初中数学苏科版八年级下册第9章 中心对称图形——平行四边形综合与测试单元测试综合训练题

《第9章 中心对称图形》

一、选择题

1．顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是（　　）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

2．顺次连接下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是（　　）

A．等腰梯形

B．矩形

C．平行四边形

D．菱形或对角线互相垂直的四边形

3．如果四边形的对角线相等，那么顺次连接四边中点所得的四边形是（　　）

A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．以上都不对

4．把图形绕点A按逆时针方向旋转70°后所得的图形与原图作比较，保持不变的是（　　）

A．位置与大小 B．形状与大小

C．位置与形状 D．位置、形状及大小

5．下面4个图案中，是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

6．在平行四边形、矩形、菱形和等腰梯形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．下列说法中，正确的是（　　）

A．一组对边平行的四边形是平行四边形

B．有一个角是直角的四边形是矩形

C．四条边相等的四边形是菱形

D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形

8．如图，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是边AB、AC的中点，连接DE、DF，在不再连接其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个条件，这个条件不可能是（　　）

A．BD=DC B．AB=AC C．AD=BC D．AD⊥BC

9．在梯形ABCD中，AB∥CD，DC：AB=1：2，E、F分别是两腰BC、AD的中点，则EF：AB等于（　　）

A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．3：4

二、填空题

10．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，若DE=5，则BC的长是　　．

11．已知一个三角形的周长为10cm，则连接各边中点所得的三角形的周长为　　cm．

12．已知以一个三角形各边中点为顶点的三角形的周长为8cm，则原三角形的周长为　　cm．

13．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点．

（1）如果EF=4cm，那么BC=　　cm；如果AB=10cm，那么DF=　　cm；

（2）中线AD与中位线EF的关系是　　．

14．要使一个平行四边形成为正方形，则需增加的条件是　　（填上一个正确的结论即可）．

15．已知：如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O，写出一组相等的线段　　（不包括AB=CD和AD=BC）．

16．已知菱形的两条对角线长为6cm和8cm，菱形的周长是　　cm，面积是　　cm2．

17．如图，P是边长为4的正方形ABCD的边AD上的一点，且PE⊥AC，PF⊥BD，则PE+PF=　　．

18．斜拉桥是利用一组钢索，把桥面重力传递到耸立在两侧的高塔上的桥梁，它不需建造桥墩，如图：、、…、是斜拉桥上五条相互平行的钢索，并且、、、、被均匀地固定在桥面上．已知最长的钢索=80m，最短的钢索=20m，那么钢索、的长分别为　　m和　　m．

三、解答题

19．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AD=AC，AE⊥CD，垂足是E，F是CB的中点．求证：BD=2EF．

20．如图，E、F分别是AB、AC的中点，延长EF交∠ACD的平分线于点G．AG与CG有怎样的位置关系？说明你的理由．

21．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别是AD、BC的中点，延长BA、NM，CD分别交于点E、F．求证：∠BEN=∠NFC．

22．某居民小区搞绿化，小区的居民们把一块矩形垃圾场地清理干净后，准备建几个花坛，老张说：花坛应该有圆有方；老李说：花坛和整个矩形空地应该成中心对称图案，这样比较漂亮．你能设计一个让大家都满意的方案吗？试试看（将你设计的方案画在下面的矩形方框中）．

23．如图，在梯形ABCD中，点P从点A向点D运动，点Q从点C向点B运动．已知点P的运动速度为1cm/s，点Q的运动速度为2cm/s，AD=4cm，BC=8cm，运动时间为t．当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？

《第9章 中心对称图形》

参考答案与试题解析

一、选择题

1．顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是（　　）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

【考点】菱形的判定；三角形中位线定理；等腰梯形的性质．

【分析】由E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，得出EF，EH是中位线，再得出四条边相等，根据“四条边都相等的四边形是菱形”进行证明．

