2021-2022学年江西省抚州市崇仁二中八年级（下）段考数学试卷（一）（含解析）

2021-2022学年江西省抚州市崇仁二中八年级（下）段考数学试卷（一）

副标题

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）

1. 已知，则下列结论不成立的是

A.  B.
C.  D.

2. 已知等腰三角形的周长为，一边长为，则它的腰长为

A.  B.  C. 或 D. 或

3. 如图，，，，要根据“”证明≌，则还要添加一个条件是

A.
B.
C.
D.

4. 某次知识竞赛共有道题，规定每答对一题得分，答错或不答都扣分，小明得分要超过分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对道题，根据题意得

A.  B.
C.  D.

5. 如图，在的小正方形网格中，小正方形的边长均为，点，，，，均在格点上．则

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在等边三角形中，，分别为边，的中点，，且为上的动点，连接，，则的最小值为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

7. 不等式的解集为______．
8. 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图，衣架杆，若衣架收拢时，，如图，则此时，两点之间的距离是______．

9. 如图，直线经过点，则关于的不等式解集是______．
   
   
    

10. 如图，已知的周长是，，分别平分和，于，且，的面积是______．
     

11. 若不等式组无解，则的取值范围是______．
12. 中，，，则的长为______．

三、解答题（本大题共12小题，共84.0分）

13. 解不等式：．
    
    
    
    
    
    
     
14. 已知，如图，，求证：．
    
    
    
     

15. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
    
    
    
    
    
    
    
     
16. 已知关于，的方程组的解满足不等式，求实数的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
17. 如图，的的网格中，，，均在格点上，请用无刻度的直尺作图保留作图痕迹，不写作法．
    在图中找一格点，使得为等腰三角形找到一个即可；
    在图中作出的角平分线．

18. 折纸的思考．
    【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．
    第一步，对折矩形纸片图，使与重合，得到折痕，把纸片展平图．
    第二步，如图，再一次折叠纸片，使点落在上的处，并使折痕经过点，得到折痕，折出、，得到．
    
    【数学思考】请证明：是等边三角形．
    【数学应用】以矩形的一边为边作等边三角形，它的另一个顶点恰好在其对边上，已知矩形一边长为，则其邻边边长为______．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，已知在四边形中，点在上，，，．
    求证：；
    若，求的度数．

20. 定义运算：当时，；当时，；如：；；根据该定义运算完成下列问题：
    ______，当时，______；
    如图，已知直线与相交于点，若，结合图象，直接写出的取值范围是______；
    若，求的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，射线平分，点是上一点，垂直平分于点，于点，连接，若，，求．
    
     

22. 小玥同学三次到某超市购买、两种福娃，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如表：

解答下列问题：
求、两种福娃的原价；
第______次购买有折扣；
若购买、两种福娃的折扣数相同，求折扣数；
小玥同学再次购买、两种福娃共件，在中折扣数的前提下，消费金额不超过元，求至少购买福娃多少个．






 

23. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，点的横坐标为．
    直接写出值：______；
    当取何值时，？
    在轴上有一点，过点作轴的垂线，与直线交于点，与直线交于点，若，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，和都是等边三角形．
    【探究发现】
    与是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．
    【拓展运用】
    若、、三点不在一条直线上，，，，求的长．
    若、、三点在一条直线上如图，且和的边长分别为和，求的面积及的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：、由，可得，成立；
B、由，可得，不成立；
C、由，可得，成立；
D、由，可得，成立；
故选：．
根据不等式的性质解答即可．
此题考查不等式的性质，关键是根据不等式的性质解答．
 

2.【答案】

【解析】

解：若是腰长，则底边长为：，
，不能组成三角形，舍去；
若是底边长，则腰长为：．
则腰长为．
故选：．
分两种情况讨论：当为腰长时，当为底边时，分别判断是否符合三角形三边关系即可．
此题考查了等腰三角形的性质．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
 

3.【答案】

【解析】

解：条件是，
理由是：，，
，
在和中，
，
≌，
故选：．
根据垂直定义求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．
 

4.【答案】

【解析】

解：设小明答对道题，则答错或不答道题，
依题意，得：．
故选：．
设小明答对道题，则答错或不答道题，根据小明的得分答对的题目数答错或不答的题目数结合小明得分要超过分，即可得出关于的一元一次不等式．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

解：连接，，如图，

根据勾股定理可得：，，
，
，
在中，，，
，
是直角三角形，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据勾股定理得出，，进而利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形内角和解答．
此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理和三角形内角和以及等腰直角三角形的判定和性质解答．
 

6.【答案】

【解析】

解：是等边三角形，是边的中线，
垂直平分，
点与点关于对称，
连接交于，
，
此时的值最小，且等于的长，
点是的中点，
垂直平分，
，
的最小值为，
故选：．
要求的最小值，需考虑通过作辅助线转化的值为的值，可得最小值为的长度，再求解即可．
本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

解：移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：，
故答案为：．
依次移项、合并同类项、系数化为即可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格依据不等式基本性质遵循基本步骤是解不等式关键．
 

8.【答案】

【解析】

解：，，
是等边三角形，
，
故答案为：
根据有一个角是的等腰三角形的等边三角形进行解答即可．
此题考查等边三角形问题，关键是根据有一个角是的等腰三角形的等边三角形进行分析．
 

