苏科版八年级下册第9章 中心对称图形——平行四边形综合与测试单元测试课后练习题

这是一份苏科版八年级下册第9章 中心对称图形——平行四边形综合与测试单元测试课后练习题，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知平行四边形ABCD的周长为32，AB=4，则BC的长为( )
A．4B．12C．24D．28
2．如图，在平行四边形ABCD中，∠B=80°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AD于点F，则∠1=( )
A．40°B．50°C．60°D．80°
3．顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是( )
A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形
4．如图，平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是( )
A．6B．8C．9D．10
5．下列条件之一能使菱形ABCD是正方形的为( )
①AC⊥BD ②∠BAD=90° ③AB=BC ④AC=BD．
A．①③B．②③C．②④D．①②③
6．如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O．则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC=120°，③AH+CH=DH中，正确的是( )
A．①②④B．①②③C．②③④D．①②③④
7．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是( )
A．S△AFD=2S△EFBB．BF=DF
C．四边形AECD是等腰梯形D．∠AEB=∠ADC
8．不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AB=CD，AD=BCB．AB=CD，AB∥CDC．AB=CD，AD∥BCD．AB∥CD，AD∥BC
9．如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE=1，AF=3，P为BD上一动点，则线段EP+FP的长最短为( )
A．3B．4C．5D．6
10．如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点E，则线段DE的长为( )
A．3B．C．5D．
二、填空题
11．直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边中线长是__________．
12．如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1=25°，则∠2=__________．
13．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是__________．
14．矩形、菱形、正方形都是特殊的四边形，它们具有很多共性，如：__________．（填一条即可）
15．▱ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△OAB的周长比△OBC的周长大3，则AB=__________．
16．如图，正方形ABCD的对角线长为8，E为AB上一点，若EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，则EF+EG=__________．
三、解答题
17．如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC的中点，MP⊥AB交边CD于点P，连接NM，NP．
（1）若∠B=60°，这时点P与点C重合，则∠NMP=__________度；
（2）求证：NM=NP；
（3）当△NPC为等腰三角形时，求∠B的度数．
18．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，连接CE、AF，∠DCE=∠BAF．试判断四边形AECF的形状并加以证明．
19．如图，△ABC是等腰三角形，AB=BC，点D为BC的中点．
（1）用圆规和没有刻度的直尺作图，并保留作图痕迹：
①过点B作AC的平行线BP；
②过点D作BP的垂线，分别交AC，BP，BQ于点E，F，G．
（2）在（1）所作的图中，连接BE，CF．求证：四边形BFCE是平行四边形．
20．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）填空：①当AM的值为__________时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为__________时，四边形AMDN是菱形．
21．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD分别与AE、AF相交于G、H．
（1）在图中找出与△ABE相似的三角形，并说明理由；
（2）若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形．
22．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
求证：四边形OCED是菱形．
23．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．
24．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作平行四边形AGDB交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠G=90，求证：四边形DEBF是菱形．
苏科新版八年级数学下册《平行四边形》2015年单元测试卷
一、选择题
1．已知平行四边形ABCD的周长为32，AB=4，则BC的长为( )
A．4B．12C．24D．28
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，根据2（AB+BC）=32，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵平行四边形ABCD的周长是32，
∴2（AB+BC）=32，
∴BC=12．
故选B．
【点评】本题主要考查对平行四边形的性质的理解和掌握，能利用平行四边形的性质进行计算是解此题的关键．
2．如图，在平行四边形ABCD中，∠B=80°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AD于点F，则∠1=( )
