2022年吉林省中考数学专题练5-二次函数

这是一份2022年吉林省中考数学专题练5-二次函数，共36页。
A．y3＜y2＜y1B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y2＜y3
2．（2022•吉林模拟）顶点为（﹣2，1），且开口方向、形状与函数y＝﹣2x2的图象相同的抛物线是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1B．y＝2（x+2）2+1
C．y＝﹣2（x+2）2﹣1D．y＝﹣2（x+2）2+1
3．（2021•双阳区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x+m的顶点为A，它与x轴分别交于B，C两点，与y轴的交点为D，过点D作DE平行于x轴交抛物线于点E，BF∥CE交DE于点F，若3S△ABC＝4S△FEC，则m的值为（ ）
A．−127B．−712C．﹣12D．12
4．（2021•南关区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+2（a＜0）交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，线段BC⊥y轴交此抛物线于点D，且CD=13BC，则△ABC的面积是（ ）
A．6B．5C．4D．3
5．（2020•双阳区二模）已知二次函数y＝﹣（x﹣k）2（k为常数），当自变量x的值满足1≤x≤6时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则k的值为（ ）
A．0或5B．5或7C．0或7D．2或5
6．（2020•长春三模）在平面直角坐标系中，若函数y＝（k﹣2）x2﹣2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，则下列各数中可能的k值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
7．（2020•吉林二模）将抛物线y＝2x2﹣1先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（0，﹣1）B．（1，1）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣1，1）
8．（2020•长春模拟）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3m．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间近似满足函数关系y＝ax2+x+c（a≠0），则水流喷出的最大高度为（ ）
A．1米B．32米C．2米D．138米
二．填空题（共12小题）
9．（2021•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ．
10．（2022•南关区校级一模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+mx+3过点（4，3），着当0≤x≤a时，y有最大值7，最小值3，则a的取值范围是 ．
11．（2022•吉林模拟）已知二次函数y＝（x﹣1）2+3，当x＝ 时，y取得最小值．
12．（2022•长春模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点P是线段OA上的一点（不与O、A重合），二次函数y1的图象经过O、P两点，y2的图象经过P、A两点，两条抛物线的开口均向下，顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．若△OAD是等边三角形，则二次函数y1与y2的最大值之和等于 ．
13．（2022•长春模拟）已知x轴上两点C（2，0），D（5，0），若抛物线y＝mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）与线段CD有交点，则m的取值范围是 ．
14．（2022•南关区校级四模）在平面直角坐标系中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）上任意两点，其中x1＜x2，设抛物线的对称轴为直线x＝m，若对于任意x1+x2＞4，都有y1＞y2，则m的取值范围为 ．
15．（2021•长春模拟）为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B处，则小丁此次投掷的成绩是 米．
16．（2022•绿园区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过点B、C．若抛物线y＝ax2﹣2ax+c的顶点在正方形OABC的内部，则a的取值范围是 ．
17．（2022•长春模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+3（a＜0）交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，将抛物线向下平移3个单位，若抛物线上A、B两点间的部分在平移过程中扫过的面积为9，则a的值为 ．