9.【答案】

【解析】

解：根据题意，可知当时，，
根据图象可知不等式的解集是：．
故答案为：．
根据题意，可知当时，，根据图象即可求解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的综合，结合图象解不等式是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了角平分线性质，三角形的面积，主要考查学生运用定理进行推理的能力。
过作于，于，连接，根据角平分线性质求出，根据的面积等于的面积、的面积以及的面积之和，即可求出答案。
【解答】
解：如图，过作于，于，连接，


，分别平分和，，
，，
即，
的面积是：

故答案为。  

11.【答案】

【解析】

解：
解得．
解得，
不等式组无解，
．
故答案为．
首先解第一个不等式，然后根据不等式组无解确定的范围．
本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
 

12.【答案】

或
 

【解析】

解：若是锐角三角形时，
过点作于点，过点作于点，
，
，
由勾股定理可知：，
，
，
若是钝角三角形时，
同理可求出得，
故答案为：或
根据等腰三角形的性质以及勾股定理即可求出答案．
本题考查等腰三角形，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质以及勾股定理，本题属于中等题型．
 

13.【答案】

解：去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：．
 

【解析】

根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

14.【答案】

证明：连接，

，
，
，
，，
，
．
 

【解析】

连接，根据，可得，再根据，可证即可．
此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，连接，求证是等腰三角形，这是解答此题的关键．
 

15.【答案】

解：，
解得，
解得；
所以不等式组的解集为．
用数轴表示为：
．
 

【解析】

分别解出两不等式的解集再求其公共解．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

16.【答案】

解：两方程相加得，
，
，
，
解得．
 

【解析】

两方程相加得出，结合得出关于的不等式组，解之即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

17.【答案】

解：如图中，，即为所求．
如图中，射线即为所求．

 

【解析】

构造或即可．
利用等腰三角形的三线合一的思想解决问题即可．
本题考查作图应用与设计，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

18.【答案】

或
 

【解析】

证明：由折叠可知：，，
由矩形的性质可知：是线段的垂直平分线，
，
，
是等边三角形．
解：设矩形的另一边为，
当等边三角形的边长为时，由图可得，，
，
，
当等边三角形的边长为时，由图可知，，
，
，
，
解得或舍去，
矩形的另一边为或．
故答案为：或．
由折叠的性质得出，，证出，则可得出结论；
设矩形的另一边为，分两种情况，由等边三角形的性质及勾股定理可得出答案．
本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

19.【答案】

解：，
，
，
在和中，
≌，
；
，，
，
，
，
．
 

【解析】

本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即、、、和．
根据同角的余角相等可得到，结合条件可得到，再加上，可证得结论；
根据，，得到，根据等腰三角形的性质得到，由平角的定义得到．
 

20.【答案】

【解析】

解：根据定义，得，
当时，，
故答案为：，；
，
根据图象，可得的取值范围：．
故答案为：．
，
，
解得．
的取值范围是：．
根据的定义，即可求解；
根据图象，结合的定义即可；
根据定义，得不等式，求解不等式即可．
本题考查了一次函数与新定义的综合，理解新定义的含义，并灵活运用到一次函数中是解决本题的关键．
 

21.【答案】

解：连接，过作，垂足为，

平分，，，
，
又垂直平分，
，
在与中，
，
≌，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，，
．
 

【解析】

连接，过作，垂足为，根据证明直角三角形的全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
 

22.【答案】

三
 

【解析】

解：设福娃的原价为元，福娃的原价为元，
依题意得：，
解得：．
答：福娃的原价为元，福娃的原价为元．
根据题意，可知：第三次购买有折扣．
故答案为：三．
设折扣数为，
依题意得：，
解得：．
答：折扣数为六五折．
设购买福娃个，则购买福娃个，
依题意得：，
解得：．
答：至少购买福娃个．
设福娃的原价为元，福娃的原价为元，利用总价单价数量，结合前两次购买福娃的数量及消费金额，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
由第三次购买的数量多消费金额反而少，可得出第三次购买有折扣；
设折扣数为，利用总价单价数量，结合第三次购买的数量及消费金额，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出折扣数；
设购买福娃个，则购买福娃个，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】

直线得与轴交点的坐标为，
由图象可知：当时，相应的的值为：．
当时，，
，即：，
，
点在直线上，点在直线上，
或，
解得：或，
即：或．
答：的值为或．
 

【解析】

解：点在直线上，点的横坐标为．
代入直线得，，
故答案为：．
直线得与轴交点的坐标为，
由图象可知：当时，相应的的值为：．
当时，，
，即：，
，
点在直线上，点在直线上，
或，
解得：或，
即：或．
答：的值为或．
先求出点坐标，再代入求出的值，
求出直线与轴交于点坐标，根据函数的图象可以直接得出，当的取值范围；
由点的坐标，可求出的长，进而求出的长，由于点、分别在两条直线上，由题意得的长就是这两个点纵坐标的差，因此有两种情况，分类讨论，得出答案．
考查待定系数法求函数的关系式、一次函数与一元一次不等式组的关系等知识，数形结合是解决问题的关键和法宝．
 

24.【答案】

解：全等，理由是：
和都是等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
≌；
如图，由得：≌，

，
是等边三角形，
，，
，
，
在中，，，
，
；
如图，过作于，

、、三点在一条直线上，
，
和都是等边三角形，
，
，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
．
 

【解析】

依据等式的性质可证明，然后依据可证明≌；
由知：，利用勾股定理计算的长，可得的长；
如图，过作于，先根据平角的定义得，利用特殊角的三角函数可得的长，由三角形面积公式可得的面积，最后根据勾股定理可得的长．
本题是三角形的综合题，主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．