2022年陕西省西安市雁塔区曲江一中中考数学三模试卷（含解析）

2022年陕西省西安市雁塔区曲江一中中考数学三模试卷

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，与“数”这个汉字相对的面上的汉字是

A. 我
B. 很
C. 喜
D. 欢

3. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 如图，，，垂足为点，，则等于

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点若，，则的长为

A.
B.
C.
D.

6. 将一次函数的图象向下平移个单位长度后经过点，则的值为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在菱形中，点、分别是边、的中点，连接、、若菱形的面积为，则的面积为

A.  B.  C.  D.

8. 二次函数的对称轴为，若关于的一元二次方程为实数在的范围内有解，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9. 因式分解：______．
10. 如图，在正六边形内，以为边作正五边形，则的度数为：______．
    
    
     

11. 公元世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式得到无理数的近似值，例如可将化为，再由近似公式得到，若利用此公式计算的近似值时，取正整数，且取尽可能大的正整数，则 ______ ．
12. 已知点，在反比例函数是常数的图象上，且，则的取值范围是______．
13. 如图，中，，，，为外以为直径的半圆上一动点，当点从点运动到点时，线段的中点运动的路线长为______．
    
     

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分）

14. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
15. 解不等式组：．
    
    
    
    
    
    
     
16. 分式化简：
    
    
    
    
    
    
     
17. 如图，点、是直线外同侧的两点，请用尺规在直线上求作一点，使得保留作图痕迹，不写作法
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，、、三点共线，和落在的同侧，，求证：．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，在一块长，宽的矩形空地上，修建同样宽的两条道路两条道路各与矩形的一条边平行，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为，求道路的宽是多少？

20. 年北京张家口冬季奥运会第届冬季奥林匹克运动会，简称“北京张家口冬奥会”于年月日至年月日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，以下是年北京张家口冬奥运会会徽、冬残奥会会徽、冬奥会吉祥物及冬残奥会吉祥物的卡片，四张卡片分别用编号、、、来表示，这张卡片背面完全相同．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
    从中任意抽取一个张卡片，恰好是“冬梦”的概率为______；
    将冬梦和冰墩墩的组合或飞跃和雪容融的组合称为“配套”，小彩和小云分别从中随机抽取一张卡片，请你用列表或画树状图的方法求她们抽到的两张卡片恰好配套的概率．这四张卡片分别用它们的编号、、、表示

21. 如图，甲、乙两座建筑物的水平距离为，从甲的顶部处测得乙的顶部处的俯角为，测得底部处的俯角为求乙建筑物的高度结果取整数：参考数据：，，，，，

22. 为积极响应“弘扬传统文化”的号召，曲江一中组织初一年级名学生进行经典诗词诵读活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取名学生调查“一周诗词诵背数量”，根据调查结果绘制成的统计图如图所示．
    大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一固诗词诵背数量”，绘制成统计表如表：
    请根据调查的信息分析：

活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的众数为______，中位数为______；
求在大赛结束后一个月，抽查的这部分学生一周诗词背诵数量的平均数；
估计大赛后一个月初一学生一周诗词诵背首及首以上的人数．

23. 时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有、两种型号的手机，进价和售价如表所示：

某营业厅购进、两种型号手机共花费元，手机销售完成后共获得利润元．
营业厅购进、两种型号手机各多少部？
若营业厅再次购进、两种型号手机共部，其中型手机的数量不多于型手机数量的倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？






 

24. 如图，在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使．
    求证：是的切线；
    若，，，求的长．
    
     

25. 如图，抛物线与轴交于和两点点位于点右侧，与轴交于点，对称轴是直线，且，，连接，．
    求此抛物线的函数解析式；
    设抛物线的顶点为点，请在轴上找到一个点，使以点、、为顶点的三角形与相似？
    
     

26. 问题提出
    如图，已知为边长为的等边三角形，则的面积为______；
    问题探究
    如图，在中，已知，，求的最大面积；
    问题解决
    如图，某校学生礼堂的平面示意为矩形，其宽米，长米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面上安装一台摄像头进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点出发的观测角，请你通过所学知识进行分析，在墙面区域上是否存在点满足要求？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：的倒数是：．
故选：．
直接利用倒数的定义得出答案．
此题主要考查了倒数的定义，正确掌握倒数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】

