2022年吉林省中考数学专题练7-四边形

这是一份2022年吉林省中考数学专题练7-四边形，共37页。
2022年吉林省中考数学专题练7-四边形
一．选择题（共8小题）
1．（2022•南关区校级四模）如图，在▱ABCD中，AB＝4，对角线BD＝3，则▱ABCD面积的最大值为（　　）

A．25 B．20 C．15 D．12
2．（2021•前郭县模拟）如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE∥AB交AD于点E．若AB＝6，BC＝8，则△BOE周长为（　　）

A．10 B．8+25 C．8+213 D．14
3．（2021•九台区一模）如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，BD为⊙O的直径，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADB的大小为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°
4．（2021•南关区校级二模）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（　　）
A．四边形 B．三角形 C．五边形 D．六边形
5．（2020•南关区二模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，按下列步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AO、AB于点M、N；②以点O为圆心，AM长为半径作弧，交OC于点M1；③以点M1为圆心，MN以长为半径作弧，在∠COB内部交②中所作的圆弧于点N1；④过点N1作射线ON1交BC于点E．若AC＝8，BD＝6，则四边形DOEC的面积为（　　）

A．3 B．6 C．9 D．12
6．（2020•长春模拟）若某多边形的边数增加1，则这个多边形的外角和（　　）
A．增加180° B．增加360° C．减少180° D．不变
7．（2020•绿园区二模）已知一个n边形的每个外角都等于60°，则n的值是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（2020•长春模拟）如图，以正五边形ABCDE的边CD为边作等边三角形CDF，使点F在其内部，连接FE，则∠DFE的大小是（　　）

A．76° B．66° C．60° D．48°
二．填空题（共6小题）
9．（2022•朝阳区校级一模）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，AB上一点，且EF＝EC，EF⊥EC，若DE＝2，矩形ABCD的周长为24，则矩形ABCD的面积为 　 　．

10．（2022•长春模拟）如图所示，四边形ABCD为矩形，AE⊥EG，已知∠1＝25°，则∠2＝　 　

11．（2022•长春模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点，点F在AD上运动，沿直线EF折叠四边形CDFE，得到四边形GHFE，其中点C落在点G处，连接AG，AH，则AG的最小值是　 　．

12．（2021•朝阳区二模）如图，正五边形ABCDE和正六边形EFGHMN的边CD、FG在直线l上，正五边形在正六边形左侧，两个正多边形均在l的同侧，则∠DEF的大小是 　 　度．

13．（2021•朝阳区一模）如图，BE是正五边形ABCDE的对角线．若过点A作直线l∥BE，则∠1的大小是 　 　°．

14．（2021•吉林二模）如图，在▱ABCD中，BC＝13，过点A作AE⊥DC于点E，AE＝12，EC＝10，则AB＝　 　．

三．解答题（共12小题）
15．（2022•长春模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，点D为AB的中点，动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线AC﹣CB向终点B运动，当点P不与点C重合时，连结PD，以PC、PD为邻边作▱CPDE，设点P的运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示PC．
（2）当点E落在边BC上时，求t的值．
（3）当点P在边BC上运动时，若四边形CPDE是轴对称图形，求t的值．
（4）点E关于AC的对称点为E'，当PE⊥PE′时，直接写出t的值．

16．（2022•南关区校级一模）[问题原型]如图①，在△ABC中，CD是AB边的中线，CD=12AB．
求证：∠ACB＝90°．

[结论应用]如图②，△ABC中，点D是AB的中点，将△ACD沿CD翻折得到△A'CD，连结A'B．
求证：A'B∥CD．
[应用拓展]如图③，在▱ABCD中，∠A＜90°，点E是边AB的中点，将△ADE沿DE翻折得到△A'DE，连结BA'并延长，交CD于点F．若AB＝5，AD＝3，S▱ABCD＝12，则A'F的长为 　 　．