18．（2022•长春模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c（c＞0）与y轴交于点C，顶点为A，抛物线的对称轴交x轴于点E，交BC于点D，tan∠AOE=32．直线OA与抛物线的另一个交点为B．当OC＝2AD时，c的值是 ．
19．（2021•二道区校级一模）对于函数y=1ax2﹣2x+1（a≠0），当x≥1时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 ．
20．（2021•吉林模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A，B两点．若AB＝3，则点M到直线l的距离为 ．
三．解答题（共10小题）
21．（2021•长春）在平面直角坐标系中，抛物线y＝2（x﹣m）2+2m（m为常数）的顶点为A．
（1）当m=12时，点A的坐标是 ，抛物线与y轴交点的坐标是 ；
（2）若点A在第一象限，且OA=5，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围；
（3）当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+2m的最小值为3，求m的值；
（4）分别过点P（4，2）、Q（4，2﹣2m）作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m的值．
22．（2021•吉林）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，−74），点B（1，14）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；
（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m+1．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．
①求m的取值范围；
②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜13）的图象交点个数及对应的m的取值范围．
23．（2022•南关区校级模拟）在平面直角坐标系中，函数y＝ax2﹣2ax﹣4a（x≥0）的图象记为M1，函数y＝﹣ax2﹣2ax+4a（x＜0）的图象记为M2，其中a为常数，且a≠0．图象M1、M2，合起来得到的图象记为M．
（1）直接写出图象M2与x轴的交点坐标．
（2）当图象M1的最低点到x轴距离为2时，求a的值．
（3）当a＝1时，若（m，−32）在图象M上，求m的值．
（4）点A、B、C、D的坐标分别为（﹣2，2）、（3，2）、（3，﹣1）、（﹣2，﹣1），当M1、M2的顶点均在矩形ABCD内部时，直接写出a的取值范围．
24．（2022•南关区校级一模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+4m（x≤2m，m为常数）的图象记为G．
（1）当m＝﹣2时，求图象G最低点的坐标．
（2）当图象G与x轴有且只有一个公共点时，求m的取值范围．
（3）当图象G的最低点到直线y＝2的距离为3时，求m的值．
（4）图象G上点A的横坐标为2m，点C的坐标为（﹣2，3），当AC不与坐标轴平行时，以AC为对角线作矩形ABCD，使矩形的边与坐标轴平行，当图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
25．（2022•长春一模）已知抛物线y＝x2﹣2mx+2m+1．
（1）写出抛物线y＝x2﹣2mx+2m+1的顶点坐标（用含m的式子表示）．
（2）当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ．
（3）当﹣1≤x≤2时，函数y＝x2﹣2mx+2m+1的图象记为G，设图象G的最低点的纵坐标为y0．当y0＝﹣1时，求m的值．
（4）当m＞0时，分别过点A（2，1）、B（2，4）作y轴垂线，垂足分别为点D、点C，抛物线在矩形ABCD内部的图象（包括边界）的最低点到直线y＝﹣2的距离等于最高点到x轴的距离，直接写出m的值．
26．（2022•吉林模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣4），点B（4，0）．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）若点P是直线AB下方抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求出点P的坐标和△PAB的最大面积．
（3）当t≤x≤t+3时，此二次函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，直接写出t的值．