A．40°B．50°C．60°D．80°
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的对边平行和角平分线的定义，以及平行线的性质求∠1的度数即可．
【解答】解：∵AD∥BC，∠B=80°，
∴∠BAD=180°﹣∠B=100°．
∵AE平分∠BAD
∴∠DAE=∠BAD=50°．
∴∠AEB=∠DAE=50°
∵CF∥AE
∴∠1=∠AEB=50°．
故选B．
【点评】此题主要考查平行四边形的性质和角平分线的定义，属于基础题型．
3．顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是( )
A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形
【考点】中点四边形．
【分析】三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．需注意新四边形的形状只与对角线有关，不用考虑原四边形的形状．
【解答】解：如图，连接AC、BD．
在△ABD中，
∵AH=HD，AE=EB，
∴EH=BD，
同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，
又∵在矩形ABCD中，AC=BD，
∴EH=HG=GF=FE，
∴四边形EFGH为菱形．
故选C．
【点评】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．
4．如图，平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是( )
A．6B．8C．9D．10
【考点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质．
【专题】压轴题；转化思想．
【分析】根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质可知，△CDE的周长=CD+DE+CE=CD+DE+AE=CD+AD=AB+BC=3+5=8．
【解答】解：根据垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等知，EC=AE；
根据在平行四边形ABCD中有BC=AD，AB=CD，
∴△CDE的周长等于CD+DE+CE=CD+DE+AE=CD+AD=AB+BC=3+5=8．
故选B．
【点评】本题结合线段垂直平分线的性质考查了平行四边形的性质，利用中垂线将已知转化是解题的关键．
5．下列条件之一能使菱形ABCD是正方形的为( )
①AC⊥BD ②∠BAD=90° ③AB=BC ④AC=BD．
A．①③B．②③C．②④D．①②③
【考点】正方形的判定．
【分析】直接利用正方形的判定方法，有一个角是90°的菱形是正方形，以及利用对角线相等的菱形是正方形进而得出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴当∠BAD=90°时，菱形ABCD是正方形，故②正确；
∵四边形ABCD是菱形，
∴当AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故④正确；
故选：C．
【点评】此题主要考查了正方形的判定，正确掌握正方形的判定方法是解题关键．
6．如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O．则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC=120°，③AH+CH=DH中，正确的是( )
A．①②④B．①②③C．②③④D．①②③④
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】由菱形ABCD中，AB=AC，易证得△ABC是等边三角形，则可得∠B=∠EAC=60°，由SAS即可证得△ABF≌△CAE；则可得∠BAF=∠ACE，利用三角形外角的性质，即可求得∠AHC=120°；在HD上截取HK=AH，连接AK，易得点A，H，C，D四点共圆，则可证得△AHK是等边三角形，然后由AAS即可证得△AKD≌△AHC，则可证得AH+CH=DH；易证得△OAD∽△AHD，由相似三角形的对应边成比例，即可得AD2=OD•DH．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
即△ABC是等边三角形，
同理：△ADC是等边三角形
∴∠B=∠EAC=60°，
在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；
故①正确；
∴∠BAF=∠ACE，
∵∠AEH=∠B+∠BCE，
∴∠AHC=∠BAF+∠AEH=∠BAF+∠B+∠BCE=∠B+∠ACE+∠BCE=∠B+∠ACB=60°+60°=120°；
故②正确；
在HD上截取HK=AH，连接AK，
∵∠AHC+∠ADC=120°+60°=180°，
∴点A，H，C，D四点共圆，
∴∠AHD=∠ACD=60°，∠ACH=∠ADH，
∴△AHK是等边三角形，
∴AK=AH，∠AKH=60°，
∴∠AKD=∠AHC=120°，
在△AKD和△AHC中，
，
∴△AKD≌△AHC（AAS），
∴CH=DK，
∴DH=HK+DK=AH+CH；
故③正确；
∵∠OAD=∠AHD=60°，∠ODA=∠ADH，
∴△OAD∽△AHD，
∴AD：DH=OD：AD，
∴AD2=OD•DH．
故④正确．
故选D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
7．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是( )
A．S△AFD=2S△EFBB．BF=DF
C．四边形AECD是等腰梯形D．∠AEB=∠ADC
【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】压轴题．
【分析】本题要综合分析，但主要依据都是平行四边形的性质．
【解答】解：A、∵AD∥BC
∴△AFD∽△EFB
∴===
故S△AFD=4S△EFB；
B、由A中的相似比可知，BF=DF，正确．
C、由∠AEC=∠DCE可知正确．
D、利用等腰三角形和平行的性质即可证明．
故选：A．
【点评】解决本题的关键是利用相似求得各对应线段的比例关系．
8．不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AB=CD，AD=BCB．AB=CD，AB∥CDC．AB=CD，AD∥BCD．AB∥CD，AD∥BC