17．（2022•长春模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第75页的部分内容．

请根据教材提示，写出证明“平行线之间的距离处处相等”的完整过程（结合图①，写出“已知”、“求证”和“证明过程”）．
【结论应用】在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点P．
（1）如图②，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，连结AQ、DQ，则S△AQD与S△PBC之间的数量关系是．
（2）如图③，若∠ADC＝90°，AB＝AC＝5，BC＝6，则△BCD的面积为　 　
．
18．（2022•南关区校级一模）如图，在△ABC中，BA＝BC＝10，sinB=45，点D为边BC的中点．动点P从点B
出发，沿折线BA﹣AC向点C运动，在BA、AC上的速度分别为每秒5个单位长度和每秒25个单位长度．当点P不与点A重合时，连结PD，以PA、PD为邻边作▱APDE．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）①线段AC的长为 　 　；
②用含t的代数式表示线段AP的长．
（2）当点E在△ABC内部时，求t的取值范围．
（3）当▱APDE是菱形时，求t的值．
（4）作点B关于直线PD的对称点B'，连结B'D，当B'D⊥BC时，直接写出t的值．

19．（2022•朝阳区校级一模）已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D为BC中点，连结AD．一动点P从点A出发，沿折线AB一BC向终点C运动，在AB边上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC边上以每秒2个单位长度的速度运动．连结PD，以PA、PD为邻边构造平行四边形APDQ．设运动时间为t（t＞0）．
（1）tan∠B＝　 　．
（2）用含t的代数式表示线段BP．
（3）当平行四边形APDQ与△ABC重叠部分图形是轴对称图形时，求t的值．
（4）当0＜t＜3时，平行四边形APDQ被三角形ABC的边分成两部分的图形面积比为1：7时，直接写出t的值．

20．（2022•长春模拟）已知，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在射线AD上运动，连结BE，在射线AD下方作以BE为边的矩形BEFG，且EF＝5．
（1）如图①，当点E与点D重合，则BE的长为 　 　．
（2）如图②，当点E在线段AD上，且DE＝1时、求点F到直线AD的距离．
（3）当点F或点G落在正方形ABCD的边所在的直线上时，求矩形BEFG的面积．

21．（2022•吉林模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2cm，CD是边AB上的中线．P，Q两点同时从点A出发，点P在AC上以1cm/s的速度向终点C运动；点Q在AB上以2cm/s的速度向终点B运动，以AP，AQ为邻边作▱APEQ．设点P的运动时间为x（s），▱APEQ与△ACD重叠部分图形的面积为y（cm2）．
（1）点P到AB的距离为 　 　cm．（用含x的代数式表示）
（2）当点E落在中线CD上时，求x的值．
（3）当0＜x＜2时，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（4）连接PQ，当直线PQ经过中线CD上的三等分点时，直接写出x的值．

22．（2021•吉林）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．

（1）若AB＝a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；
（2）若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如②，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；
（3）若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．
23．（2021•吉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD=3cm．动点P从点A出发沿折线AB﹣BC向终点C运动，在边AB上以1cm/s的速度运动；在边BC上以3cm/s的速度运动，过点P作线段PQ与射线DC相交于点Q，且∠PQD＝60°，连接PD，BD．设点P的运动时间为x（s），△DPQ与△DBC重合部分图形的面积为y（cm2）．
（1）当点P与点A重合时，直接写出DQ的长；
（2）当点P在边BC上运动时，直接写出BP的长（用含x的代数式表示）；
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
24．（2021•长春）实践与探究
操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF＝　 　度．
操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则∠AEF＝　 　度．
在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：
（1）设AM与NF的交点为点P．求证：△ANP≌△FNE；
（2）若AB=3，则线段AP的长为 　 　．

25．（2020•长春）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．
1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？
【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．
【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．
【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则ADAB=　 　．


26．（2020•吉林）能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放，其中AD＝AG＝5，AB＝9．点D，G分别在边AE，AB上，CD与FG相交于点H．
【探究】求证：四边形AGHD是菱形．
【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD，将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的角度，使点F与点C重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为　 　．
【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接DG，CF，如图③，若sin∠BAD=45，则四边形DCFG的面积为　 　．


