2021学年第26章 二次函数综合与测试单元测试同步达标检测题

华东师大版数学九年级下册 第26章 二次函数 单元测试题

一、选择题

1．将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为(　　)

A．y＝(x＋1)2＋4　　B．y＝(x＋1)2＋2

C．y＝(x－1)2＋4    D．y＝(x－1)2＋2

2．把抛物线y＝－x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的抛物线所对应的函数表达式为(　　)

A．y＝－(x＋1)2＋3     B．y＝－(x＋1)2－3

C．y＝－(x－1)2＋3     D．y＝－(x－1)2－3

3. 二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函数y的对应值如表：

下列说法正确的是(　　)

A．抛物线的开口向下

B．当x＞－3时，y随x的增大而增大

C．二次函数的最小值是－2

D．抛物线的对称轴是x＝－

4．若抛物线y＝2x2＋3上有三点A(1，y1)，B(5，y2)，C(－2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为(　　)

A．y2＜y1＜y3   B．y2＜y3＜y1   C．y1＜y3＜y2   D．y3＜y2＜y1

5．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是(　　)

A．－1＜x＜5  B．x＜－1且x＞5  C．x＜－1或x＞5  D．x＞5

6．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价(　　)

A．5元  B．10元  C．15元  D．20元

7．二次函数y＝ax2＋bx的图象如图，若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根，则m的最大值为(　　)

A．－3  B．3  C．－9  D．0

8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，下列结论：①abc＜0；②2a＋b＝0；③a－b＋c＞0；④4a－2b＋c＜0.其中正确的是(　　)

A．①②  B．只有①  C．③④  D．①④

9. 如图，坐标平面上，二次函数y＝－x2＋4x－k的图形与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0.若△ABC与△ABD的面积比为1∶4，则k值为何？(　　)

A．1     B.      C.     D.

10．如图，正方形ABCD的边长为3 cm，动点P从B点出发以3 cm/s的速度沿着边BC－CD－DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发以1 cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动，设P点运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，则y关于x的函数图象是(　　)

二、填空题

11．已知函数y＝(m－1)xm2＋1＋4x－3是二次函数，则该二次函数图象的顶点是______________．

12．用一根长为12 cm的细铁丝围成一个矩形，则围成的矩形中，面积最大为_________．

13．已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是___________．

14．某学习小组为了探究函数y＝x2－|x|的图象和性质，根据以往学习函数的经验，列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的m＝________．

15.如图，二次函数y＝x2－x的图象经过△AOB的三个顶点，其中A(－1，m)，B(n，n)，直线AB与y轴交于点C，则△AOB的面积是____．

16．如图，隧道的截面是抛物线，且抛物线的表达式为y＝－x2＋3.5，一辆车高2.5 m，宽4 m，该车____通过该隧道．(填“能”或“不能”)

17．某校的围墙上端由一段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图．其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏AB之间，按相同的间距0.2 m用5根立柱加固，拱高OC为0.6 m，则一段栅栏所需立柱的总长度是______．(精确到0.1 m)

18. 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)经过点(－1，0)和(m，0)，且1＜m＜2，当x＜－1时，y随着x的增大而减小．下列结论：①abc＞0；②a＋b＞0；③若点A(－3，y1)，点B(3，y2)都在抛物线上，则y1＜y2；④a(m－1)＋b＝0；⑤若c≤－1，则b2－4ac≤4a.其中结论错误的是________．(只填写序号)

三、解答题

19．已知抛物线y＝x2＋bx＋6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为(3，0)，与y轴相交于点C.

(1)求抛物线的表达式；

(2)求△ABC的面积．

20．抛物线y＝x2－2x＋c经过点(2，1)．

(1)求抛物线的顶点坐标；

(2)将抛物线y＝x2－2x＋c沿y轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于A，B两点，如果AB＝2，求新抛物线的表达式．

21．如图，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx－3的图象上．

(1)求m的值和二次函数的表达式；

(2)求二次函数图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；

(3)请直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．

22. 某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可多售出20千克．

(1)设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；

(2)若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？

23．已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8.如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E，F分别在AB，AC边上，EF交AD于点K.

(1)求的值；

(2)设EH＝x，矩形EFGH的面积为S.求S与x的函数表达式，并求S的最大值．

24．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下面的宽度为20 m，拱顶距离水面4 m.