解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
与“数”这个汉字相对的面上的汉字是“我”．
故选：．
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】

解：，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D正确；
故选：．
根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
 

4.【答案】

【解析】

解：，
，
，
，
由三角形外角的性质得：．
故选：．
由可知，因为，所以，由三角形外角的性质可知．
本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，解题关键是结合图形合理利用平行线的性质进行角的转化和计算．
 

5.【答案】

【解析】

解：线段的垂直平分线交于点，
，
设，则，
，
，
解得．
故选：．
根据线段垂直平分线的性质得出，根据勾股定理可得出答案．
本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．
 

6.【答案】

【解析】

解：将一次函数的图象向下平移个单位长度后得到，
平移后的函数图象经过点，
，
解得，
故选：．
根据平移的规律得到，然后根据待定系数法即可求得的值，从而求得正比例函数的表达式．
本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律是解题的关键，也考查了待定系数法求一次函数的解析式．
 

7.【答案】

【解析】

解：四边形为菱形，
，
点、分别是边、的中点，
，
点为的中点，
点到和的距离相等，
，
．
故选：．
利用菱形的性质得到，在根据三角形面积公式得到，由于点到和的距离相等，所以，然后利用进行计算．
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了三角形的面积．
 

8.【答案】

【解析】

解：函数的对称轴为，
，
二次函数的解析式为，
当时，，当时，，当时，，
函数图象开口向上，
当时，的取值范围为，
关于的一元二次方程为实数在的范围内有解，
，
故选：．
先由对称轴为求得的值，然后结合函数与方程间的关系求得的取值范围．
本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是会用函数的观点看一元二次方程．
 

9.【答案】

【解析】

解：

．
故答案为：．
此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有项，可采用平方差公式继续分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 

10.【答案】

【解析】

解：在正六边形内，正五边形中，，，
，
故答案为：．
分别求出正六边形，正五边形的内角可得结论．
本题考查正多边形与圆，解题的关键是求出正多边形的内角，属于中考常考题型．
 

11.【答案】

【解析】

解：根据题意得：
；
故答案为：．
先把化成，再根据近似公式得出，然后进行计算即可得出答案．
本题考查了分式的加减以及对无理数的估算，熟练掌握近似公式是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】

解：，
反比例函数是常数的图象在二、四象限，在每个象限，随的增大而增大，
当，在同一象限，
，
，
此不等式无解；
当点、在不同象限，
，
，，
解得：，
故答案为：．
根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，当点，在同一象限时，当点，在不同象限时．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】

解：在中，，，，
，
，
取、中点分别为、，连接，，，，，如图：

为直径，
，
、中点分别为、，线段的中点为，
，，，
，，，
∽，
，
点的轨迹是以为直径的半圆，
线段的中点运动的路线长为，
故答案为：
取，，中点，，，根据中位线的性质可判定三角形为直角三角形，可判定点轨迹为三角形的外接圆的半圆周，根据圆的周长公式计算即可．
本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，中位线的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

14.【答案】

解：


．
 

【解析】

首先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、开立方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 

15.【答案】

解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
 

【解析】

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

16.【答案】

解：原式


 

【解析】

根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
 

17.【答案】

解：如图所示：

如图，以为圆心，以为半径画圆，交直线于，过作的垂线交于，则；
如图，以为圆心，以为半径画圆，交直线于，过作的垂线交于，则．
 

【解析】

以为圆心，以为半径画圆，交直线于和，根据垂径定理过作和的垂线，可得点．
本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握垂径定理和中垂线的尺规作图，线段垂直平分线的性质及等腰三角形三线合一的性质．
 

18.【答案】

证明：，，
，
在和中，
，
≌，
．
 

【解析】

由“”可证≌，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
 

19.【答案】

解：设道路的宽是，则栽种花草的部分可合成长，宽的矩形，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又，
，
．
答：道路的宽是．
 

【解析】

设道路的宽是，则栽种花草的部分可合成长，宽的矩形，根据栽种花草的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合，即可得出道路的宽是．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