2022年吉林省中考数学专题练7-四边形
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，

∴▱ABCD面积＝AB•DE，
当DE最大时，▱ABCD面积最大，
当DE与BD重合时，即BD⊥AB时，DE最大，
此时▱ABCD面积＝4×3＝12．
故选：D．
2．【解答】解：∵点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE∥AB，
∴OE=12CD＝3，E点为AD中点．
在Rt△ABE中，利用勾股定理求得BE＝213．
在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC＝10．
∴BO＝5．
△BOE周长为5+3+213=8+213．
故选：C．
3．【解答】解：∵四边形ABCO是平行四边形，OA＝OC，
∴四边形ABCO是菱形，
∴OA＝AB，
∴OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝30°，
故选：A．
4．【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意得
（n﹣2）•180°＝360°，
解得n＝4．
故选：A．
5．【解答】解：由作法得∠COE＝∠OAB，
∴OE∥AB∥CD，
∵四边形ABCD为菱形，
∴OB＝OD，
∴CE＝BE，
∴OE为△DBC的中位线，
∴△OBE的面积是△DBC面积的14．
∵菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，
∴菱形的面积=12×8×6=24．
∴△DBC的面积是12×24=12，
∴△OBE的面积是14×12=3，
∴四边形四边形DOEC的面积为12﹣3＝9．
故选：C．
6．【解答】解：任意多边形的外角和都是360°，
∴若某多边形的边数增加1，则这个多边形的外角和不变．
故选：D．
7．【解答】解：∵多边形的外角和为360°，每个外角都等于60°，
∴n的值是360÷60＝6．
故选：B．
8．【解答】解：因为△CDF是等边三角形，
所以∠CDF＝60°，
因为∠CDE＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
所以∠EDF＝108°﹣60°＝48°，
因为DE＝DF，
所以∠DFE＝（180°﹣48°）÷2＝66°，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
9．【解答】解：∵四边形ABD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠D＝90°，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠AEF+∠DEC＝90°，
∵∠DCE+∠DEC＝90°．
∴∠AEF＝∠DCE，
在△AEF和△DCE中，
∠A=∠D∠AEF=∠DCEEF=CE，
∴△AEF≌△DCE（AAS）．
∴AE＝CD，AF＝DE＝2，
∴AD＝AE+DE＝AE+2，
∵矩形ABCD的周长为24，
∴2（AE+ED+CD）＝24，
∴2（2AE+2）＝24，
解得：CD＝AE＝5，
∴AD＝7，
∴矩形ABCD的面积＝AD×CD＝7×5＝35，
故答案为：35．
10．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠DFE＝∠2
∵∠DFE＝∠1+∠E＝115°
∴∠2＝115°
故答案为：115°
11．【解答】解：如图，连接AE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，BE＝EC＝3，AB＝4，
∴AE=AB2+BE2=32+42=5．
当A、G、E共线时，AG最小，
此时AG′＝AE﹣EG′＝5﹣3＝2．
故答案为2．

12．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴每个内角度数为(5−2)×180°5=108°．
∴∠EDC＝108°，
∴∠EDF＝72°，
同理可得正六边形BFGHMN每个内角度数为120°．
∴∠EFG＝120°，
∴∠EFD＝60°，
∴∠DEF＝180°﹣∠EDF﹣∠EFD＝180°﹣72°﹣60°＝48°．

解法二：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠EDF＝72°，
∵六边形EFGHMN是正六边形，
∴∠EFD＝60°，
∴∠DEF＝180°﹣∠EDF﹣∠EFD＝180°﹣72°﹣60°＝48°；
故答案为：48．
13．【解答】解：正五边形的一个内角的度数为：(5−2)×180°5=108°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB=180°−108°2=36°，
∵直线l∥BE，
∴∠1＝∠ABE＝36°，
故答案为：36．
14．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC＝13
∵过点A作AE⊥DC于点E，AE＝12，EC＝10，
在Rt△ADE中，AE=AD2−AE2=132−122=5，
∵DC＝DE+CE＝5+10＝15．
∴AB＝15．
三．解答题（共12小题）
15．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，
∴AC＝8•cos30°＝43，BC＝8•sin30＝4，
当0＜t＜433时，PC＝AC﹣AP＝43−3t，
当433≤t≤43+43时，PC＝3t﹣43，
∴PC=43−3t(0＜t＜433)3t−43(433≤t≤43+43)；
（2）如图1，

当点E在BC上时，∠ECP＝90°，则四边形PCED是矩形，
∴∠APD＝∠CPD＝90°，
∴AP＝AD•cosA＝4•cos30°＝23，
∴t=233；
（3）如图2，

