2021-2022学年湖南省衡阳市九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年湖南省衡阳市九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 2021-2022学年湖南省衡阳市九年级（下）第一次月考数学试卷副标题题号一二三总分得分      一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）“打开电视机，正在播广告”，这个事件是A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 确定事件将化简后的结果是A.  B.  C.  D. 已知的半径为，点在内，则的长可能是A.  B.  C.  D. 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是A.  B.
C.  D. 如图，若，则下列各式不能说明∽的是A.
B.
C.
D. 若将抛物线向上平移个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为A.  B.
C.  D. 如图，已知的直径的长为，则弦的长为A.
B.
C.
D. 如图，∽，那么它们的相似比是A. ：
B.
C.
D. 已知点、、在函数的图象上，则、、的大小关系A.  B.  C.  D. 九章算术是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈一丈尺，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为尺，则可列方程为A.  B.
C.  D. 如图，在中，是直径，，弧弧，则等于A.
B.
C.
D. 如图，在中，，，，动点从点出发以的速度沿方向匀速移动，同时动点从点出发以的速度沿方向匀速移动．设的面积为，运动时间为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是A.  B.
C.  D.  二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）函数中，自变量的取值范围是______．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为______．如图，是的直径，弦于点，若，，则______．

  如图，在中，，，，则______．




  如图，在中，，为的中点，，则的长是______．

  如图，在拧开一个边长为的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则边长 ______ ．

    三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）计算：．






 请你依据如图框中的寻宝游戏规则，探究“寻宝游戏”的奥秘：
用树状图表示出所有可能的寻宝情况；
求在寻宝游戏中胜出的概率．







 如图，为测量某建筑物的高度，在离该建筑物底部米的点处，目测建筑物顶端处，视线与水平夹角为，目高为米，求建筑物的高度结果精确到米
【参考数据：，，】






 年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据调查“冰墩墩”每盒进价元，售价元．
商店老板计划首月销售盒，经过首月试销售，老板发现单盒“冰墩墩”售价每增长元，月销量就将减少盒．若老板希望“冰墩墩”月销量不低于盒，则每盒售价最高为多少元？
实际销售时，售价比中的最高售价减少了元，月销量比中最低销量盒增加了盒，于是月销售利润达到了元，求的值．






 以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上，利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
的面积为______；
在图中，作出的重心；
在图中，在的边上找一点，连结，使的面积为．







 如图，已知是等腰的外接圆，且，点是上一点，连结并延长至点，连结，．
求证：平分．
若，求的度数．

  






 如图，抛物线经过点和，与两坐标轴的交点分别为，，，它的对称轴为直线．
求该抛物线的表达式；
是该抛物线上的点，过点作的垂线，垂足为，是上的点．要使以、、为顶点的三角形与全等，求满足条件的点，点的坐标．







 如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位的速度向运动，同时，点从出发，以每秒个单位的速度向运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．连结，在射线上截取，以、为边作▱设运动时间为秒．
的长为______．
当▱为正方形时，求的值．
作点关于直线的对称点，当点、、不共线，且等于内角的倍时，求的值．








答案和解析 1.【答案】
 【解析】解：“打开电视机，它正在播广告”这个事件是随机事件．
故选：．
随机事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，依据定义可以作出判断．
本题主要考查了随机事件，解题的关键是熟记在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
 2.【答案】
 【解析】解：．
故选：．
根据二次根式的化简，可以解答本题．
此题主要考查了最简二次根式，正确掌握最简二次根式的定义是解题关键．
 3.【答案】
 【解析】解：的半径为，点在内，
．
故选：．
根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．
本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．
 4.【答案】
 【解析】解：、，方程有两个相等实数根；
B、，方程有两个不相等的实数根；
C、，方程没有实数根；
D、，方程没有实数根．
故选：．
根据一元二次方程根的判别式，分别计算的值，逐一进行判断即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 5.【答案】
 【解析】解：，
，
，
若或，根据两角对应相等，两个三角形相似，
所以、D正确，
因为两边对应成比例，两个三角形相似，
所以C正确，
不具备相似的条件，
故选：．
根据两角对应成比例及两边对应成比例且夹角相等可判断出结果．
本题考查了相似三角形的判定条件，解决问题的关键是熟练掌握相似的基本条件．
 6.【答案】
 【解析】解：抛物线向上平移个单位，
平移后的抛物线的顶点坐标为，
所得抛物线对应的函数关系式为．
故选：．
根据向下平移纵坐标减写出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
 7.【答案】
 【解析】解：连接，如图：

为的直径，
，
在中，的长为，
，
．
故选：．
由圆周角定理得出，在中，解直角三角形即可得出结果．
本题考查了圆周角定理、三角函数、解直角三角形，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
 8.【答案】
 【解析】解：设每一个小正方形的边长为，则，
：：：，
相似比为：：，
故选：．
设每个小正方形的边长为，则可得到对应边，的长，从而可求得对应边的比，再根据对应边的比等于相似比即可求解．
此题考查学生对相似三角形的对应边的比等于相似比的掌握情况．
 9.【答案】
 【解析】解：函数，
图象的开口向上，对称轴是直线，
关于直线的对称点是，
，

