2021学年第6章 图形的相似综合与测试单元测试当堂检测题

                         第 6 章《图形的相似》单元测试题

一．选择题（共10小题）

1．已知（a≠0，b≠0），则下列变形正确的有（　　）个．

（1）（2）2a=3b（3）（4）3a=2b

A．1 B．2 C．3 D．4

2．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上， =2，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（　　）

A． B． C． D．

3．如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（　　）

A．28° B．32° C．42° D．52°

4．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是a，则四边形BDEC的面积是（　　）

A．a B．2a C．3a D．4a

5．如图，已知∠ACP=∠ABC，AC=4，AP=2，则AB的长为（　　）

A．8 B．3 C．16 D．4

6．两个相似六边形的相似比为3：5，它们周长的差是24cm，那么较大的六边形周长为（　　）

A．40cm B．50cm C．60cm D．70cm

7．如图，F是菱形ABCD的边CD上一点，射线AF交BC延长线于点E，则下列比例式中正确的是（　　）

A． = B． = C． = D． =

8．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB=2，BC=4，DF=9，则EF的长是（　　）

A．3 B．6 C．7 D．8

9．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于M点，则FM=（　　）

A． B． C． D．

10．如图，在△ABC中AC=BC，∠ACB=90°，以BC为直径作⊙O，连接OA，交⊙O于点D，过D点作⊙O的切线交AC于点E，连接B、D并延长交AC于点F．则下列结论错误的是（　　）

A．△ADE∽△ACO B．△AOC∽△BFC C．△DEF∽△DOC D．CD2=DF•DB

二．填空题（共8小题）

11．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD=1，DB=2，则的值为　   　．

12．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，与BC边的交点为D，且DC=BC，DE∥AC，与AB边的交点为E，若DE=4，则BE的长为　   　．

13．如图，Q为正方形ABCD的CD边上一点，CQ=1，DQ=2，P为BC上一点，若PQ⊥AQ，则CP=　   　．

14．如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC，如果=，AC=10，那么EC=　   　．

15．已知点P、Q为线段AB的黄金分割点，且AB=2，则PQ=　   　．（结果保留根号）

16．如图，点E为矩形ABCD边BC上一点，点F在边CD的延长线上，EF与AC交于点O，若CE：EB=1：2，BC：AB=3：4，AE⊥AF，则CO：OA=　   　．

17．如图，D是等边△ABC的边BC上一动点，ED∥AC交AB于点E．DF⊥AC交AC于点F，DF=，若△DCF与E、F、D三点组成的三角形相似，则BD的长等于　   　．

18．如图，E是正方形ABCD边AB的中点，连接CE，过点B作BH⊥CE于F，交AC于G，交AD于H，下列说法：①=；②点F是GB的中点；③AG=AB；④S△AHG=S△ABC．其中正确的结论的序号是　   　．

[来源　

三．解答题（共7小题）

19．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，

（1）求证：AC2=AB•AD；

（2）求证：△AFD∽△CFE．

20．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．

（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是　   　；

（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是　   　．

21．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．

已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．

22．如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．

（1）△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由．

（2）求∠1+∠2的度数．

23．如图，G是边长为4的正方形ABCD的边BC上的一点，矩形DEFG的边EF过A，GD=5．

（1）指出图中所有的相似三角形；

（2）求FG的长．

24．在锐角△ABC中，正方形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另两个顶点G、H分别在AC、AB上，BC=15cm，BC边上的高是10cm，求正方形的面积．

25．如图，正方形ABCD的边长为10，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，AH⊥EF于点H，AH=10，连接BD，分别交AE、AH、AF于点P、G、Q．

（1）求△CEF的周长；

（2）若E是BC的中点，求证：CF=2DF；

（3）连接QE，求证：AQ=EQ．

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．【解答】解：由（a≠0，b≠0）得，3a=2b，

（1）、由等式性质可得：3a=2b，正确；

（2）、由等式性质可得2a=3b，错误；

（3）、由等式性质可得：3a=2b，正确；

（4）、由等式性质可得：3a=2b，正确；

故选：C．

2．【解答】解：∵当=时，DE∥BC，

∴选项D正确，

故选：D．

3．【解答】解：∵∠A=110°，∠C=28°，

∴∠B=42°，

∵△ABC∽△DEF，

∴∠B=∠E．

∴∠E=42°．

故选：C．

4．【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，[来源:Zxxk.Com]