【解答】解：∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，

∴EF∥AC且EF=AC，EH∥BD且EH=BD，

∵AC=BD，

∴EF=EH，

同理可得GF=HG=EF=EH，

∴四边形EFGH为菱形，

故选：C．

【点评】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：

①定义；

②四边相等；

③对角线互相垂直平分．

2．顺次连接下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是（　　）

A．等腰梯形

B．矩形

C．平行四边形

D．菱形或对角线互相垂直的四边形

【考点】矩形的判定；三角形中位线定理．

【分析】矩形的判定定理有：

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．

（2）有三个角是直角的四边形是矩形．

（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断．

【解答】解：A、等腰梯形的对角线相等但不垂直，故连接等腰梯形各边中点所得的四边形为菱形．不正确．

B、矩形的对角线相等且互相平分，但却不垂直．故连接矩形各边中点所得的四边形为菱形．不正确．

C、平行四边形的对角线互相平分，但并不相等和互相垂直．故连接平行四边形各边中点所得的四边形为平行四边形．不正确．

D、对角线互相垂直的四边形（菱形）连接各边中点所得的四边形为矩形．因为矩形是有一个角为直角的平行四边形．正确．

故选D．

【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．

3．如果四边形的对角线相等，那么顺次连接四边中点所得的四边形是（　　）

A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．以上都不对

【考点】中点四边形．

【分析】作出图形，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF=AC，GH=AC，HE=BD，FG=BD，再根据四边形的对角线相等可可知AC=BD，从而得到EF=FG=GH=HE，再根据四条边都相等的四边形是菱形即可得解．

【解答】解：如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，

根据三角形的中位线定理，EF=AC，GH=AC，HE=BD，FG=BD，

连接AC、BD，

∵四边形ABCD的对角线相等，

∴AC=BD，

所以，EF=FG=GH=HE，

所以，四边形EFGH是菱形．

故选B．

【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，四条边都相等的四边形是菱形，熟记定理与判定方法是解题的关键，作出图形更形象直观．

4．把图形绕点A按逆时针方向旋转70°后所得的图形与原图作比较，保持不变的是（　　）

A．位置与大小 B．形状与大小

C．位置与形状 D．位置、形状及大小

【考点】旋转的性质．

【分析】直接根据旋转的性质得到答案．

【解答】解：∵旋转前后两图形全等，

∴把图形绕点A按逆时针方向旋转70°后所得的图形与原图的形状与大小一样，但位置发生了变化．

故选B．

【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．

5．下面4个图案中，是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】中心对称图形．

【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心求解．

【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项正确；

B、不是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是中心对称图形，故此选项错误；

D、不是中心对称图形．故此选项错误．

故选A．

【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

6．在平行四边形、矩形、菱形和等腰梯形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：矩形、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形．故选B．

【点评】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

7．下列说法中，正确的是（　　）

A．一组对边平行的四边形是平行四边形

B．有一个角是直角的四边形是矩形

C．四条边相等的四边形是菱形

D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形

【考点】正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．

【分析】分别根据平行四边形以及矩形、菱形、正方形的判定分析得出即可．

【解答】解：A、只有两组对边平行的四边形是平行四边形，故此选项错误；

B、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项错误；

C、四条边相等的四边形是菱形，此选项正确；

D、根据对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故此选项错误；

故选：C．

【点评】此题主要考查了平行四边形以及矩形、菱形、正方形的判定，正确区分它们的判定是解题关键．

8．如图，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是边AB、AC的中点，连接DE、DF，在不再连接其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个条件，这个条件不可能是（　　）

A．BD=DC B．AB=AC C．AD=BC D．AD⊥BC

【考点】菱形的判定．

【分析】可以添加BD=CD或AB=AC或AD⊥BC，然后利用三角形中位线证明四边形ADEF是平行四边形，再证明是菱形即可．

【解答】解：添加BD=CD，

∵E、F分别是边AB、AC的中点，

∴DE，EF是三角形的中位线，

∴DE∥AB，DF∥AC，

∴四边形ADEF是平行四边形，

∵AB=AC，

点E，F分别是AB，AC的中点，

∴AE=AF，

∴平行四边形ADEF为菱形．

添加AB=AC，则三角形是等腰三角形，

由等腰三角形的性质知，顶角的平分线与底边上的中线重合，

即点D是BC的中点再证明即可；

添加AD⊥BC，

再由AD是△ABC的角平分线可证明△ABD≌△ACD，进而得到BD=CD，再证明四边形ADEF为菱形即可，

故选：C．

【点评】本题考查了菱形的判定．利用了三角形的中位线的性质和平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质．也可添加∠B=∠C或AE=AF．

