（k为常数，k≠0）的巩固练习
四、例题讲解
例1：下列每题中y是x的反比例函数，根据题意求值
（1）若函数 y= EQ \F(4+m,x) 是反比例函数，则 m （2）若函数y= EQ \F(4,xa-2) 是反比例函数，则a=
（3）若函数 y= EQ \F(a-4,x∣a∣-3) 是反比例函数，则 a的值
（4）若函数y=(m-3)x-1 是反比例函数，则m
（5）已知函数y=3xm-5 是反比例函数，则m=
（6）若函数 y=(m+1)xm-2 是反比例函数，则m的值
交流讨论并回答
例题2：
写出下列问题中两个变量之间关系的函数表达式，并判断它们是否为反比例函数。
（1）面积是50cm2的矩形，一边长y(cm)随另一边长
x(cm)的变化而变化；
（2）体积是100cm3的圆锥，高h(cm)随底面面积S(cm2)
的变化而变化；
（3）妈妈买菜已经用了25（元），还想买5元/斤的
鱼a 斤，则总的花费 y(元)随着所购买的斤数 a（斤）
的变化而变化．
（4）两条对角线长分别为a、b的菱形的面积为12，
则一条对角线a随另一条对角线b的变化而变化
学生独立思考，积极回答
跟踪练习：
1、用函数表达式表示下列问题中两个变量之间关系，并判断它们是否为反比例函数。
（1）一边长5cm的三角形，面积y(cm2)随这边上的高
x(cm)的变化而变化；
（2）某村有耕地200公顷，人均占有耕地面积y(公顷)
随人口数量x(人)的变化而变化；
（3）一个物体重120N，该物体对地面的压强p(N/m2)随
它与地面的接触面积S（m2）的变化而变化。
（注：压强为单位面积上所受到的压力）
（4）某商品原价为x元，现在打8折销售，那么实
际售价为y元，y与x之间的关系
（5）圆的面积s与半径r之间的函数关系式
注重3、6两题
(k为常数，k≠0)的几种形式，对反比例函数的形式y=kx-1（k为常数，k≠0）的巩固练习
x的次数为1，系数不为0
培养学生观察、归纳总结的能力。
参考答案：
（1）根据题意，得xy＝50，
即 ：
y是x的反比例函数
（2）根据题意，得,
即：
h是s的反比例函数
通过例题加强学生对反比例函数的概念及关系式的认识．
教师要板书例题的书写过程，从而达到规范学生的书写格式，培养学生学习数学的严谨意识
通过例题的学习，归纳求出反比例函数关系的基本步骤。
培养学生独立解决问题的能力和合作学习能力．
进一步理解反比例函数的定义
合作交流:
2、同一个函数关系式可以表示很多实际问题中变量之间的关系
上题（2）某村有耕地200公顷，人均占有耕地面积y(公顷)随人口数量x(人)的变化而变化；
函数关系式y= EQ \F(200,x)
还可以表示： 某工作队要修一条200米长的路，如果该工作队有x（人）,那么平均每人修y米的路,y与x的函数关系式
你还能举出一些这样的实例吗？
条件：（1）所出题中含有两个变量，体现反比例函数关系； （2）符合实际意义，无文字表达错误；（3）每位同学出一道题，经小组讨论后，推选一道题，到讲台前展示 。
通过学生相互讨论，培养学生发散性思维，提高学生的数学语言表达能力，理解数学来源于生活，运用到生活。
六．小结：
通过这节课的学习，你有哪些收获呢？与大家共分享！
还有什么困惑吗？
讨论后共同小结
师生互动，锻炼学生的有条理的表达能力，使学生养成在学习过程中善于对问题进行总结归纳和提升
板书设计：
1.一般地，形如的函数叫做反比例函数.
其中x是自变量，y是x的函数
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
2.反比例函数的三种表现形式：
例1、
例2：（1）根据题意，得xy＝50，
即 ：
y是x的反比例函数
（2）根据题意，得
即：
h是s的反比例函数
学生练习
反比例与正比例的区别与联系
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