2021-2022学年湖北省荆州市监利县新教育实验学校九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年湖北省荆州市监利县新教育实验学校九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 2021-2022学年湖北省荆州市监利县新教育实验学校九年级（下）第一次月考数学试卷副标题题号一二三四总分得分       一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）在有理数，，，中，最小的数是A.  B.  C.  D. 下列运算正确的是A.  B.  C.  D. 将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为A.
B.
C.
D. 如图是由个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中完全相同的是A. 主视图和左视图
B. 主视图和俯视图
C. 左视图和俯视图
D. 三个视图均相同
 若点关于轴的对称点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示为A.  B.
C.  D. 对于一组数据，，，，，下列结论不正确的是A. 平均数是 B. 众数是 C. 中位数是 D. 方差是如图，▱中，，为锐角要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案
A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是
C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是对于实数，定义运算“”如下：，例如，则方程的根的情况为A. 没有实数根 B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根如图，圆的半径为，、是圆上任意两点，且，以为边作正方形点、在直线的两侧，若边绕点旋转一周，则边扫过的面积为A.
B.
C.
D. 关于，的方程组的解为，若点总在直线上方，那么的取值范围是A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）已知，则的值为______．年月日以来，教育部组织开展重点地区、重点行业、重点单位、重点群体“校园招聘服务”专场招聘活动，提供就业岗位个，促就业资源精准对接．数据用科学记数法表示为______．高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行如图，用平行四边形表示一个“鱼骨”，平行于车辆前行方向，，，过作的垂线，垂足为点的视觉错觉点，若，，则 ______ ．
已知的半径是，是的弦，且的长为，则弦所对的圆周角的度数为______．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是______ ．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点在以为圆心，半径为的上，是的中点，已知长的最大值为，则的值是______ ．
 三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）计算：．






  四、解答题（本大题共7小题，共64.0分）先化简，再求值：，其中是方程的根．






 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度，的顶点、、都在格点上两条网格线的交点叫格点请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹不要求写画法．
将绕点按顺时针方向旋转，点的对应点为，点的对应点为，画出；
连接，的面积为______；
在线段上画一点，使得的面积是面积的．






 荆州市实验中学举办校园艺术节．学生从“书法”、“绘画”、“声乐”、“器乐”、“舞蹈”五个类别中选择一类报名参加．为了了解报名情况，组委会在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查，现将报名情况绘制成如图所示的不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
在这次问卷抽样调查中，样本容量是______；
补全条形统计图；
在扇形统计图中，“声乐”类对应扇形圆心角的度数是______；
小东和小颖报名参加“器乐”类比赛，现从小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器中随机选择一种乐器，用列表法或画树状图法求出他们选中同一种乐器的概率．







 背景：点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，分别在射线，上取点，，使得四边形为正方形．如图，点在第一象限内，当时，小李测得．
探究：通过改变点的位置，小李发现点，的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．
求的值．
设点，的横坐标分别为，，将关于的函数称为“函数”如图，小李画出了时“函数”的图象．
求这个“函数”的表达式；
补画时“函数”的图象；
并写出这个函数的性质两条即可．







 为了庆祝中国共产党建党一百周年，某校举行“礼赞百年，奋斗有我”演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生已知购买个甲种纪念品和个乙种纪念品共需元，购买个甲种纪念品和个乙种纪念品共需元．
求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元；
若要购买这两种纪念品共个，投入资金不少于元又不多于元，问有多少种购买方案？并求出所花资金的最小值．






 证明推断：如图，在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，．
求证：；
推断：的值为______；
类比探究：如图，在矩形中，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点连接，若，，求的长．







 已知：抛物线经过，，三点．
求抛物线的解析式；
如图，点为直线上方抛物线上任意一点，连、、，交直线于点，设，求当取最大值时点的坐标，并求此时的值．
如图，点为抛物线对称轴与轴的交点，点关于轴的对称点为点．
直接写出的周长______；
直接写出的值______．








答案和解析 1.【答案】
 【解析】解：，
在有理数，，，中，最小的数是．
故选：．
正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数．依此即可求解．
本题考查了有理数大小比较，有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．
 2.【答案】
 【解析】解：，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项符合题意；
故选：．
先根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方求出每个式子的值，再得出选项即可．
本题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方等知识点，能熟记合并同类项法则、同底数幂的乘法法则，积的乘方和幂的乘方的内容是解此题的关键．
 3.【答案】
 【解析】解：，
．
直尺的上下两边平行，
．
故选：．
由平角等于结合三角板各角的度数，可求出的度数，由直尺的上下两边平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出的度数．
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
 4.【答案】
 【解析】解：如图所示：