9．在梯形ABCD中，AB∥CD，DC：AB=1：2，E、F分别是两腰BC、AD的中点，则EF：AB等于（　　）

A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．3：4

【考点】梯形中位线定理．

【分析】设DC=x，AB=2x，根据梯形的中位线等于两底和的一半表示出EF的长，然后求解即可．

【解答】解：∵DC：AB=1：2，

∴设DC=x，AB=2x，

∵E、F分别是两腰BC、AD的中点，

∴EF=（AB+CD）=（2x+x）=x，

∴EF：AB=x：2x=3：4．

故选D．

【点评】本题考查了梯形的中位线定理，熟练掌握中位线定理是解题的关键，用x表示出DC、AB可以使运算更加简便．

二、填空题

10．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，若DE=5，则BC的长是　10　．

【考点】三角形中位线定理．

【分析】由D、E分别是边AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理求解即可．

【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，

∴DE为△ABC的中位线，

∵DE=5，

∴AB=2ED=10．

故答案为：10．

【点评】本题考查了三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并等于三角形第三边的一半．

11．已知一个三角形的周长为10cm，则连接各边中点所得的三角形的周长为　5　cm．

【考点】三角形中位线定理．

【分析】根据三角形中位线的性质，即三角形的中位线等于第三边的一半求解即可．

【解答】解：∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，

∴DE=AC，EF=AB，DF=BC，

∵AB+BC+AC=10，

∴DE+EF+FD=（AB+BC+AC）=5cm，

故答案为：5．

【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．

12．已知以一个三角形各边中点为顶点的三角形的周长为8cm，则原三角形的周长为　16　cm．

【考点】三角形中位线定理．

【分析】三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形，因而每个小三角形的周长为原三角形周长的 一半，已知中点三角形的周长，可以求出原三角形的周长．

【解答】解：由中点和中位线定义可得原三角形的各边长分别为新三角形各边长的2倍，

所以原三角形的周长为新三角形的周长的2倍为16．

故答案为16．

【点评】解决本题的关键是利用中点定义和中位线定理得到新三角形各边长与原三角形各边长的数量关系．

13．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点．

（1）如果EF=4cm，那么BC=　8　cm；如果AB=10cm，那么DF=　5　cm；

（2）中线AD与中位线EF的关系是　互相平分　．

【考点】三角形中位线定理．

【分析】（1）根据三角形中位线定理易求BC=2EF，DF=AB；

（2）根据三角形中位线定理推知四边形AEDF是平行四边形，则平行四边形的对角线互相平分．

【解答】解：（1）如图，在△ABC中，∵E、F分别是AB、AC的中点，

∴EF是△ABC的中位线，

∴EF=BC，

则BC=2EF=8cm．

同理，DF是△ABC的中位线，

∴DF=AB=5cm．

故答案是：8；5；

（2）如图，∵DF是△ABC的中位线，

∴DF∥AB，则DF∥AE．

同理，DE∥AF，

∴四边形AEDF是平行四边形，

∴对角线AD与EF互相平分．

故答案是：互相平分．

【点评】本题考查了三角形中位线定理．解（2）题时，根据“三角形中位线定理推知四边形AEDF是平行四边形”是解题的难点．

14．要使一个平行四边形成为正方形，则需增加的条件是　对角线相等且互相垂直　（填上一个正确的结论即可）．

【考点】正方形的判定；平行四边形的性质．

【专题】开放型．

【分析】根据正方形的判定和定义进行填空．

【解答】解：根据正方形的判定和定义知：有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形；对角线相等且相互垂直的平行四边形是正方形．故答案为：“一组邻边相等且一个角是直角”或“对角线相等且相互垂直”．