∵▱CPDE是轴对称图形，
∴▱CPDE是矩形，
∴CP＝DE=12AD＝2，
∴t=43+23；
（4）如图3，

设AP＝x，则PC＝43−x，
∵GE＝DF＝2，
∵∠EPE′＝90°，
∴∠EPG＝45°，
∵AC⊥EE′，
∴∠PGE＝90°，
∴∠PEG＝45°，
∴∠PEG＝∠EPG，
∴PG＝GE＝2，
∴CG＝PC﹣PG＝43−x﹣2，
在Rt△DFP和Rt△EGC中，∠DFP＝∠EGC＝90°，
DF=EGDP=CE，
∴Rt△DFP≌Rt△EGC（HL），
∴PF＝CG，
∴x﹣23=43−x﹣2，
∴x＝33−1，
∴t=33−13．
16．【解答】[问题原型]：证明：∵CD是AB边的中线，CD=12AB．
∴CD＝AD＝BD，
∴∠ACD＝∠CAD，∠DBC＝∠DCB，
∵∠ACD+∠CAD+∠DBC+∠DCB＝180°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠ACB＝90°；
[结论应用]：证明：如图②，连接AA'，

∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∵将△ACD沿CD翻折得到△A'CD，
∴AD＝A'D＝BD，CD⊥AA'，
∴∠AA'B＝90°，∠AOD＝90°，
∴∠AA'B＝∠AOD＝90°，
∴CD∥A'B；
[应用拓展]：如图③，连接AA'，过点D作DH⊥AE于H，

∵S▱ABCD＝12，AB＝5，
∴AB×DH＝12，
∴DH=125，
∴AH=AD2−DH2=9−14425=95，
∵点E是边AB的中点，
∴AE＝BE=52，
∴HE＝AE﹣AH=710，
∴DE=DH2+HE2=52，
∵将△ADE沿DE翻折得到△A'DE，
∴AE＝A'E＝BE，AA'⊥DE，AO＝A'O，
∴∠AA'B＝90°＝∠AOE，
∴DE∥BF，
又∵DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE＝BF=52，
∵S△ADE=12×AE×DH=12×DE×AO，
∴52×125=52×AO，
∴AO=125，
∴OE=AE2−AO2=710，
∵AE＝BE，AO＝A'O，
∴BA'＝2OE=75，
∴A'F＝BE﹣BA'=52−75=1110，
故答案为：1110．
17．【解答】【教材呈现】
已知：如图①，直线a∥b，A、C是直线a上的两点，AB⊥a于点B，CD⊥b于点D，
求证：AB＝CD，
证明：∵AB⊥a于点B，CD⊥b于点D，
∴AB∥CD，
∵a∥b，A、C是直线a上的两点，
∴AC∥BD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AB＝CD．
【结论应用】
（1）解：如图②，∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴PQ∥CD，
设直线AB与直线PQ的距离为m，直线PQ与直线CD的距离为n，直线AB与直线CD的距离为r，
∵S△ABD=12AB•r，S△ABC=12AB•r，
∴S△ABD＝S△ABC，
∵S△ABD﹣S△ABP＝S△ABC﹣S△ABP，
∴S△APD＝S△PBC，
∵S△APQ=12PQ•m，S△BPQ=12PQ•m，
∴S△APQ＝S△BPQ，
∵S△DPQ=12PQ•n，S△CPQ=12PQ•n，
∴S△DPQ＝S△CPQ，
∴S△APQ+S△DPQ＝S△BPQ+S△CPQ＝S△PBC，
∴S△AQD＝S△APD+S△APQ+S△DPQ＝S△PBC+S△PBC＝2S△PBC，
故答案为：S△AQD＝2S△PBC．
（2）解：如图③，作AF⊥BC于点F，CE⊥AB于点E，则∠AFB＝90°，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BF＝CF=12BC=12×6＝3，
∴AF=AB2−BF2=52−32=4，
∵S△ABC=12AB•CE=12BC•AF，
∴12×5CE=12×6×4，
∴CE=245，
∵∠ADC＝90°，
∴AD⊥CD，
∵AB∥CD，
∴AD＝CE=245，
∴CD=AC2−AD2=52−(245)2=75，
∴S△BCD=12AD•CD=12×245×75=8425，
∴△BCD的面积为8425，
故答案为：8425．

18．【解答】解：（1）①如图1中，过点A作AH⊥BC于点H．

∵sinB=AHAB=45，AB＝BC＝10，
∴AH＝8，
∴BH=AB2−AH2=102−82=6，
∴CH＝BC﹣BH＝10﹣6＝4，
∴AC=AH2+CH2=82+42=45，
故答案为：45；

②当0＜t≤2时，AP＝AB﹣PB＝10﹣5t．
当2＜t≤4时，AP＝25（t﹣2）＝25t﹣45；

（2）如图1中，当t＝1时，BP＝AP，此时点E落在AC上，
观察图象可知，当1＜t＜2时，点E在△ABC内部．
如图3中，当t＝3时，AP＝PC，此时点E落在AB上，