故该组合体的三视图中完全相同的是主视图和左视图，
故选：．
先得到该几何体的三视图，再进行判断即可．
考查了简单组合体的三视图，关键是得到该几何体的三视图．
 5.【答案】
 【解析】解：点关于轴的对称点在第四象限，
点在第一象限，

解得：，
在数轴上表示为：，
故选：．
由点关于轴的对称点在第四象限，得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项．
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，能根据题意得出不等式组是解此题的关键．
 6.【答案】
 【解析】解：将这组数据重新排列为，，，，，
所以这组数据的平均数为，
中位数为，众数为，
方差为，
故选：．
将数据重新排列，再根据平均数、众数、中位数及方差的定义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数及方差的定义．
 7.【答案】
 【解析】解：方案甲中，连接，如图所示：
四边形是平行四边形，为的中点，
，，
，，
，
四边形为平行四边形，方案甲正确；
方案乙中：
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形为平行四边形，方案乙正确；
方案丙中：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
四边形为平行四边形，方案丙正确；
故选：．
方案甲，连接，由平行四边形的性质得，，则，得四边形为平行四边形，方案甲正确；
方案乙：证≌，得，再由，得四边形为平行四边形，方案乙正确；
方案丙：证≌，得，，则，证出，得四边形为平行四边形，方案丙正确．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 8.【答案】
 【解析】解：，
，
，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
根据运算“”的定义将方程转化为一般式，由根的判别式，即可得出该方程有两个不相等的实数根．
本题考查了根的判别式和实数的运算，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解决问题的关键．
 9.【答案】
 【解析】解：连接、，过点作垂直于点，延长交于点，如图所示．

是上一弦，且，
，
四边形是正方形，
，
四边形是矩形，
，
若边绕点旋转一周，则边扫过的图形为以为内圆半径、以为外圆半径的圆环．
，
故选：．
连接、，过点作垂直于点，延长交于点，根据垂径定理可得出，利用勾股定理即可求出的长度，再根据平行线的性质结合正方形的性质即可得出，，根据圆环的面积公式即可得出结论．
本题考查了垂径定理、勾股定理、平行线的性质以及圆环的面积公式，解题的关键是分析出边扫过的区域的形状．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，结合边的旋转，找出边旋转过程中扫过区域的形状是关键．
 10.【答案】
 【解析】解：解方程组可得，
，
点总在直线上方，
，
，
解得，
故选：．
将看作常数，解方程组得到，的值，根据在直线上方可得到，列出不等式求解即可．
本题考查了解二元一次方程组，一次函数上点的坐标特征，解本题的关键是将看作常数，根据点在一次函数上方列出不等式求解．
 11.【答案】
 【解析】解：当，时，
．
故选：．
根据平方差公式即可求出答案．
本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
 12.【答案】
 【解析】解：数据用科学记数法表示为．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 13.【答案】
 【解析】解：，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由平行线的性质和垂线的性质可得，可求，利用锐角三角函数可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的性质，求出是解题的关键．
 14.【答案】或
 【解析】解：和为弦所对的圆周角，连接、，如图，
过点作于，则，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
即弦所对的圆周角的度数为或．
故答案为或．
和为弦所对的圆周角，连接、，如图，过点作于，根据垂径定理得到，则利用余弦的定义可求出，所以，然后根据圆周角定理得到，根据圆内接四边形的性质得到．
本题考查了圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
 15.【答案】且
 【解析】解：去分母，得：
，
去括号，移项，合并同类项，得：
．
关于的分式方程的解为正数，
．
又
．
，
解得：且．
故答案为：且．
利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由方程的解为正数列出不等式；又分式方程有可能产生增根，所以分式方程的解不等于，根据上述条件得到不等式组，解不等式组得到的取值范围．
本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式组．利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解并注意分式方程可能产生增根的情形是解题的关键．
 16.【答案】
 【解析】解：联立，
，
，
，，
与关于原点对称，
是线段的中点，
是线段的中点，
连接，则，且，
的最大值为，
的最大值为，
在上运动，
当，，三点共线时，最大，
此时，

或，
，
，
故答案为：．
由反比例函数性质可以得到，，两点关于原点对称，所以是线段的中点，又是线段的中点，所以是的中位线，当取得最大值时，也取得最大值，由于在上运动，所以当，，三点共线时，最大值为，此时，根据列出方程即可求解．
此题是反比例和一次函数的交点问题，考查了点到圆上一点的最值问题，对此类模型结论要非常熟悉才可解决问题．
 17.【答案】解：原式．
 【解析】利用平方根的定义、零指数幂和特殊三角函数的有关知识进行计算即可．
本题考查平方根、零指数幂和特殊三角函数，关键就是把相关知识熟记，不能混淆．计算要细心．
 18.【答案】解：原式