【点评】本题主要考查正方形的判定和定义．

15．已知：如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O，写出一组相等的线段　OA=OE或OB=OD或AB=ED或CD=ED或BC=BE或AD=BE　（不包括AB=CD和AD=BC）．

【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．

【专题】压轴题；开放型．

【分析】折叠前后的对应边相等，结合矩形的性质可得到多组线段相等．

【解答】解：由折叠的性质知，ED=CD=AB，BE=BC=AD，

∴△ABD≌△EDB，∠EBD=∠ADB，由等角对等边知，OB=OD．

【点评】本题答案不唯一，本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边求解．

16．已知菱形的两条对角线长为6cm和8cm，菱形的周长是　20　cm，面积是　24　cm2．

【考点】菱形的性质；勾股定理．

【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半可得到其面积，根据菱形的性质可求得其边长，从而可得到其周长．

【解答】解：如图，四边形ABCD是菱形，BD，AC分别是其对角线且BD=6，AC=8，求其面积和周长．

∵四边形ABCD是菱形，BD，AC分别是其对角线，

∴BD⊥AC，BO=OD=3cm，AO=CO=4cm，

∴AB=5cm，

∴菱形的周长=5×4=20cm；

S菱形=×6×8=24cm2．

故本题答案为：20cm；24cm2．

【点评】此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．

17．如图，P是边长为4的正方形ABCD的边AD上的一点，且PE⊥AC，PF⊥BD，则PE+PF=　　．

【考点】正方形的性质；勾股定理．

【专题】计算题．

【分析】根据条件可以得到四边形PEOF是矩形，因而PF=OE，同时易证△APE是等腰直角三角形，因而AE=PE，则PE+PF=OA．根据勾股定理即可求解．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，边长为4，

∴AD=CD=4   AC⊥BD∠DAO=45°；

∴AC2=AD2+CD2=42+42=32，则AC=4，

∵PE⊥AC，PF⊥BD，

∴∠PEC=∠PFB=90°；

又∵AC⊥BD，

∴四边形EPFO是矩形；

∴PF=OE，

又∵∠DAO=∠APE=45°，

∴AE=PE；

∵AE+OE=OA=AC=×4=2，

∴PE+PF=2．

故答案为2．

【点评】此题较简单，根据正方形的性质及勾股定理解答即可．

18．斜拉桥是利用一组钢索，把桥面重力传递到耸立在两侧的高塔上的桥梁，它不需建造桥墩，如图：、、…、是斜拉桥上五条相互平行的钢索，并且、、、、被均匀地固定在桥面上．已知最长的钢索=80m，最短的钢索=20m，那么钢索、的长分别为　40　m和　60　m．

【考点】三角形中位线定理；梯形中位线定理．

【专题】应用题．

【分析】需要先求出B2、B3、B4是B1到高塔底端的四等分点，由题可知A1B1、A2B2、A3B3、A4B4是互相平行的．此题只需分别根据梯形的中位线定理进行求解．

【解答】解：∵B2、B3、B4是B1到高塔底端的四等分点，A1B1、A2B2、A3B3、A4B4是斜拉桥上互相平行的钢索，

∴A4B4是△AA3B3的中位线，

∴A3B3=2A4B4=2×20=40m，

∵同理，梯形A1B1B3A3的中位线是A2B2

∴A2B2===60m．

故答案是：40、60．

【点评】本题只要是把实际问题抽象到三角形及梯形中，利用三角形及梯形的中位线定理列出方程，通过解方程求解，体现了方程的思想．

三、解答题

19．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AD=AC，AE⊥CD，垂足是E，F是CB的中点．求证：BD=2EF．