∴DE∥BC，BC=2DE，

∴△ADE∽△ABC，

∴=（）2=4，

∴S△ABC=4a，

∴S△BDEC=S△ABC﹣S△ADE=3a．

故选：C．

5．【解答】解：∵∠ACP=∠ABC，∠A=∠A，

∴△ACP∽△ABC，

∴=，

∵AC=4，AP=2，

∴=，

∴AB=8，

故选：A．

6．【解答】解：由题意，可设较小多边形的周长为3x，则较大多边形的周长为5x，

则有：5x﹣3x=24，

解得x=12，

∴5x=60，

故选：C．

7．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，

∴AD∥CE，AB∥FC，AB=BC=CD=AD，

∴△ADF∽△ECF，△ABE∽△FCE，

∴△ADF∽△EBA，

∴==，故A错误；

=，故B错误；

=，故C错误；

=，故D正确．

故选：D．

8．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，

∴=，

∵AB=2，BC=4，DF=9，

∴=，

解得EF=6．

故选：B．

9．【解答】解：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，

∴AD=CD=BC=1、CE=CG=GF=3，∠ADM=∠G=90°，

∴DG=CG﹣CD=2，AD∥GF，

则△ADM∽△FGM，

∴=，即=，

解得：GM=，

∴FM===，

故选：C．

10．【解答】解：A、∵DE是⊙O的切线，

∴∠ADE=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ADE=∠ACB，

∵∠DAE=∠CAO，

∴△ADE∽△ACO；

故本选项正确；

B、假设△AOC∽△BFC，

则有∠OAC=∠FBC，

∵∠ACB=90°，以BC为直径作⊙O，

∴AC是⊙O的切线，

∴∠ACD=∠FBC，

∵∠ODC=∠OAC+∠ACD=2∠OAC，∠COD=2∠FBC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），

∴∠ODC=∠COD，

∴OC=CD，

又∵OD=OC，

∴OC=CD=OD，

即△OCD是等边三角形，∠AOC=60°，

∴AC=OC①，

而在△ABC中，AC=BC，BC=2OC，

∴AC=2OC②，

∴假设与题目条件相矛盾，

故假设不成立，所以△AOC与△BFC不相似；

故本选项错误；

C、∵∠ACB=90°，

∴∠CBD+∠BFC=90°，

∴BC是⊙O的直径，

∴∠CBD+∠BCD=90°，

∴∠BCD=∠BFC，

∵DE是⊙O的切线，AC是⊙O的切线，

∴∠CDE=∠CED=∠CBD，

又∵∠AED=∠CDE+∠CED=2∠CBD，

∠COD=2∠CBD，

∴∠AED=∠COD，[来源:Z|xx|k.Com]

在△DEF∽△DOC中，，

∴△DEF∽△DOC，

故本选项正确；

D、∵BC为⊙O的直径，

∴∠CDB=90°，

∴CD⊥BF，

∵∠ACB=90°，

∴CD2=DF•DB，

故本选项正确．

故选：B．

二．填空题（共8小题）

11．【解答】解：∵DE∥BC，

∴=，

∵AD=1，BD=2，

∴AB=3，

∴=，

故答案为：．

12．【解答】解：∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵DE∥AC，

∴∠CAD=∠EDA，

∴∠EAD=∠EDA，

∴EA=ED=4，

∵DE∥AC，

∴=，

而DC=BC，

∴BE=2AE=8．

故答案为8．

13．【解答】解：∵PQ⊥AQ，

∴∠DQA+∠CQP=180°﹣90°=90°；

又∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAQ+∠DQA=90°，

∴∠CQP=∠DAQ，

∴ADQ∽△QCP，

∴=；

∵CQ=1，DQ=2，

∴AD=DC=3；

∴CP=；

故答案：．

14．【解答】解：∵DE∥BC，

∴==，

∵AC=10，

∴EC=×10=4，

故答案为4．

15．【解答】解：根据黄金分割点的概念，可知AP=BQ=×2=（﹣1）．

则PQ=AP+BQ﹣AB=（﹣1）×2﹣2=（2﹣4）．

故本题答案为：2﹣4．

16．【解答】解：由BC：AB=3：4，设BC=3a，AB=4a，则CE=a，BE=2a，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD=4a，BC=AD=3a，∠B=∠BCD=∠DAB=∠ADF=90°，