27．（2022•朝阳区校级一模）已知二次函数解析式为y=1ax2−a+2ax﹣1（a≠0），该抛物线与y轴交于点A，其顶点记为B，点A关于抛物线对称轴的对称点记为C．已知点D在抛物线上，且点D的横坐标为2，DE⊥y轴交抛物线于点E．
（1）求点D的纵坐标．
（2）当△ABC是等腰直角三角形时，求出a的值．
（3）当0≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为2时，求a的取值范围．
（4）设点R（a﹣3，﹣1），点A、R关于直线DE的对称点分别为N、M，当抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象中，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出a的取值范围．
28．（2022•南关区校级四模）在平面直角坐标系中，已知函数y＝x2﹣2ax+2a（a为常数）．
（1）若a＝1．
①当0≤x≤3时，y的取值范围是 ．
②若﹣2≤x≤b时，1≤y≤10，则b的取值范围是 ．
（2）当0≤x≤12a+2时，此函数的最大值与最小值的差是4，求a的值．
（3）设此函数图象与y轴交点为点M，过点M作y轴的垂线l，将函数图象在直线l上方部分沿直线l翻折后的图象记为G1，原函数图象末翻折部分记为G2，G1与G2组成的图记为G，当G在直线x=32a+1与直线x＝2a+12之间所夹的图象y随x增大而减小时，接写出a的取值范围．
29．（2022•长春模拟）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，2）（其中m为常数），点B与点A关于y轴对称．在实数范围内定义函数y=x2+x−m(x≥1)x2+x+m(x＜1)（其中m为常数）的图象为G．
（1）当点（﹣1，2）在G上时，求m的值；
（2）当点B在G上时，求m的值；
（3）m≠0时，连接AB，当G与线段AB恰好有两个公共点时，m＝ ．
（4）当y最小值的取值范围是﹣2≤y最小值≤﹣1时，直接写出m的取值范围．
30．（2022•长春模拟）已知：在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是某函数图象上任意两点（x1＜x2），将函数图象中x＜x1的部分沿直线y＝y1作轴对称，x＞x2的部分沿直线y＝y2作轴对称，与原函数图象中x1≤x≤x2的部分组成了一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于点A、B的“双对称函数”．
例如：如图①，点A（﹣2，﹣1）、B（1，2）是一次函数y＝x+1图象上的两个点，则函数y＝x+1关于点A、B的“双对称函数”的图象如图②所示．
（1）点A（t，y1）、B（t+3，y2）是函数y=3x图象上的两点，y=3x关于点A、B的“双对称函数”的图象记作G，若G是中心对称图形，直接写出t的值．
（2）点P（12，y1），Q（12+t，y2）是二次函数y＝（x﹣t）2+2t图象上的两点，该二次函数关于点P、Q的“双对称函数”记作f．
①求P、Q两点的坐标（用含t的代数式表示）．
②当t＝﹣2时，求出函数f的解析式；
③若﹣1≤x≤1时，函数f的最小值为ymin，求﹣2≤ymin≤﹣1时，t的取值范围．
2022年吉林省中考数学专题练5-二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+m，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=−−42×2=1，
∴距离对称轴越近的点的纵坐标越小，
∵1﹣1＜4﹣1＜1﹣（﹣3），
∴y1＜y2＜y3．
故选：D．
2．【解答】解：根据题意得y＝﹣2（x+2）2+1．
故选：D．
3．【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+4x+m＝﹣（x﹣2）2+4+m，
∴顶点A的坐标为（2，4+m），与y轴的交点D的坐标为（0，m），
∵BF∥CE，DE平行于x轴，
∴BC∥FE，
∴四边形BFEC是平行四边形，
∴BC＝FE，
∴3S△ABC＝4S△FEC，
∴3（4+m）＝4•（﹣m），
解得m=−127，
故选：A．
4．【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x=−2a−2a=1，
点B为（0，2），
∴点D坐标为（2，2），
BD＝2﹣0＝2．
∵CD=13BC，
∴CD=12BD＝1，
∴BC＝2+1＝3．
∴S△ABC=12×3×2=3．
故选：D．
5．【解答】解：当k＜1时，有﹣（1﹣k）2＝﹣1，
解得：k1＝0，k2＝2（舍去）；
当1≤k≤6时，y＝﹣（x﹣k）2的最大值为0，不符合题意；
当k＞6时，有﹣（6﹣k）2＝﹣1，
解得：k3＝5（舍去），k4＝7．
综上所述：k的值为0或7．
故选：C．
6．【解答】解：∵函数y＝（k﹣2）x2﹣2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，