，
是方程的根，
，即，
则原式．
 【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由一元二次方程的解的概念得出，代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及一元二次方程的解的概念．
 19.【答案】解：如图：
图中即为要求所作三角形；

连接交于，即为所求点，理由如下：
，
∽，
，
，
的面积面积的．
 【解析】解：，由旋转知，，
的面积为，
故答案为：；
将、、三点分别绕点按顺时针方向旋转画出依次连接即可；
勾股定理求出，由面积公式即可得到答案；
利用相似构造∽即可．
本题考查作图应用与设计，旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是构造∽得到．
 20.【答案】 
 【解析】解：抽到的学生中，报名“书法”类的人数有人，占整个被抽取到学生总数的，
这次调查中，共抽取的学生为：名，
故答案为：；
被抽到的学生中，报名“绘画”类的人数为：，
报名“舞蹈”类的人数为：；
补全条形统计图如下：

被抽到的学生中，报名“声乐”类的人数为人，
扇形统计图中，“声乐”类对应扇形圆心角的度数为：；
故答案为：；
设小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器分别为、、、，
画树状图如图所示：

共有个等可能的结果，小东和小颖选中同一种乐器的结果有个，
小东和小颖选中同一种乐器的概率为．
根据抽取的报名“书法”类的人数有人，占整个被抽取到学生总数的，得出算式即可得出结果；
由抽取的人数乘以报名“绘画”、“舞蹈”类的人数所占的比例得出报名“绘画”、“舞蹈”类的人数，补全条形统计图即可；
乘以“声乐”类的人数所占抽取的人数的比例可得“声乐”类对应扇形圆心角的度数；
设小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器分别为、、、，画出树状图，即可得出答案．
此题主要考查了列表法与树状图法，扇形统计图、条形统计图的应用以及总体、个体、样本、样本的容量，要熟练掌握．
 21.【答案】解：，，
，
四边形是正方形，
，
轴，轴，
，
四边形是矩形，
，
，
；
由题意，，
，
，
图象如图所示，

性质：时，随的增大而增大，
性质：时，随的增大而增大，答案不唯一．
 【解析】由四边形是正方形，得，从而得出，则；
由题意，，则，即可得出“函数”的表达式；
利用描点法画出图象；
根据图象可得出性质．
本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，利用描点法画函数图象，解题的关键是读懂题意，表示出“函数”的表达式．
 22.【答案】解：设购买一个甲种纪念品需要元，购买一个乙种纪念品需要元，
依题意得：，
解得：．
答：购买一个甲种纪念品需要元，购买一个乙种纪念品需要元．
设购买个甲种纪念品，则购买个乙种纪念品，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
可以为，，，，，，，
共有种购买方案．
设购买总费用为元，则，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值．
答：共有种购买方案，所花资金的最小值为元．
 【解析】设购买一个甲种纪念品需要元，购买一个乙种纪念品需要元，根据“购买个甲种纪念品和个乙种纪念品共需元，购买个甲种纪念品和个乙种纪念品共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买个甲种纪念品，则购买个乙种纪念品，根据总价单价数量，结合总价不少于元又不多于元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出购买方案的个数，设购买总费用为元，根据总费用单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
 23.【答案】
 【解析】证明：正方形，
，，
于点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：，
，，
，
正方形，
，
四边形是平行四边形，
，
由，
，
，
故答案为：．
解：如图过作，垂足为，
折叠矩形，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，，，，，
，
在中，，，
，
解得，
，
在中，，
根据正方形的性质，推出边相等，角是，推出，进而证明≌，得出；
由，，推出，进而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形性质推出边相等，等量代换后求出的值；
如图过作，垂足为，根据折叠矩形得出，再根据三角函数推出，设，则，，根据勾股定理表示，进而求出，，，，，在中，，，求出、，进一步求出再用勾股定理求出．
本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形、正方形的性质、翻折变换、解直角三角形，熟练掌握这些知识点的综合应用，善于在复杂的图形中找出基本图形是解题关键．
 24.【答案】 
 【解析】解：抛物线经过，，，
，
解得，
抛物线的解析式为；
如图，过点作轴交直线于点，
∽，
，
，，
，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
设点，则，
，
，
，
当时，取得最大值，此时；
如图，过点作于点，则，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，，
点关于轴的对称点为点，
，
，
，
，
，
，
的周长，
故答案为：；  
在中，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为：．
将点，，代入，即可求解；
过点作轴交直线于点，则∽，所以，可得，在求出直线的解析式为，设点，则，则，当时，取得最大值，此时；
过点作于点，则，分别求出，，再由勾股定理求出，，则的周长；
先证明是等腰直角三角形，则，，．
本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．