2021学年第26章 二次函数综合与测试单元测试测试题

第26章检测卷

时间：120分钟　　　　　满分：120分

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．下面的函数是二次函数的是(　　)

A．y＝3x＋1  B．y＝x2＋2x  C．y＝  D．y＝

2．抛物线y＝x2＋2的顶点坐标是(　　)

A．(2，1)  B．(0，2)  C．(1，0)  D．(1，2)

3．抛物线y＝x2－x＋1与x轴的交点的个数是(　　)

A．0  B．1  C．2  D．不确定

4．将抛物线y＝(x－1)2＋3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是(　　)[来源:学科网ZXXK]

A．(0，2)  B．(0，3)  C．(0，4)  D．(0，7)

5．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是(　　)

A．x＜－2  B．－2＜x＜4  C．x＞0  D．x＞4

第5题图          第8题图          第10题图

6．抛物线y＝－x2＋bx＋c上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表所示：

从上表可知，下列说法错误的是(　　)

A．抛物线与x轴的一个交点坐标为(－2，0)

B．抛物线与y轴的交点坐标为(0，6)

C．抛物线的对称轴是直线x＝0

D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的

7．若A(－3.5，y1)、B(－1，y2)、C(1，y3)为二次函数y＝－x2－4x＋5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是(　　)

A．y1<y2<y3  B．y3<y2<y1  C．y3<y1<y2  D．y2<y1<y3

8．如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是(　　)

A．6s  B．4s  C．3s  D．2s

9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋bx与y＝bx＋a的图象可能是(　　)

[来源:学科网ZXXK]

10．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x＝2，下列结论：

①4a＋b＝0；②9a＋c＞3b；③8a＋7b＋2c＞0；④若点A(－3，y1)、点B、点C在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；⑤若方程a(x＋1)(x－5)＝－3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜－1＜5＜x2.

其中正确的结论有(　　)

A．2个  B．3个  C．4个  D．5个

二、填空题(每小题3分，共24分)

11．当a＝________时，函数y＝(a－1)xa2＋1＋x－3是二次函数．

12．若抛物线y＝(a－3)x2－2有最低点，那么a的取值范围是________．

13．二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点的纵坐标为4，此函数关系式为____________．

14．请你写出一个b的值，使得函数y＝x2＋2bx在x>0时，y的值随x的增大而增大，则b可以是________．

15．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(1，2)和(－1，－6)两点，则a＋c＝________．

16．2017年7月1日是香港回归祖国和香港特别行政区成立二十周年的大日子，特区政府为此设计了六个充满活力的时尚图像．小明挑选了他最喜欢的一个图像制作了一张如图所示的贺卡．贺卡的宽为xcm，长为40cm，左侧图片的长比宽多4cm.若14≤x≤16，则右侧留言部分的最大面积为________cm2.

第16题图             第17题图         第18题图

17．如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1＝x2(x≥0)与y2＝(x≥0)的图象于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC，交y2的图象于点E，则＝________．

[来源:学科网ZXXK]

18．如图，已知A1，A2，A3，…，An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An－1An＝1，分别过点A1，A2，A3，…，An作x轴的垂线交二次函数y＝x2(x＞0)的图象于点P1，P2，P3，…，Pn，若记△OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1，记△P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2，记△P2B2P3的面积为S3……依次进行下去，则S3＝________，最后记△Pn－1Bn－1Pn(n＞1)的面积为Sn，则Sn＝________．

三、解答题(共66分)

19．(6分)用配方法把二次函数y＝x2－4x＋5化为y＝a(x＋m)2＋k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

20．(6分)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B(－1，0)和点C(2，3)．

(1)求此抛物线的函数表达式；

(2)如果此抛物线上下平移后过点(－2，－1)，试确定平移的方向和平移的距离．

21．(8分)已知点A(1，1)在二次函数y＝x2－2ax＋b的图象上．

(1)用含a的代数式表示b；

(2)如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．

22.(8分)如图，二次函数的图象与x轴交于A(－3，0)和B(1，0)两点，交y轴于点C(0，3)，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D.

(1)求点D的坐标；[来源:Z|xx|k.Com]

(2)求二次函数的解析式；

(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．

23．(8分)九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：

已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．

(1)请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是(________)元；②月销量是(________)件(直接写出结果)；

(2)设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少元时，当月的利润最大？最大利润是多少元？

24．(8分)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过B，C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC，BD，CD.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABDC的面积．

25．(10分)甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y＝a(x－4)2＋h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m.

(1)当a＝－时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网；

(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．

26．(12分)如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E.

(1)求直线AD的解析式；

(2)如图，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH的周长的最大值；

(3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．

参考答案与解析

1．B　2.B　3.A　4.B　5.B　6.C　7.C　8.A　9.C

10．B　解析：由图可知－＝2，∴4a＋b＝0，故①正确；∵x＝－3时，y＜0，∴9a－3b＋c＜0，∴9a＋c＜3b，故②错误；由图象可知抛物线经过(－1，0)和(5，0)，∴解得∴8a＋7b＋2c＝8a－28a－10a＝－30a.∵a＜0，∴8a＋7b＋2c＞0，故③正确；对于点A(－3，y1)、点B、点C，∵－2＝，2－＝，∴＜，∴点C比点B离对称轴的距离近，∴y3＞y2.∵a＜0，－3＜－＜2，∴y1＜y2，∴y1＜y2＜y3，故④错误；∵a＜0，∴(x＋1)(x－5)＝－＞0，∴x＜－1或x＞5，故⑤正确．故选B.