∴k−2≠0k≠0(−2k)2−4(k−2)⋅k＞0，
解得k＞0且k≠2，
故选：C．
7．【解答】解：抛物线y＝2x2﹣1向左平移1个单位长度，得：y＝2（x+1）2﹣1；
再向上平移2个单位长度，得：y＝2（x+1）2+1．
此时抛物线顶点坐标是（﹣1，1）．
故选：D．
8．【解答】解：由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），
把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：
c=1.59a+3+c=0，
解得：a=−12c=32，
∴函数表达式为：y=−12x2+x+32，
=−12（x﹣1）2+2，
∵a＜0，故函数有最大值，
∴当x＝1时，y取得最大值，此时y＝2，
答：水流喷出的最大高度为2米．
故选：C．
二．填空题（共12小题）
9．【解答】解：把A（2，4）代入y＝ax2中得4＝4a，
解得a＝1，
∴y＝x2，
设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m，
∴点E坐标为（m，4﹣2m），
∴m2＝4﹣2m，
解得m＝﹣1−5（舍）或m＝﹣1+5．
∴CD＝2m＝﹣2+25．
故答案为：﹣2+25．
10．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+mx+3过点（4，3），
∴3＝﹣16+4m+3，
∴m＝4，
∴y＝﹣x2+4x+3，
∵y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴抛物线开口向下，对称轴是x＝2，顶点为（2，7），函数有最大值7，
把y＝3代入y＝﹣x2+4x+3得3＝﹣x2+4x+3，解得x＝0或x＝4，
∵当0≤x≤a时，y有最大值7，最小值3，
∴2≤a≤4．
故答案为：2≤a≤4．
11．【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+3，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，3），且开口方向向上，
∴当x＝1时，y取得最小值，
故答案为：1．
12．【解答】解：如图，连接PB、PC，
由二次函数的性质，OB＝PB，PC＝AC，
∵△ODA是等边三角形，
∴∠AOD＝∠OAD＝60°，
∴△POB和△ACP是等边三角形，
∵A（4，0），
∴OA＝4，
∴点B、C的纵坐标之和为4×32=23，
即两个二次函数的最大值之和等于23．
故答案为23．
13．【解答】解：∵y＝mx2﹣8mx+16m﹣1＝m（x﹣4）2﹣1，m＞0，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（4，﹣1），抛物线对称轴为直线x＝4，
∵4﹣2＞5﹣4，
∴m增大过程中，抛物线先经过点C，再经过点D，
将（2，0）代入y＝mx2﹣8mx+16m﹣1得0＝4m﹣1，
解得m=14，
∴m≥14时抛物线与CD有交点，
故答案为：m≥14．
14．【解答】解：∵y1＞y2，
∴ax12+bx1+c＞ax22+bx2+c，
∴a（x12﹣x22）＞﹣b（x1﹣x2），
∵a＜0，x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0，
∴x1+x2＞−ba=2m，
当x1+x2＞4时，都有x1+x2＞2m，
∴2m≤4，
∴m≤2，
∴满足条件的值为：m≤2．
故答案为：m≤2．
15．【解答】解：建立坐标系，如图所示：
由题意得：A（0，1.68），B（2，2），点B为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2，
把A（0，1.68）代入得：
4a+2＝1.68，
解得a＝﹣0.08，
∴y＝﹣0.08（x﹣2）2+2，
令y＝0，得﹣0.08（x﹣2）2+2＝0，
解得x1＝7，x2＝﹣3（舍），
∴小丁此次投掷的成绩是7米．
故答案为：7．
16．【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x=−−2a2a=1，且经过点B、C．
∴BC＝2，
∴正方形的边长为2，
∴C（0，2），B（2，2），
∴c＝2，
∵抛物线为y＝ax2﹣2ax+2，
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c的顶点在正方形OABC的内部，
∴0＜4a×2−(−2a)24a＜2，
解得a＜2，
∴0＜a＜2，
故答案为0＜a＜2．
17．【解答】解：如图，抛物线上A、B两点间的部分在平移过程中扫过的面积等于▱ABOC的面积，
∵平移过程中扫过的面积为9，
∴3•OA＝9，
解得OA＝3，
∴点A的坐标为（3，0），
代入得a•32+2×3+3＝0，
解得a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
18．【解答】解：由tan∠AOE=32，可设A、B点坐标分别为（2m，3m）、（2n，3n），
∵AD∥OC，