【考点】三角形中位线定理．

【专题】常规题型．

【分析】根据三角形的中位线定理，在三角形中准确应用，并且求证E为CD的中点，再求证EF为△BCD的中位线．

【解答】证明：在△ACD中，因为AD=AC 且 AE⊥CD，

所以根据等腰三角形中底边的垂线与底边的交点即中点，可以证明：

E为CD的中点，又因为F是CB的中点，

所以，EF∥BD，且EF为△BCD的中位线，

因此EF=BD，即BD=2EF．

【点评】此题主要是中位线定理在三角形中的应用，考查在三角形中位线为对应边长的的定理．

20．如图，E、F分别是AB、AC的中点，延长EF交∠ACD的平分线于点G．AG与CG有怎样的位置关系？说明你的理由．

【考点】三角形中位线定理．

【分析】利用三角形中位线定理推知EF∥BC．所以利用平行线的性质、三角形角平分线的性质以及等腰三角形的判定证得FG=FC．又由AF=CF，则FG是△ACG中AC边上的中线，且FG=AC，则△AGC是直角三角形．

【解答】解：AG⊥CG，

理由：∵E、F分别是AB、AC的中点，

∴EF是△ABC的中位线，AF=CF，

∴EF∥BC，

∴∠FGC=∠GCD．

∵CG平分∠ACD，

∴∠FCG=∠GCD，

∴∠FCG=∠FGC，

∴FG=FC．

又∵AF=CF，

∴FG是△ACG中AC边上的中线，且FG=AC，

∴△AGC是直角三角形，

∴AG⊥CG．

【点评】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线定理．一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．

21．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别是AD、BC的中点，延长BA、NM，CD分别交于点E、F．求证：∠BEN=∠NFC．

【考点】三角形中位线定理．

【专题】证明题．

【分析】取AC中点G，连接NG，MG，根据三角形中位线定理可得到NG∥AE，MG∥CF，NG=AB，MG=CD，由平行线的性质可得∠BEN=∠FNG，∠CFN=∠NMG，从而可推出△GMN为等腰三角形，从而不难证得结论．

【解答】证明：取AC中点G，连接NG，MG，

∵点M，G，N分别是边AD，AC，BC的中点，

∴MG、NG分别是△ADC与△ABC的中位线，

∴NG∥AB，MG∥CF，NG=AB，MG=CD，

∴∠BEN=∠FNG，∠CFN=∠NMG，

∵NG=AB，MG=CD，AB=CD，

∴NG=MG，

∴∠MNG=∠GMN，

∵∠MNG=∠BEN，

∠GMN=∠CFN，

∴∠BEN=∠CFN．

【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确作出辅助线是关键．

22．某居民小区搞绿化，小区的居民们把一块矩形垃圾场地清理干净后，准备建几个花坛，老张说：花坛应该有圆有方；老李说：花坛和整个矩形空地应该成中心对称图案，这样比较漂亮．你能设计一个让大家都满意的方案吗？试试看（将你设计的方案画在下面的矩形方框中）．

【考点】利用旋转设计图案．

【分析】根据题目要求画出图形，注意花坛和整个矩形空地应该成中心对称图案．

【解答】解：如图所示：

【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案以及中心对称图形定义，利用中心对称图形的性质设计是解题关键．

23．如图，在梯形ABCD中，点P从点A向点D运动，点Q从点C向点B运动．已知点P的运动速度为1cm/s，点Q的运动速度为2cm/s，AD=4cm，BC=8cm，运动时间为t．当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？

【考点】梯形；平行四边形的判定．

【专题】动点型．

【分析】首先根据题意得：AP=tcm，CQ=2tcm，又由AD∥BC，可得当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，即可得方程t=8﹣2t，解此方程即可求得答案．

【解答】解：根据题意得：AP=tcm，CQ=2tcm，

∵AD=4cm，BC=8cm，

∴DP=AD﹣AP=4﹣t（cm），BQ=BC﹣CQ=8﹣2t（cm），

∵AD∥BC，

∴当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，

即t=8﹣2t，

解得：t=，

∴当t=时，四边形ABQP是平行四边形．

【点评】此题考查了梯形的性质以及平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．