观察图象可知当2＜t＜3时，点E在△ABC内部．
综上所述，当1＜t＜2或2＜t＜3时，点E在△ABC内部；

（3）如图2中，当AP＝PD时，四边形APDE是菱形．过点P作PJ⊥BC于点J．

在Rt△PBJ中，PB＝5t，PJ＝4t，BJ＝3t，
∴DJ＝BD﹣BJ＝5﹣3t，
∴（4t）2+（5﹣3t）2＝（10﹣5t）2，
∴t=1514．

如图4中，当AP＝PD时，四边形APDE是菱形．过点P作PT⊥BC于点T．

在Rt△PCT中，PC＝45−25（t﹣2）＝85−25t，CT＝8﹣2t，PT＝16﹣4t，
∴DT＝CD﹣CT＝5﹣（8﹣2t）＝2t﹣3
∴[25（t﹣2）]2＝（16﹣4t）2+（2t﹣3）2，
∴t=3712．
综上所述，满足条件的t的值为1514或3712．

（4）如图5中，当点P在AB上时，过2P作PK⊥BC于点K．

∵DB′⊥CB，
∴∠PDK＝∠PDB′＝45°，
∴PK＝DK＝4t，
∵BK＝3t，
∴7t＝5，
∴t=57．
如图6中，当点P在AC上时，过点P作PT⊥BC于点T．

同法可证PD＝DT＝16﹣4t，
∵CT＝8﹣2t，
∴CD＝16﹣4t+8﹣2t＝5，
∴t=196，
综上所述，满足条件的t的值为57或196．
19．【解答】解：（1）如图1，AB＝AC＝5，BC＝8，点D为BC中点，
∴BD＝CD=12BC＝4，AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴AD=AB2−BD2=52−42=3，
∴tan∠B=ADBD=34，
故答案为：34．
（2）当点P与点B重合时，则5t＝5，解得t＝1；
当点P与点C重合时，则2（t﹣1）＝8，解得t＝5，
当0＜t＜1时，如图1，BP＝5﹣5t；
当1＜t≤5时，如图3，BP＝2（t﹣1）＝2t﹣2．
（3）当0＜t＜12时，如图1，∠APD＝90°，此时平行四边形APDQ与△ABC重叠部分图形是矩形，
∵APAD=ADAB=35=cos∠BAD，
∴AP=35AD，
∴5t=35×3，
解得t=925；
当12≤t＜1时，如图2，AP＝DP，此时平行四边形APDQ与△ABC重叠部分图形是菱形，
∵∠B+∠PAD＝90°，∠PDB+∠PDA＝90°，且∠PAD＝∠PDA，
∴∠B＝∠PDB，
∴BP＝DP，
∴AP＝BP=12AB，
∴5t=12×5，
解得t=12，
当1＜t＜3时，如图3，PC＝AC，此时平行四边形APDQ与△ABC重叠部分图形是轴对称图形，
∴8﹣2（t﹣1）＝5
解得t=52；
当3＜t≤5时，如图4，PB＝AB，此时平行四边形APDQ与△ABC重叠部分图形是轴对称图形，
∴2（t﹣1）＝5，
∴t=72，
综上所述，t的值为925或12或52或72．
（4）如图5，点P在AB边上，设DQ交AC于点R，作AE⊥DQ于点E，
∵S△AQRS平行四边形APDR=17，
∴S△AQR=18S四边形APDQ，
∴12QR•AE=18DQ•AE，
∴QR=14DQ，
∴DR=34DQ=34AP=34×5t=154t，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴∠CAD＝∠BAD，
即∠RAD＝∠PAD，
∵DQ∥AP，
∴∠RDA＝∠PAD，
∴∠RAD＝∠RDA，
∵∠C+∠RAD＝90°，∠RDC+∠RDA＝90°，
∴∠C＝∠RDC，
∴DR＝AR＝CR=12AC，
∴154t=12×5，
解得t=23；
如图3、图4，点P在BC边上，此时BC将平行四边形APDQ分成面积相等的两部分，
∴不存在符合条件的情况，
综上所述，t的值为23．





20．【解答】解：（1）在正方形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝90°，
在Rt△ABD中，BD=2AB＝42，
∵点E与点D重合，
∴BE＝BD＝42，
故答案为：42；
（2）如图，过点F作FM⊥AD，交AD的延长线于点M，