11．－1　12.a＞3　13.y＝－x2－2x＋3

14．0(答案不唯一)　15.－2　16.320　17.3－

18.　　解析：当x＝1时，y＝x2＝，则P1，所以S1＝×1×＝；当x＝2时，y＝x2＝2，则P2(2，2)，所以S2＝×1×＝；当x＝3时，y＝x2＝，则P3，所以S3＝×1×＝，…，所以Sn＝.

19．解：y＝x2－4x＋5＝(x－4)2－3.(3分)∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝4，顶点坐标是(4，－3)．(6分)

20．解：(1)将点B(－1，0)，C(2，3)代入y＝－x2＋bx＋c，得解得(2分)∴此抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3.(3分)

(2)在y＝－x2＋2x＋3中，当x＝－2时，y＝－4－4＋3＝－5.(5分)若点(－2，－5)平移后的对应点为(－2，－1)，则需将抛物线向上平移4个单位．(6分)

21．解：(1)将点(1，1)代入y＝x2－2ax＋b，得1－2a＋b＝1，∴b＝2a.(3分)

(2)由(1)得y＝x2－2ax＋b＝x2－2ax＋2a.∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a1＝0，a2＝2.(5分)当a＝0时，y＝x2，顶点坐标为(0，0)；当a＝2时，y＝x2－4x＋4＝(x－2)2，顶点坐标为(2，0)．(8分)

22．解：(1)∵二次函数的图象与x轴交于A(－3，0)和B(1，0)两点，∴对称轴是直线x＝＝－1.(1分)又∵点C的坐标为(0，3)，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，∴点D的坐标为(－2，3)．(3分)

(2)设二次函数的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)，将(0，3)代入得a×3×(－1)＝3，解得a＝－1，∴二次函数的解析式为y＝－(x＋3)(x－1)＝－x2－2x＋3.(6分)

(3)一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜－2或x＞1.(8分)

23．解：(1)①x－60(2分)　②－2x＋400(4分)

(2)由题意得y＝(x－60)(－2x＋400)＝－2x2＋520x－24000＝－2(x－130)2＋9800，∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．(8分)

24．解：(1)由已知得C(0，4)，B(4，4)，(2分)把B与C的坐标代入y＝－x2＋bx＋c中，得解得∴此抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋4.(4分)

(2)∵y＝－x2＋2x＋4＝－(x－2)2＋6，∴抛物线顶点D的坐标为(2，6)，(6分)∴S四边形ABDC＝S△ABC＋S△BCD＝×4×4＋×4×(6－4)＝8＋4＝12.(8分)

25．解：(1)①当a＝－时，y＝－(x－4)2＋h，将点P(0，1)代入得－×16＋h＝1，解得h＝.(3分)

②把x＝5代入y＝－(x－4)2＋，得y＝－×(5－4)2＋＝1.625.∵1.625＞1.55，∴此球能过网．(6分)

(2)把(0，1)，代入y＝a(x－4)2＋h，得解得∴a＝－.(10分)

26．解：(1)当x＝0时，y＝－x2＋2x＋3＝3，则点C的坐标为(0，3)．当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，则点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)．∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1.而点D和点C关于直线x＝1对称，∴点D的坐标为(2，3)．(2分)设直线AD的解析式为y＝kx＋b，把A(－1，0)，D(2，3)分别代入得解得∴直线AD的解析式为y＝x＋1.(4分)

(2)当x＝0时，y＝x＋1＝1，则点E的坐标为(0，1)．∵OA＝OE，∴△OAE为等腰直角三角形，∴∠EAO＝45°.∵FH∥OA，∴∠FHG＝45°，∴△FGH为等腰直角三角形．过点F作x轴的垂线交AD于N，∴FN⊥FH，∴△FNH为等腰直角三角形．而FG⊥HN，∴GH＝GN，∴△FGH的周长等于△FGN的周长．∵FG＝GN＝FN，∴△FGN的周长为(1＋)FN，∴当FN最大时，△FGN的周长最大．(6分)设点F的坐标为(x，－x2＋2x＋3)，则点N的坐标为(x，x＋1)，∴FN＝－x2＋2x＋3－x－1＝－＋.当x＝时，FN有最大值，∴△FGH周长的最大值为(1＋)×＝.(8分)

(3)设直线AM交y轴于点R.y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，则点M的坐标为(1，4)．设直线AM的解析式为y＝mx＋n，把A(－1，0)，M(1，4)分别代入得解得∴直线AM的解析式为y＝2x＋2.当x＝0时，y＝2x＋2＝2，则点R的坐标为(0，2)．当AQ为矩形APQM的对角线时，如图①所示．∵∠RAP＝90°，AO⊥PR，易证Rt△AOR∽Rt△POA，∴AO：OP＝OR：OA，即1：OP＝2：1，解得OP＝，∴点P的坐标为.∵点A(－1，0)向上平移4个单位，向右平移2个单位得到M(1，4)，∴点P向上平移4个单位，向右平移2个单位得到点Q.∵点T和点Q关于AM所在直线对称，∴点T的坐标为；当AP为矩形AQPM的对角线时，反向延长QA交y轴于S，如图②，同理可得S点的坐标为.∵R点为AM的中点，易证△PMR≌△SAR，∴R点为PS的中点，PM＝SA.∴点P的坐标为.(10分)∵PM＝AQ，∴AQ＝AS.又∵MA⊥QS，∴点Q关于AM的对称点为S，即点T的坐标为.综上所述，点T的坐标为或.(12分)