∴∠ADB＝∠OCB，∠DAB＝∠COA，
∴△BAD∽△BOC．
①当点A在线段OB上时，如图1所示．
∵OC＝2AD，
∴D点为线段BC的中点，
∵C（0，c），B（2n，3n），
∴D点横坐标为0+2n2=n，
由题意知A、D点均在抛物线的对称轴上，
∴n＝2m，
∴B点坐标为（4m，6m），
∵A，B在抛物线上，且抛物线对称轴为x＝2m，
∴有3m=4m2+2bm+c6m=16m2+4bm+c−b2=2m，
解得：m=0b=0c=0，或m=34b=−3c=92，
∵c＞0，
∴c=92；
②当点B在线段OA上时，如图2所示．
∵OC＝2AD，
∴OB＝2AB．
∵C（0，c），B（2n，3n），
∴D点横坐标为1+22×2n＝3n，
由题意知A、D点均在抛物线的对称轴上，
∴n=23m，
∴B点坐标为（43m，2m），
∵A，B在抛物线上，且抛物线对称轴为x＝2m，
∴有3m=4m2+2bm+c2m=169m2+43bm+c−b2=2m，
解得：m=0b=0c=0，或m=−94b=9c=272．
∵c＞0，
∴c=272．
综上所述：c的值为92或272．
故答案为：92或272．
19．【解答】解：∵当x≥1时，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向上，a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x=−−22a=a，
∴a≤1，
∴0＜a≤1，
故答案为：0＜a≤1．
20．【解答】解：∵y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，
∴M（h，0），对称轴为x＝h，
∵抛物线与平行于x轴的直线l交于A，B两点，
∴A，B两点的纵坐标相同，设为a，
则a＝（x﹣h）2时，x﹣h＝±a，
解得：x＝h±a，
∴点A的横坐标是（h−a），点B的横坐标是（h+a），
∵AB＝3，
∴（h+a）﹣（h−a）＝3，
解得：a=94；
故答案为：94．
三．解答题（共10小题）
21．【解答】解：（1）当m=12时，y＝2（x−12）2+1，
∴顶点A（12，1），
令x＝0，得y=32，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，32），
故答案为：（12，1），（0，32）；
（2）∵点A（m，2m）在第一象限，且OA=5，
∴m2+（2m）2＝（5）2，且m＞0，
解得：m＝1，
∴抛物线的解析式为y＝2（x﹣1）2+2，当x≤1时，函数值y随x的增大而减小；
（3）∵当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+2m的最小值为3，
∴分两种情况：2m＜m，即m＜0时，或2m＞m，即m＞0时，
①当m＜0时，2（2m﹣m）2+2m＝3，
解得：m=−1+72（舍）或m=−1+72，
②当m＞0时，2（m﹣m）2+2m＝3，
解得：m=32，
综上所述，m的值为32或−1+72；
（4）P（4，2）、Q（4，2﹣2m），抛物线y＝2（x﹣m）2+2m，
①当m＞1时，如图1，
∵2m＞2，2﹣2m＜0，
∴抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边没有交点；
②当m＝1时，如图2，
∵2m＝2，2﹣2m＝0，
∴抛物线y＝2（x﹣m）2+2m的顶点在边PM边上，
即抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边只有一个交点；
③当12≤m＜1时，如图3，
∵1≤2m＜2，0＜2﹣2m≤1，P（4，2）、Q（4，2﹣2m），
∴M（m，2），N（m，2﹣2m），
抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点，若点B在PM边上，点C在MN边上，
∴令y＝2，则2＝2（x﹣m）2+2m，
∴x＝m+1−m 或 x＝m−1−m（不合题意，应舍去），
∴B（m+1−m，2），C（m，2m），
根据题意，得2m＝m+1−m，
解得：m=5−12或m=−5−12（不合题意，应舍去）；
④当0≤m＜12时，如图4，
∴点B在PM边上，点C在NQ边上，
∴B（m+1−m，2），C（m+1−2m，2﹣2m），
则2﹣2m＝m+1−m，
解得：m=11±1318，
∵0≤m＜12，
∴m=11−1318，
⑤当m＜0时，如图5，
∵2m＜0，2﹣2m＞2，
∴点B在NQ边上，点C在PM边上，
B（m+1−2m，2﹣2m），C（m+1−m，2）
则|m+1−2m|＝2，
当m+1−2m=2时，得m2﹣2m+3＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，
∴该方程无解；
当m+1−2m=−2时，得m2+6m+3＝0，
解得：m＝﹣3−6或m＝﹣3+6，
当m＝﹣3+6时，
|m+1−2m|＝|﹣3+6+1−2(−3+6)|＝26−4≠2，
不符合题意，舍去，
综上所述，m的值为5−12或11−1318或﹣3−6．