∵DE＝1，AD＝4，
∴AE＝3，
在Rt△ABE中，AB＝4，
∴BE＝5，
∵EF＝5，
∴BE＝EF，
∵∠A＝∠BEF＝∠M＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠MEF＝90°，即∠ABE＝∠MEF，
∴△ABE≌△MEF（AAS），
∴MF＝AE＝3，
即点F到直线AD的距离为3；
（3）分三种情况讨论：
①如图，当点F落在AD的延长线上时，
则S矩形BEFG＝AB×EF＝4×5＝20；

②如图，当点F落在BC的延长线上时，过点E作EH⊥BC于点H，

∴EH＝AB＝4，∠EHF＝∠G＝90°，
在Rt△EHF中，EF＝5，
∴HF＝3，
∵EF∥BG，
∴∠EFH＝∠FBG，
∴△EHF∽△FGB，
∴EHFG=HFBG，
∵BG＝EF＝5，
∴4FG=35，
∴FG=203，
∴S矩形BEFG＝FG×EF=203×5=1003；
③如图，当点G落在DC延长线上时，

∵∠A＝∠BCG＝90°，
∠ABE＝90°﹣∠EBC＝∠GBC，
∵AB＝BC，
∴△ABE≌△CBG（AAS），
∴BE＝BG＝5，
∴S矩形BEFG＝BE×BG＝52＝25．
综上，矩形BEFG的面积为20或1003或25．
21．【解答】解：（1）如图1中，过点P作PH⊥AB于点H．

在Rt△APH中．PH＝AP•sin60°＝x×32=32x（cm），
故答案为：32x；

（2）如图2中，

∵∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD＝DA＝DB，
∵∠A＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠PCE＝60°，
∵四边形APEQ是平行四边形，
∴PE∥AQ，PE＝AQ＝2x（cm），
∴∠CPE＝∠A＝60°，
∴△PCE是等边三角形，
∴PC＝PE＝2x（cm），
∴x+2x＝2，
∴x=23．

（3）①当0＜x＜23时，重叠部分是平行四边形APEQ（如图1），此时y＝2x×32x=3x2．
②如图3中，当23＜x＜1时，重叠部分是五边形APKJQ，此时y=3x2−34×（3x﹣2）2=−534x2+33x−3．

③如图4中，当1≤x＜2时，重叠部分是四边形APKD，此时y＝S△ACD﹣S△PCK=34×22−34×（2﹣x）2=334x2+3x−3．

综上所述，y=3x2(0＜x＜23)−534x2+33x−3(23≤x＜1)334x2+3x−3(1＜x＜2)．

（4）设PQ交CD于点M．
如图5中，当DM=13CD时，

∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝4，
∵AD＝DB，
∴CD＝2，
∴CM=23CD=43，
∵AQ＝2AP，
∴∠APQ＝90°，
∴∠CPM＝90°，
∵∠PCM＝60°，
∴CP＝CM•cos60°=23，
∴x＝AP＝AC＝CP＝2−23=43．
如图6中，当CM=13CD=23时，同法可得CP=12CM=13，
∴x＝AP＝AC﹣CP＝2−13=53．

综上所述，满足条件的x的值为43或13．
22．【解答】解：（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵CD是斜边AB上的中线，AB＝a，
∴CD=12AB=12a．
（2）四边形ADFC是菱形．
理由如下：
如图②∵DF⊥BC于点G，
∴∠DGB＝∠ACB＝90°，
∴DF∥AC；
由折叠得，DF＝DB，
∵DB=12AB，
∴DF=12AB；
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴AC=12AB，
∴DF＝AC，
∴四边形ADFC是平行四边形；
∵AD=12AB，
∴AD＝DF，
∴四边形ADFC是菱形．
（3）如图③，点F与点D在直线CE异侧，
∵DF⊥AB，
∴∠BDF＝90°；
由折叠得，∠BDE＝∠FDE，
∴∠BDE＝∠FDE=12∠BDF=12×90°＝45°；
如图④，点F与点D在直线CE同侧，
∵DF⊥AB，
∴∠BDF＝90°，
∴∠BDE+∠FDE＝360°﹣90°＝270°，
由折叠得，∠BDE＝∠FDE，
∴∠BDE+∠BDE＝270°，
∴∠BDE＝135°．
综上所述，∠BDE＝45°或∠BDE＝135°．