20.【答案】

【解析】

解：从中任意抽取一个张卡片，恰好是“冬梦”的概率为，
故答案为：；

画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两张卡片恰好配套的结果有种，
分别是：、、、，
所以她们抽到的两张卡片恰好配套的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，小彩和小云她们抽到的两张卡片恰好配套的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】

解：延长，过点作，交的延长线于点，

则，
在中，，
，
在中，，
，
，
乙建筑物的高度为．
 

【解析】

延长，过点作，交的延长线于点，根据题意可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】

首  首
 

【解析】

解：根据表格可知，首出现了次，次数最多，所以众数为首；
把这些数从小到大排列，最中间的数是第和个数的平均数，则中位数是首；
故答案为：首，首；

大赛结束后一个月，抽查的这部分学生一周诗词背诵数量的平均数为
首；

根据题意得：
人，
估计大赛后一个月初一学生一周诗词诵背首及首以上的人数为人．
根据众数与中位数的定义进行解答即可；
根据加权平均数的公式进行解答即可；
用总人数乘以大赛后一个月该校初一学生一周诗词诵背首及首以上的人数所占的百分比即可．
本题考查条形统计图、用样本估计总体、众数与中位数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

23.【答案】

解：设营业厅购进型号手机部，种型号手机分别部，由题意得：
，
解得，，
答：营业厅购进型号手机部，种型号手机分别部；
设购进种型号的手机部，则购进种型号的手机部，获得的利润为元，
，
型手机的数量不多于型手机数量的倍，
，
解得，，
，，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时，，
答：营业厅购进种型号的手机部，种型号的手机部时获得最大利润，最大利润是元．
 

【解析】

根据题意和表格中的数据，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得营业厅购进、两种型号手机各多少部；
根据题意，可以得到利润与种型号手机数量的函数关系式，然后根据型手机的数量不多于型手机数量的倍，可以求得种型号手机数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
 

24.【答案】

证明连接，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；

解：连接，
，，
，
，
，
是的直径，
，
在中，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
是的切线，
，
，，
，
，
∽，
，
，
．
 

【解析】

连接，求出推出，根据切线的判定推出即可；
连接，根据已知条件求出的直径，在中，求出，，在中，求出，根据，求出，进而得到，根据相似三角形的判定证得∽，根据相似三角形的性质即可求出．
本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是正确作出辅助线，把化为直角三角形，灵活应用三角函数的定义解决问题．
 

25.【答案】

解：抛物线的对称轴，
设此抛物线的函数解析式为，
，，
，，
，
解得，
抛物线的解析式为，即；
点，抛物线的对称轴，
，
，，
，，
，又是的外角，
，
由可知点的坐标是，
，，
，
点不可能在点右侧的轴上，
要使以点、、为顶点的三角形与相似，
则，且或，
故分以下两种情况考虑：

当时，时，∽，
，
解得 ，
又，
点与点重合，即；

当时，时，∽，
，
解得，
又，
，
的坐标是，
综上所述，满足要求的点的坐标是或．
 

【解析】

设此抛物线的函数解析式为，将点，代入即可求解；
先判断点不可能在点右侧的轴上，要使以点、、为顶点的三角形与相似，则，且或，因此分两种情况分别求出点坐标即可．
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质，相似三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的性质是解题的关键．
 

26.【答案】

【解析】

解：作于，

是边长为的等边三角形，
，
，
的面积为，
故答案为：；
作的外接圆，
，，
点在上运动，

当时，的面积最大，
，，
，，
，
的最大面积为；
存在，以为边，在矩形的内部作一个等腰直角三角形，且，
过作于，交于，

米，
米，米，
米，
米，
，
以为圆心，为半径的圆与相交，
上存在点，满足，此时满足条件的有两个点，
过作于，作于，连接，

米，米，
米，
米，
同理米，
的长度为米或米．
作于，由勾股定理求出的长，即可求出面积；
作的外接圆，可知点在上运动，当时，的面积最大，求出的长，从而得出答案；
以为边，在矩形的内部作一个等腰直角三角形，且，过作于，交于，利用等腰直角三角形的性质求出，的长，则以为圆心，为半径的圆与相交，从而上存在点，满足，此时满足条件的有两个点，过作于，作于，连接，利用勾股定理求出的长，从而解决问题．
本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识，熟练掌握定角定边的基本模型是解题的关键．