∵EA⊥AF，

∴∠BAD=∠EAF=90°，

∴∠BAE=∠DAF，∵∠B=∠ADF=90°，

∴△BAE∽△DAF，

∴==，

∴DF=a，

在Rt△ECF中，EF==，

在Rt△ABC中，AC==5a，

在Rt△ADF中，AF==a，

∵∠ECF+∠EAF=180°，

∴A、E、C、F四点共圆，

∴∠ECO=∠AFO，∵∠EOC=∠AOF，

∴△EOC∽△AOF，

∴===，

设EO=x则AO=x，

设OC=y，则OF=y，

则有，

解得，

∴OC=a，OA=a，

∴CO：OA=a： a=11：30．

故答案为：11：30；

17．【解答】解：∵ED∥AC交AB于点E，△ABC是等边三角形，

∴△BDE是等边三角形，∠FDC=30°，

当△DCF∽△EFD，

∴∠FED=∠FDC=30°

∴DE===3，

∴BD=DE=3；

当△DCF∽△FED，

∴∠EFD=∠FDC=30°，

∴BD=DE=DF•tan∠A=×=1．

故答案为：1或3．

18．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠HAB=∠ABC=90°，

∵CE⊥BH，

∴∠BFC=∠BCF+∠CBF=∠CBF+∠ABH=90°，

∴∠BCF=∠ABH，

∴△ABH≌△BCE，

∴AH=BE，

∵E是正方形ABCD边AB的中点，

∴BE=AB，

∴AH=AD=BC，

∴=，

∵AH∥BC，

∴=，

∴；

故正确；

②tan∠ABH=tan∠BCF==，

设BF=x，CF=2x，则BC=x，

∴AH=x，

∴BH==x，

∵=，

∴HG==，

∴FG=BH﹣GH﹣BF=﹣﹣x=≠BF，

故②不正确；

③∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=90°，

∴AC=AB，

∵，

∴，

∴AG=AC=AB，

故③正确；

④∵=，[来源:学科网]

∴，，

∴=，

∴，

故④正确；

本题正确的结论是：①③④；

故答案为：①③④．

三．解答题（共7小题）

19．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAB，

∵∠ADC=∠ACB=90°，

∴△ADC∽△ACB，

∴AD：AC=AC：AB，

∴AC2=AB•AD；

（2）证明：∵E为AB的中点，

∴CE=BE=AE，

∴∠EAC=∠ECA，

∵∠DAC=∠CAB，

∴∠DAC=∠ECA，

∴CE∥AD，

∴△AFD∽△CFE．

20．【解答】解：（1）如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，﹣2）；

（2）如图所示，以B为位似中心，画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是（1，0），

故答案为：（1）（2，﹣2）；（2）（1，0）

21．【解答】解：∵BC∥DE，

∴△ABC∽△ADE，

∴=，

∴=，

∴AB=17（m），

经检验：AB=17是分式方程的解，

答：河宽AB的长为17米．

22．【解答】解：（1）相似．

理由：设正方形的边长为a，

AC==a，

∵==， ==，

∴=，

∵∠ACF=∠ACF，

∴△ACF∽△GCA；

（2）∵△ACF∽△GCA，

∴∠1=∠CAF，

∵∠CAF+∠2=45°，

∴∠1+∠2=45°．

23．【解答】解：（1）△AFH，△DCG，△DEA，△GBH均是相似三角形；

（2）由∠E=∠C=90°，∠EDA与∠CDG均

为∠ADG的余角，得△DEA∽△DCG

∴，ED=FG，

∴，

由已知GD=5，AD=CD=4，

∴，即FG=．

24．【解答】解：作AD⊥BC，交BC于点D，交GH于点M，

∵四边形EFGH是正方形，

∴EH=MD=HG，设正方形的边长为x，则AM=10﹣x，且AM⊥GH，

∵GH∥BC，

∴△AHG∽△ABC，

∴=，即=，解得x=6，

∴S正方形HEFG=36（cm2）．

25．【解答】解：（1）在Rt△ABE和Rt△AHE中，

∵∠ABE=∠AHE=90°，AB=AH=10，AE=AE，

∴△ABE≌△AHE，

∴BE=HE，同理，DF=FH，

∴△ECF的周长=CE+CF+EF=CE=CE+BE+CF+FD=CB+CD=20．

（2）∵E是BC中点，

∴BE=EC=EH=5，设DF=FH=x，则CF=10﹣x，

在Rt△ECF中，∵∠C=90°，

∴EF2=EC2+CF2，

∴52+（10﹣x）2=（5+x）2，

解得x=，即DF=，则CF=10﹣=，

∴CF=2DF．[来源:学科网ZXXK]

（3）在△BPE和△APQ中，∠EBP=∠QAP=45°，∠BPE=∠APQ，

∴△BPE∽△APQ，

∴=，

即=，

∵∠APB=∠QPE，

∴△APB∽△QPE，

∴∠QEP=∠ABP=45°，

∵∠EAF=45°，

∴∠QEA=∠QAE=45°，

∴AQ=EQ．