22．【解答】解：（1）将A（0，−74），点B（1，14）代入y＝x2+bx+c得：
−74=c14=1+b+c，
解得b=1c=−74，
∴y＝x2+x−74．
（2）∵y＝x2+x−74=（x+12）2﹣2，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=−12．
∴当x=−12时，y取最小值为﹣2，
∵2﹣（−12）＞−12−（﹣2），
∴当x＝2时，y取最大值22+2−74=174．
（3）①PQ＝|﹣2m+1﹣m|＝|﹣3m+1|，
当﹣3m+1＞0时，PQ＝﹣3m+1，PQ的长度随m的增大而减小，
当﹣3m+1＜0时，PQ＝3m﹣1，PQ的长度随m增大而增大，
∴﹣3m+1＞0满足题意，
解得m＜13．
②∵0＜PQ≤7，
∴0＜﹣3m+1≤7，
解得﹣2≤m＜13，
如图，当m=−12时，点P在最低点，PQ与图象有1交点，
m增大过程中，−12＜m＜13，点P与点Q在对称轴右侧，PQ与图象只有1个交点，
直线x=13关于抛物线对称轴直线x=−12对称后直线为x=−43，
∴−43＜m＜−12时，PQ与图象有2个交点，
当﹣2≤m≤−43时，PQ与图象有1个交点，
综上所述，﹣2≤m≤−43或−12≤m＜13时，PQ与图象交点个数为1，−43＜m＜−12时，PQ与图象有2个交点．
23．【解答】解：（1）对y＝﹣ax2﹣2ax+4a，令y＝0，则﹣ax2﹣2ax+4a＝0，
∴﹣x2﹣2x+4＝0，
解得x=5−1或x=−5−1，
∴图象M2与x轴的交点坐标为（5−1，0）或（−5−1，0）；
（2）∵y＝ax2﹣2ax﹣4a＝a（x﹣1）2﹣5a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵x≥0，
当a＞0时，函数的最低点的纵坐标为﹣5a，
∴|﹣5a|＝2，
∴a=25；
当a＜0时，函数无最小值，
∴此情况不满足；
综上所述：a=25；
（3）当a＝1时，y＝x2﹣2x﹣4（x≥0），y＝﹣x2﹣2x+4（x＜0），
当m≥0时，−32=m2﹣2m﹣4，解得m=172+1；
当m＜0时，−32=−x2﹣2x+4，解得m=−262−1；
综上所述：m的值为172+1或−262−1；
（4）∵y＝ax2﹣2ax﹣4a＝a（x﹣1）2﹣5a，
∴图象M1的顶点（1，﹣5a），
∵y＝﹣ax2﹣2ax+4a＝﹣a（x+1）2+5a，
∴图象M2的顶点为（﹣1，5a），
如图1，当a＞0时，﹣5a≥﹣1，5a≤2，
∴0＜a≤15；
如图2，当a＜0时，﹣5a≤2，5a≥﹣1，
∴−15≤a＜0；
综上所述：a的取值范围为−15≤a≤15且a≠0．
24．【解答】解：（1）当m＝﹣2时，y＝x2+4x﹣8，
∴y＝x2+4x﹣8＝（x+2）2﹣12，
∵x≤﹣4，
∴当x＝﹣4时，y＝﹣8，
∴图象G最低点的坐标（﹣4，﹣8）；
（2）∵y＝x2﹣2mx+4m＝（x﹣m）2﹣m2+4m，
∴抛物线的对称轴为直线x＝m，
令y＝0，则x2﹣2mx+4m＝0，
∴Δ＝4m2﹣16m＝0，
∴m＝0或m＝4，
当m≤0时，2m≤m，
∴图象G与x轴始终有一个公共点，
当m＝4时，图象G与x轴只有一个公共点，
当m＞4时，2m＞m，图象G与x轴始终有两个公共点；
当0＜m＜4时，Δ＜0，此时图象G与x轴无公共点；
综上所述：m≤0或m＝4时，图象G与x轴只有一个公共点；
（3）∵图象G的最低点到直线y＝2的距离为3，
∴图象G的最低点的纵坐标为﹣1或5，
当m＜0时，m＞2m，
此时当x＝2m时，y＝4m，
此时最低点的纵坐标为4m，
∴4m＝﹣1，
∴m=−14；
当m＞0时，2m＞m，
∴当x＝m时，y＝4m﹣m2，
此时最低点的纵坐标为4m﹣m2，
∴4m﹣m2＝﹣1或4m﹣m2＝5，
解得m＝2+5或m＝2−5（舍）；
综上所述：m的值为−14或2+5；
（4）∵点A在图象G上，
∴图象G与矩形ABCD一定有一个公共点，
∵图象G与矩形ABCD的边有两个公共点，
∴只需图象G与矩形ABCD的边再由一个公共点即可；
∵点A的横坐标为2m，
∴A（2m，4m），
当x＝﹣2时，y＝4+8m，
当4+8m＝4m时，m＝﹣1，
如图1，当m＜﹣1时，图象G在x≤2m时，y随x的增大而减小，
∴矩形与图象G只有一个交点A；
当﹣1＜m≤0时，图象G与矩形有两个交点；
当4m＝3时，m=34，
如图3，当0＜m＜34时，2m＞m，
∴图象G与矩形ABCD有三个交点；
当y＝3时，x2﹣2mx+4m＝3，
整理得，x2﹣2mx+4m﹣3＝0，
∴Δ＝4m2﹣16m+12＝0，
∴m＝1或m＝3，此时图象G与BC边有一个交点，
如图4，当34＜m≤1时，图象G与矩形有三个交点；
如图5，当1＜m＜3时，图象G与矩形有两个交点；
当m＝3时，图象G与矩形有三个交点；
当m＞3时，图象G与矩形有四个交点；
综上所述：﹣1＜m≤0或1＜m＜3时，图象G与矩形ABCD有两个交点．
25．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+2m+1＝（x﹣m）2﹣m2+2m+1，
∴顶点坐标为（m，﹣m2+2m+1）；
（2）∵抛物线开口向上，
∴m≤1时，y随x的增大而增大，