故选：．
根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，随的增大而减小，即可得出答案．
此题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
 10.【答案】
 【解析】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：．
故选：．
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
 11.【答案】
 【解析】解：连接，如图所示：
，
；
弧弧，
．
故选：．
连接，先由圆周角定理求出的度数，再根据等弧所对的圆周角相等即可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 12.【答案】
 【解析】解：在中，，，，
，
．
时，，图象为开口向上的抛物线；
当时，如下图所示，

，
，图象为开口向下的抛物线；
故选：．
当时，，当时，如下图所示，即可求解．
本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
 13.【答案】
 【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式的性质，被开方数大于等于，就可以求解．
本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
 14.【答案】
 【解析】解：把代入方程得，
解得．
故答案为：．
把代入方程得，然后解关于的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 15.【答案】
 【解析】 【分析】
本题考查考查垂径定理，属于基础题．
连接，如图，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后计算即可．
【解答】
解：连接，如图，

弦，
，
在中，，，
，
．
故答案为．  16.【答案】
 【解析】解：，，，
，
．
故答案为：．
先利用勾股定理计算出，然后利用正切的定义求解．
本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数锐角的正弦、余弦、正切的定义是解决问题的关键．
 17.【答案】
 【解析】解：，为的中点，
．
故答案为．
根据直角三角形斜边中线是斜边一半得解．
本题考查直角三角形斜边中线是斜边一半定理的应用，掌握边的数量关系．
 18.【答案】
 【解析】解：如图，连接、，过作于．

则，
，是等边三角形，
，
，，
，
，
故答案为：．
如图，连接、，过作于解直角三角形求出即可．
本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形是解题的关键．
 19.【答案】解：原式

．
 【解析】先根据二次根式的乘法法则、除法法则和特殊角的三角函数值计算，然后化简后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
 20.【答案】解：根据题意画树状图如下：

共有种等可能的情况数；

因为共有种等可能的情况数，其中在寻宝游戏中胜出的有种，
则寻宝游戏中胜出的概率是．
 【解析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数即可；
找出在寻宝游戏中胜出的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查的是用画树状图法求概率．画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．列举出所有情况，让寻宝游戏中胜出的情况数除以总情况数即为所求的概率．
 21.【答案】解：过作于点，则四边形为矩形，
米，米，
在中，，
，
米，
米．
答：建筑物的高度约为米．
 【解析】过作于点，继而可得出四边形为矩形，米，米，根据，在中利用三角函数求出的长度，继而可求得的长度．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．
 22.【答案】解：设每盒的售价为元，则月销量为盒，
依题意得：，
解得：．
答：每盒售价最高为元；
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：的值为．
 【解析】设每盒的售价为元，则月销量为盒，根据月销量不低于盒，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
利用月销售利润每盒的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 23.【答案】
 【解析】解：，
故答案为：；
如图，点即为所求；
如图点即为所求．

把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可；
根据重心的定义，作出，边的中线即可；
利用数形结合的思想，作出线段即可．
本题考查作图三角形的面积，三角形的重心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 24.【答案】证明：四边形为的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
由圆周角定理得：，
，
平分．
解：，
，
，
的度数为．
 【解析】根据圆内接四边形的性质得到，根据同角的补角相等得到，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可；
根据的结论、结合三角形内角和定理求出，根据圆心角、弧、弦的关系定理解答即可．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆内接四边形是性质、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系定理、等腰三角形的性质是解题的关键．
 25.【答案】解：将点和代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：；

抛物线的对称轴为，令，则或，令，则，
故点、的坐标分别为、；点，
故，
，
当时，以、、为顶点的三角形与全等，
设点，当点在抛物线对称轴右侧时，，解得：，
故，故点，
故点或；
当点在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点，此时点坐标同上，
综上，点的坐标为或；点的坐标为或．
 【解析】将点和代入抛物线表达式，即可求解；
由题意得：时，以、、为顶点的三角形与全等，分点在抛物线对称轴右侧、点在抛物线对称轴的左侧两种情况，分别求解即可．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等等，有一定的综合性，难度适中，其中需要分类求解，避免遗漏．
 26.【答案】
 【解析】解：在中，
，，，
，
的长为，
故答案为：．
如图，四边形是正方形，
，
，
，
，，
，
．
延长到点，
如图，，则，

与关于直线对称，
，
，
，
，
由得；
如图，，则，

过点作于点，
，
，
，
，
，
即，
解得，
如图，，

同理可求出，，
，
，
解得，
综上所述，或或．
在中，由勾股定理可直接求得结果；
由四边形是正方形得，在中利用的三角函数关系列方程即可求出此时的值；
点、、不共线，则不能等于的二倍，当时，可证明，由即可得到此时的值；当，则可证明，得出，即可得到此时的值．
本题是四边形综合题，考查了直角三角形的性质、菱形的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、勾股定理、等知识与方法，解题过程中应注意分讨论，求出所有符合条件的结果．