(1)在如图的直角坐标系中，求出该抛物线所对应的二次函数表达式；

(2)在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时桥下水面的宽度为d(m)，试求d与h之间的函数关系式；

(3)设正常水位时桥下的水深为2 m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18 m．问：水深超过多少时，就会影响过往船只在桥下顺利航行？

25. 已知，m，n是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(m，0)，B(0，n)，如图所示．

(1)求这个抛物线的表达式；

(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；

(3)点P是直线BC上的一个动点(点P不与点B和点C重合)，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．

答案:

一、1---10  DADCC  ABDDC

二、11. (1，－1)

12. 9cm2

13. k≤4

14. 0.75

15. 2

16. 能

17. 2.3m

18. ③⑤

点拨：易得①的结论正确；∵抛物线过点(－1，0)和(m，0)，且1＜m＜2，∴0＜－＜，∴＋＝＞0，∴a＋b＞0，所以②的结论正确；∵点A(－3，y1)到对称轴的距离比点B(3，y2)到对称轴的距离远，∴y1＞y2，所以③的结论错误；∵抛物线过点(－1，0)，(m，0)，∴a－b＋c＝0，am2＋bm＋c＝0，∴am2－a＋bm＋b＝0，a(m＋1)(m－1)＋b(m＋1)＝0，∴a(m－1)＋b＝0，所以④的结论正确；∵＜c，而c≤－1，∴＜－1，∴b2－4ac＞4a，所以⑤的结论错误

三、19. 解：(1)y＝x2－5x＋6　(2)∵抛物线的表达式y＝x2－5x＋6，∴A(2，0)，B(3，0)，C(0，6)，∴S△ABC＝×1×6＝3

20. 解：(1)把(2，1)代入y＝x2－2x＋c得4－4＋c＝1，解得c＝1，所以抛物线表达式为y＝x2－2x＋1，顶点坐标为(1，0)　(2)y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，抛物线的对称轴为直线x＝1，而新抛物线与x轴交于A，B两点，AB＝2，所以A(0，0)，B(2，0)，所以新抛物线的表达式为y＝x(x－2)，即y＝x2－2x

21. 解：(1)m＝－1，y2＝x2－2x－3　(2)C(1，－4)，当x≤1时，y随x 的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大　(3)－1＜x＜2

22. 解：(1)根据题意得y＝(200＋20x)(6－x)＝－20x2－80x＋1200　(2)令y＝－20x2－80x＋1200中y＝960，则有960＝－20x2－80x＋1200，即x2＋4x－12＝0，解得x＝－6(舍去)或x＝2.答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元

23. 解：(1)＝＝　(2)由(1)知＝，∴EF＝12－x，∴S＝EH·EF＝12x－x2＝－(x－4)2＋24，当x＝4时，Smax＝24

24. 解：(1)设抛物线所对应的表达式为y＝ax2，把(－10，－4)代入得y＝－x2　(2)由(1)得y＝－x2，将(，－4＋h)代入得－4＋h＝－()2，求得d＝10　(3)当x＝9时，y＝－×92＝－，∴4＋2－＝，即当水深超过 m时，就会影响船只在桥下顺利航行

25. 解：(1)∵m，n是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m＝－1，n＝－3，∵抛物线y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(m，0)，B(0，n)．∴∴∴抛物线表达式为y＝x2－2x－3　(2)令y＝0，则x2－2x－3＝0，∴x1＝－1，x2＝3，∴C(3，0)，∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴顶点坐标D(1，－4)，过点D作DE⊥y轴，∵OB＝OC＝3，∴BE＝DE＝1，∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠DBE＝45°，∴∠CBD＝90°，∴△BCD是直角三角形　

(3)如图，∵B(0，－3)，C(3，0)，∴直线BC表达式为y＝x－3，∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，∴点M的横坐标为t，∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，∴P(t，t－3)，M(t，t2－2t－3)，过点Q作QF⊥PM，∴△PQF是等腰直角三角形，∵PQ＝，QF＝1，当点P在点M上方时，即0＜t＜3时，PM＝t－3－(t2－2t－3)＝－t2＋3t，∴S＝PM·QF＝(－t2＋3t)＝－t2＋t；当点P在点M下方时，即t＜0或t＞3时，PM＝t2－2t－3－(t－3)，∴S＝PM·QF＝(t2－3t)＝t2－t