【考点】平行四边形的判定．
【分析】A、B、D，都能判定是平行四边形，只有C不能，因为等腰梯形也满足这样的条件，但不是平行四边形．
【解答】解：根据平行四边形的判定：A、B、D可判定为平行四边形，而C不具备平行四边形的条件，
故选：C．
【点评】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
9．如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE=1，AF=3，P为BD上一动点，则线段EP+FP的长最短为( )
A．3B．4C．5D．6
【考点】轴对称-最短路线问题；菱形的性质．
【分析】在DC上截取DG=FD=AD﹣AF=4﹣3=1，连接EG，则EG与BD的交点就是P．EG的长就是EP+FP的最小值，据此即可求解．
【解答】解：在DC上截取DG=FD=AD﹣AF=4﹣3=1，连接EG，则EG与BD的交点就是P．
∵AE=DG，且AE∥DG，
∴四边形ADGE是平行四边形，
∴EG=AD=4．
故选B．
【点评】本题考查了轴对称，理解菱形的性质，对角线所在的直线是菱形的对称轴是关键．
10．如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点E，则线段DE的长为( )
A．3B．C．5D．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】首先根据题意得到BE=DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题．
【解答】解：设ED=x，则AE=6﹣x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB=∠DBC；
由题意得：∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴EB=ED=x；
由勾股定理得：
BE2=AB2+AE2，
即x2=9+（6﹣x）2，
解得：x=3.75，
∴ED=3.75
故选：B．
【点评】本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．
二、填空题
11．直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边中线长是．
【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
【分析】根据勾股定理求出斜边，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半计算即可．
【解答】解：∵直角三角形中，两直角边长分别为12和5，
∴斜边==13，
则斜边中线长是，
故答案为：．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用和直角三角形的性质的运用，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．
12．如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1=25°，则∠2=115°．
【考点】平行线的性质．
【分析】将各顶点标上字母，根据平行线的性质可得∠2=∠DEG=∠1+∠FEG，从而可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠2=∠DEG=∠1+∠FEG=115°．
故答案为：115°．
【点评】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行内错角相等．
13．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是4．
【考点】菱形的性质．
【分析】在Rt△AOD中求出AD的长，再由菱形的四边形等，可得菱形ABCD的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=AC=3，DO=BD=2，AC⊥BD，
在Rt△AOD中，AD==，
∴菱形ABCD的周长为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分．
14．矩形、菱形、正方形都是特殊的四边形，它们具有很多共性，如：对角线相互平分．（填一条即可）
【考点】正方形的性质；平行四边形的性质；菱形的性质．
【专题】压轴题；开放型．
【分析】在矩形、菱形、正方形这种特殊的四边形中，它们都平行四边形，所以平行四边形所有的性质都是它们的共性．
【解答】解：∵矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，
∴它们都具有平行四边形的性质，
所以填两组对边分别平行、或两组对边分别相等、或对角线相互平分等．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形．
15．▱ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△OAB的周长比△OBC的周长大3，则AB=9．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】如图：由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，BC=AD，OA=OC，OB=OD；又由△OAB的周长比△OBC的周长大3，可得AB﹣BC=3，又因为▱ABCD的周长是30，所以AB+BC=10；解方程组即可求得．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，OA=OC，OB=OD；
又∵△OAB的周长比△OBC的周长大3，
∴AB+OA+OB﹣（BC+OB+OC）=3
∴AB﹣BC=3，
又∵▱ABCD的周长是30，
∴AB+BC=15，
∴AB=9．
故答案为9．
【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角线互相平分．解题时要注意利用方程思想与数形结合思想求解．
16．如图，正方形ABCD的对角线长为8，E为AB上一点，若EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，则EF+EG=4．
【考点】正方形的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】正方形ABCD的对角线交于点O，连接0E，由正方形的性质和对角线长为8，得出OA=OB=4；进一步利用S△ABO=S△AEO+S△EBO，整理得出答案解决问题．