故答案为：m≤1；
（3）当m＜﹣1时，x＝﹣1，函数有最小值，
∴y0＝2+4m，
∵y0＝﹣1，
∴2+4m＝﹣1，
解得m=−34（舍）；
当m＞2时，x＝2，函数有最小值，
∴y0＝5﹣2m，
∵y0＝﹣1，
∴5﹣2m＝﹣1，
解得m＝3；
当﹣1≤m≤2时，x＝m，函数有最小值，
∴y0＝﹣m2+2m+1，
∵y0＝﹣1，
∴﹣m2+2m+1＝﹣1，
解得m=3+1（舍）或m=−3+1；
综上所述：m的值为3或−3+1；
（4）当0＜m≤12时，﹣m2+2m+1+2＝4，
解得m＝1（舍）；
当12＜m≤1时，﹣m2+2m+1+2＝4﹣2m+1，
解得m=6+2（舍）或m=−6+2（舍）；
当1＜m≤32时，﹣m2+2m+1+2＝2m+1，
解得m=2或m=−2（舍）；
当32＜m≤2时，﹣m2+2m+1+2＝4，
解得m＝1（舍）；
当m＞2时，最高点纵坐标是4，最低点纵坐标是1，
∴3≠4，
∴此时不符合题意；
综上所述：m的值为2．
26．【解答】解：（1）将点A（0，﹣4），点B（4，0）代入y＝x2+bx+c，
∴c=−416+4b+c=0，
∴c=−4b=−3，
∴y＝x2﹣3x﹣4；
（2）过点P作PQ∥y轴交AB于点Q，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴b=−44k+b=0，
解得k=1b=−4，
∴y＝x﹣4，
设P（t，t2﹣3t﹣4），则Q（t，t﹣4），
∴PQ＝t﹣4﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t，
∴S△PAB=12×4×（﹣t2+4t）＝﹣2t2+8t＝﹣2（t﹣2）2+8，
∵0＜t＜4，
∴t＝2时，△PAB的面积最大值为8，
此时P（2，﹣6）；
（3）∵y＝x2﹣3x﹣4＝（x−32）2−254，
∴抛物线的对称轴为直线x=32，
当x＝t时，y＝t2﹣3t﹣4，
当x＝t+1时，y＝（t+1）2﹣3（t+1）﹣4＝t2﹣t﹣6，
①当t+1＜32，即t＜12时，m＝t2﹣3t﹣4，n＝t2﹣t﹣6，
∴m﹣n＝t2﹣3t﹣4﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣2t+2＝3，
解得t=−12；
②当t＞32时，m＝t2﹣t﹣6，n＝t2﹣3t﹣4，
∴m﹣n＝2t﹣2＝3，
解得t=52；
③当t≤32≤t2+1，即1≤t≤32时，m＝t2﹣t﹣6，n=−254，
∴m﹣n＝t2﹣t﹣6+254=3，
解得t=3+12（舍）或t=−3+12（舍）；
④t2+1≤32≤t+1，即12≤t≤1时，m＝t2﹣3t﹣4，n=−254，
∴m﹣n＝t2﹣3t﹣4+254=3，
解得t=3+32（舍）或t=−3+32（舍）；
综上所述：t的值为52或−12．
27．【解答】解：（1）当x＝2时，y＝﹣3，
∴D（2，﹣3）；
（2）令x＝0，则y＝﹣1，
∴A（0，﹣1），
∵y=1ax2−a+2ax﹣1=1a（x−a+22）2−a2+8a+44a，
∴顶点B（a+22，−a2+8a+44a），
∵抛物线的对称轴为直线x=a+2a，
∴C（a+2，﹣1），
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB⊥BC，
∴|a+22|＝|﹣1+a2+8a+44a|，
解得a＝±2或a=−23，
当a＝﹣2时，B（0，1），C（0，﹣1），此时C点与A点重合，
∴a＝﹣2（舍）；
∴a＝﹣2或a=−23；
（3）∵抛物线的对称轴为直线x=a+2a，
①当a+22＜0时，a＜﹣2，
此时当x＝0时，函数有最大值﹣1，
当x＝2时，函数有最小值﹣3，
∴函数的最大值与最小值的差为2；
②当a+22＞2时，a＞2，
此时当x＝0时，函数有最大值﹣1，
当x＝2时，函数有最小值﹣3，
∴函数的最大值与最小值的差为2；
③当0≤a+22≤1时，﹣2≤a＜0，
此时当x=a+22，函数有最大值−a2+8a+44a，
当x＝2时，函数有最小值﹣3，
∵函数的最大值与最小值的差为2，
∴−a2+8a+44a+3＝2，
∴a2+8a+44a=1，
解得a＝﹣2；
④当1＜a+22≤2时，0＜a≤2，
此时当x＝0时，函数有最大值﹣1，
当x=a+22时，函数有最小值−a2+8a+44a，
∵函数的最大值与最小值的差为2，
∴﹣1+a2+8a+44a=2，
∴a2+8a+44a=3，
解得a＝2；
综上所述：a≤﹣2或a≥2时，函数的最大值与最小值的差为2；
（4）∵D（2，﹣3），DE⊥y轴，
∴DE所在直线为y＝﹣3，
∵A（0，﹣1），R（a﹣3，﹣1），
∴N（0，﹣5），R（a﹣3，﹣5），
当a＞0时，1a（a﹣3）2−a+2a•（a﹣3）﹣1≤﹣5，
解得a≥15，
此时抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象，y随x的增大而减小；
当a＜0时，−a2+8a+44a≥−1，
解得a＜0，
此时此时抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象，y随x的增大而增大；