【解答】解：如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB=4，
又∵S△ABO=S△AEO+S△EBO，
∴OA•OB=OA•EF+OB•EG，
即×4×4=×4×（EF+EG）
∴EF+EG=4．
故答案为：4．
【点评】此题考查正方形的性质，三角形的面积计算公式；利用三角形的面积巧妙建立所求线段与已知线段的关系，进一步解决问题．
三、解答题
17．如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC的中点，MP⊥AB交边CD于点P，连接NM，NP．
（1）若∠B=60°，这时点P与点C重合，则∠NMP=30度；
（2）求证：NM=NP；
（3）当△NPC为等腰三角形时，求∠B的度数．
【考点】四边形综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）根据直角三角形的中线等于斜边上的一半，即可得解；
（2）延长MN交DC的延长线于点E，证明△MNB≌△ENC，进而得解；
（3）NC和PN不可能相等，所以只需分PN=PC和PC=NC两种情况进行讨论即可．
【解答】解：（1）∵MP⊥AB交边CD于点P，∠B=60°，点P与点C重合，
∴∠NPM=30°，∠BMP=90°，
∵N是BC的中点，∴MN=PN，
∴∠NMP=∠NPM=30°；
（2）
如图1，延长MN交DC的延长线于点E，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，
∴∠BMN=∠E，
∵点N是线段BC的中点，∴BN=CN，
在△MNB和△ENC中，
，
∴△MNB≌△ENC，
∴MN=EN，
即点N是线段ME的中点，
∵MP⊥AB交边CD于点P，
∴MP⊥DE，
∴∠MPE=90°，
∴PN=MN=ME；
（3）如图2
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，
又M，N分别是边AB，BC的中点，
∴MB=NB，
∴∠BMN=∠BNM，
由（2）知：△MNB≌△ENC，
∴∠BMN=∠BNM=∠E=∠CNE，
又∵PN=MN=NE，
∴∠NPE=∠E，
设∠BMN=∠BNM=∠E=∠CNE=∠NPE=x°，
则∠NCP=2x°，∠NPC=x°，
①若PN=PC，则∠PNC=∠NCP=2x°，
在△PNC中，2x+2x+x=180，
解得：x=36，
∴∠B=∠PNC+∠NPC=2x°+x°=36°×3=108°，
②若PC=NC，则∠PNC=∠NPC=x°，
在△PNC中，2x+x+x=180，
解得：x=45，
∴∠B=∠PNC+∠NPC=x°+x°=45°+45°=90°．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，以及直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键，有很强的综合性，要注意对等腰三角形进行分类讨论，注意认真总结．
18．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，连接CE、AF，∠DCE=∠BAF．试判断四边形AECF的形状并加以证明．
【考点】平行四边形的判定；矩形的性质．
【分析】证得FA∥CE后利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判断即可．
【解答】解：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵矩形ABCD中，AB∥DC，
∴∠DCE=∠CEB，
∵∠DCE=∠BAF，
∴∠CEB=∠BAF，
∴FA∥CE，
又矩形ABCD中，
FC∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点评】考查了平行四边形的判定及矩形的性质，解题的关键是牢记平行四边形的五种判定方法，难度不大．
19．如图，△ABC是等腰三角形，AB=BC，点D为BC的中点．
（1）用圆规和没有刻度的直尺作图，并保留作图痕迹：
①过点B作AC的平行线BP；
②过点D作BP的垂线，分别交AC，BP，BQ于点E，F，G．
（2）在（1）所作的图中，连接BE，CF．求证：四边形BFCE是平行四边形．
【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的性质；平行四边形的判定．
【分析】（1）作出与∠C相等的内错角即可得到AC的平行线，过直线外一点作已知直线的垂线即可；
（2）首先证得△ECD≌△FBD，从而得到CE=BF，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可．
【解答】解：（1）如图：
（2）证明：如图：
∵BP∥AC，
∴∠ACB=∠PBC，
在△ECD和△FBD中，
，
∴△ECD≌△FBD，
∴CE=BF，
∴四边形ECFB是平行四边形．
【点评】本题考查了基本作图的知识及平行四边形的判定，解题的关键是能够掌握一些基本作图，难度不大．
20．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）填空：①当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形．
【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的判定．
【分析】（1）利用菱形的性质和已知条件可证明四边形AMDN的对边平行且相等即可；
（2）①有（1）可知四边形AMDN是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即∠DMA=90°，所以AM=AD=1时即可；
②当平行四边形AMND的邻边AM=DM时，四边形为菱形，利用已知条件再证明三角形AMD是等边三角形即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴ND∥AM，
∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，
又∵点E是AD边的中点，
∴DE=AE，
∴△NDE≌△MAE，
∴ND=MA，
∴四边形AMDN是平行四边形；
（2）解：①当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：
∵AM=1=AD，
∴∠ADM=30°
∵∠DAM=60°，
∴∠AMD=90°，
∴平行四边形AMDN是矩形；
故答案为：1；