综上所述：a≥15或a＜0时，符合题意．
28．【解答】解：（1）当a＝1时，y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∴顶点坐标为（1，1），
①当0≤x≤3时，当x＝0，y＝2，当x＝3，y＝5，
∴y的取值范围是1≤y≤5，
故答案为：1≤y≤5；
②当1≤y≤10时，当y＝1，x＝1，当y＝10，x＝﹣2或4，
∵﹣2≤x≤b，
∴1≤b≤4，
故答案为：1≤b≤4；
（2）∵0≤12a+2，
∴a≥﹣4，
∵y＝x2﹣2ax+2a＝（x﹣a）2+2a﹣a2，
∴顶点坐标为（a，2a﹣a2），
当﹣4≤a≤0时，最低点（0，2a），最高点为（12a+2，−34a2+4），
∴−34a2+4﹣2a＝4，
∴a＝0或−83，
当0＜a≤43时，最低点（a，2a﹣a2），最高点为（12a+2，−34a2+4），
∴−34a2+4﹣（2a﹣a2）＝4，
∴a＝0（舍去）或8（舍去），
当43＜a≤4时，最低点（a，2a﹣a2），最高点为（0，2a），
∴2a﹣（2a﹣a2）＝4，
∴a＝2或﹣2（舍去），
当a＞4时，不合题意，
综上所述：a＝0或−83或2；
（3）当32a+1＞2a+12时，即a＜1，
当对称轴在y轴左侧时，即a＜0，
由题意可得：2a+12≥2a32a+1≤a或2a+12≥0，
解得：a≤﹣2或−14≤a＜0，
当对称轴在y轴右侧或y轴上时，a≥0，
由题意可得：32a+1≤a2a+12≥0或2a+12≥2a，
解得：a≤−14（舍去）或0≤a＜1，
即a≤﹣2或−14≤a＜1，
当32a+1＜2a+12时，即a＞1，
由题意可得：32a+1≥02a+12≤a或32a+1≥2a，
解得：−23≤a≤−12（舍去）或1＜a≤2，
综上所述：a≤﹣2或−14≤a＜1或1＜a≤2．
29．【解答】解：（1）把点（﹣1，2）代入y＝x2+x+m，则1﹣1+m＝2，
∴m＝2；
（2）∵点A的坐标为（m，2）（其中m为常数），点B与点A关于y轴对称，
∴点B的坐标为（﹣m，2），
当﹣m≥1时，即m≤﹣1时，
把点（﹣m，2）代入y＝x2+x﹣m，则m2﹣m﹣m＝2，解得m＝1±3，（舍去）
当﹣m＜1时，即m＞﹣1时，
把点（﹣m，2）代入y＝x2+x+m，则m2﹣m+m＝2，解得m＝±2，（负值舍去），
综上，m=2；
（3）当m＜0时不存在两个交点，
当m＞0时存在两个交点，此时只有一种情况成立，
即y＝x2+x+m＝2时，且△＝1﹣4（m﹣2）＝0，
解得m=94符合题意，
故答案为：94；
（4）当图形G上最低点落在函数y＝x2+x﹣m（x≥1）的图象上时，则最低点坐标为（1，2﹣m），
∴﹣2≤2﹣m≤﹣1，
解得：3≤m≤4；
当图形G上最低点落在函数y＝x2+x﹣m（x＜2）的图象上时，
同理：−74≤m≤−34；
y＝x2+x+m的顶点C（−12，m−14），
当x＝1时，y＝x2+x﹣m的点D（1，2﹣m），
m−14=2﹣m，
解得m=98，
当m＞98时，D为最低点；
当m＜98时，C为最低点．
综上所述，m的取值范围为：3≤m≤4或−74≤m≤−34．
30．【解答】解：（1）如图1，设点A（t，3t），B（t+3，3t+3），
∵G是中心对称图形，由反比例函数图象的中心对称性质可知：A与B关于原点成中心对称，
∴t+t+3＝0，解得：t=−32；
（2）①y1=(12−t)2+2t＝t2+t+14，y2=(12+t−t)2+2t＝2t+14，
∴P（12，t2+t+14），Q（12+t，2t+14），
②如图2，当t＝﹣2时，y＝（x+2）2﹣4，P（12，94），Q（−32，−154），
根据“双对称函数”定义可知：
新图象f：由x＜−32时抛物线y＝（x+2）2﹣4沿直线y=−154翻折所得图象、x＞12时抛物线y＝（x+2）2﹣4沿直线y=94翻折所得图象及−32≤x≤12时抛物线y＝（x+2）2﹣4三个部分组成，
∴当t＝﹣2时，函数f的解析式为：y=y=−(x+2)2−72(x＜−32)，y=(x+2)2−4(−32≤x≤12)，y=−(x+2)2+172(x＞12)；
③∵当﹣1≤x≤1时，函数f的最小值为ymin，且﹣2≤ymin≤﹣1，
若t＜0，该二次函数关于点P、Q的“双对称函数”为：y=−(x−t)2+2t+12(x＜12+t)，(x−t)2+2t(12+t≤x≤12)−(x−t)2+2t2+12(t＞12)，
当t≤−12时，x＝﹣1时，y＝﹣1，则有（﹣1﹣t）2+2t＝﹣1，
解得t＝﹣2−2或﹣2+2（舍弃），
当x＝﹣1，y＝﹣2时，则有（﹣1﹣t）2+2t＝﹣2，
解得t＝﹣3或﹣1（舍弃），
由题意，满足条件的t的值为：﹣2−2≤t≤﹣3，
当−12≤t＜0时，
当点Q是最低点时，x＝t+12时，y＝﹣2，可得t=−98，
当x＝1时，y＝﹣1，则有﹣（1﹣t）2+2t2+12=−1，
解得t=−2+22或−2−22（舍弃）
由题意，满足条件的t的值为：−98≤t≤−2+22，
当t≥0时，由﹣2≤﹣（﹣1﹣t）2+2t2+12≤−1，
可解得：2−22≤t≤2+22，
综上所述，t的取值范围为：﹣2−2≤t≤﹣3或−98≤t≤−2+22或2−22≤t≤2+22．