②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形．理由如下：
∵AM=2，
∴AM=AD=2，
∴△AMD是等边三角形，
∴AM=DM，
∴平行四边形AMDN是菱形，
故答案为：2．
【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定、以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握特殊图形的判定以及重要的性质．
21．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD分别与AE、AF相交于G、H．
（1）在图中找出与△ABE相似的三角形，并说明理由；
（2）若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定．
【分析】（1）利用平行四边形的性质求出相等的角，然后判断出△ABE∽△ADF；
（2）判断出四边形ABCD是平行四边形，再加上条件AB=AD可以判断出四边形ABCD是菱形．
【解答】解：（1）△ABE∽△ADF．
理由如下：∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∴∠AEB=∠AFD=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE=∠ADF．
∴△ABE∽△ADF．
（2）证明：∵AG=AH，
∴∠AGH=∠AHG．
∴∠AGB=∠AHD．
∵△ABE∽△ADF，
∴∠BAG=∠DAH．
∴∠BAG≌∠DAH．
∴AB=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定，熟悉图形特征是解题的关键．
22．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
求证：四边形OCED是菱形．
【考点】菱形的判定；矩形的性质．
【专题】证明题．
【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论．
【解答】证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形．
【点评】此题主要考查了菱形的判定，矩形的性质，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
23．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；直角梯形．
【专题】几何综合题；压轴题．
【分析】（1）由四边形是ABCD正方形，易证得△CBE≌△CDF（SAS），即可得CE=CF；
（2）首先延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，易证得∠ECF=∠BCD=90°，又由∠GCE=45°，可得∠GCF=∠GCE=45°，即可证得△ECG≌△FCG，继而可得GE=BE+GD；
（3）首先过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，易证得四边形ABCG为正方形，由（1）（2）可知，ED=BE+DG，即可求得DG的长，设AB=x，在Rt△AED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB的长，继而求得直角梯形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠FDC=90°．
∴∠B=∠FDC，
∵BE=DF，
∴△CBE≌△CDF（SAS）．
∴CE=CF．
（2）证明：如图2，延长AD至F，使DF=BE，连接CF．
由（1）知△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF．
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，
即∠ECF=∠BCD=90°，
又∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°．
∵CE=CF，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG．
∴GE=GF，
∴GE=GF=DF+GD=BE+GD．
（3）解：如图3，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠A=∠B=90°，
又∵∠CGA=90°，AB=BC，
∴四边形ABCG为正方形．
∴AG=BC．…
∵∠DCE=45°，
根据（1）（2）可知，ED=BE+DG．…
∴10=4+DG，
即DG=6．
设AB=x，则AE=x﹣4，AD=x﹣6，
在Rt△AED中，
∵DE2=AD2+AE2，即102=（x﹣6）2+（x﹣4）2．
解这个方程，得：x=12或x=﹣2（舍去）．…
∴AB=12．
∴S梯形ABCD=（AD+BC）•AB=×（6+12）×12=108．
即梯形ABCD的面积为108．…
【点评】此题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．
24．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作平行四边形AGDB交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠G=90，求证：四边形DEBF是菱形．
【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据已知条件证明BE=DF，BE∥DF，从而得出四边形DFBE是平行四边形，即可证明DE∥BF，
（2）先证明DE=BE，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．
【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD 中，AB∥CD，AB=CD
∵E、F分别为AB、CD的中点
∴DF=DC，BE=AB
∴DF∥BE，DF=BE
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴DE∥BF；
（2）∵AG∥BD，
∴∠G=∠DBC=90°，
∴△DBC 为直角三角形，
又∵F为边CD的中点，
∴BF=DC=DF，
又∵四边形DEBF为平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定．解题时，需要掌握平行四边形与菱形间的相互联系，难度适中．