23．【解答】解：（1）如图，

在Rt△PDQ中，AD=3cm，∠PQD＝60°，
∴tan60°=ADDQ=3，
∴DQ=33AD＝1cm．
（2）点P在AB上运动时间为3÷1＝3（s），
∴点P在BC上时PB=3（x﹣3）．
（3）当0≤x≤3时，点P在AB上，作PM⊥CD于点M，PQ交AB于点E，作EN⊥CD于点N，

同（1）可得MQ=33AD＝1cm．
∴DQ＝DM+MQ＝AP+MQ＝（x+1）cm，
当x+1＝3时x＝2，
∴0≤x≤2时，点Q在DC上，
∵tan∠BDC=BCCD=33，
∴∠DBC＝30°，
∵∠PQD＝60°，
∴∠DEQ＝90°．
∵sin30°=EQDQ=12，
∴EQ=12DQ=x+12，
∵sin60°=ENEQ=32，
∴EN=32EQ=34（x+1）cm，
∴y=12DQ•EN=12（x+1）×34（x+1）=38（x+1）2=38x2+34x+38（0≤x≤2）．
当2＜x≤3时，点Q在DC延长线上，PQ交BC于点F，如图，


∵CQ＝DQ﹣DC＝x+1﹣3＝x﹣2，tan60°=CFCQ，
∴CF＝CQ•tan60°=3（x﹣2）cm，
∴S△CQF=12CQ•CF=12（x﹣2）×3（x﹣2）＝（32x2﹣23x+23） cm2，
∴y＝S△DEQ﹣S△CQF=38x2+34x+38−（32x2﹣23x+23）＝（−338x2+934x−1538） cm2（2＜x≤3）．
当3＜x≤4时，点P在BC上，如图，

∵CP＝CB﹣BP=3−3（x﹣3）＝（43−3x） cm，
∴y=12DC•CP=12×3（43−3x）＝63−332x（3＜x≤4）．
综上所述，y=38x2+34x+38(0≤x≤2)−338x2+934x−1538(2＜x≤3)63−332x(3＜x≤4)
24．【解答】操作一：
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝∠BAD＝90°，
由折叠的性质得：∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，
∴∠MAE+∠MAF＝∠BAE+∠DAF=12∠BAD＝45°，
即∠EAF＝45°，
故答案为：45；
操作二：
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
由折叠的性质得：∠NFE＝∠CFE，∠ENF＝∠C＝90°，∠AFD＝∠AFM，
∴∠ANF＝180°﹣90°＝90°，
由操作一得：∠EAF＝45°，
∴△ANF是等腰直角三角形，
∴∠AFN＝45°，
∴∠AFD＝∠AFM＝45°+∠NFE，
∴2（45°+∠NFE）+∠CFE＝180°，
∴∠NFE＝∠CFE＝30°，
∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，
故答案为：60；
（1）证明：∵△ANF是等腰直角三角形，
∴AN＝FN，
∵∠AMF＝∠ANF＝90°，∠APN＝∠FPM，
∴∠NAP＝∠NFE＝30°，
在△ANP和△FNE中，
∠ANP=∠FNE=90°AN=FN∠NAP=∠NFE，
∴△ANP≌△FNE（ASA）；
（2）由（1）得：△ANP≌△FNE，
∴AP＝FE，PN＝EN，
∵∠NFE＝∠CFE＝30°，∠ENF＝∠C＝90°，
∴∠NEF＝∠CEF＝60°，
∴∠AEB＝60°，
∵∠B＝90°，
∴∠BAE＝30°，
∴BE=33AB＝1，
∴AE＝2BE＝2，
设PN＝EN＝a，
∵∠ANP＝90°，∠NAP＝30°，
∴AN=3PN=3a，AP＝2PN＝2a，
∵AN+EN＝AE，
∴3a+a＝2，
解得：a=3−1，
∴AP＝2a＝23−2，
故答案为：23−2．
25．【解答】（1）证明：如图①中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADA′＝90°，
由翻折可知，∠DA′E＝∠A＝90°，
∴∠A＝∠ADA′＝∠DA′E＝90°，
∴四边形AEA′D是矩形，
∵DA＝DA′，
∴四边形AEA′D是正方形．

（2）解：结论：△PQF是等腰三角形．
理由：如图②中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠QFP＝∠APF，
由翻折可知，∠APF＝∠FPQ，
∴∠QFP＝∠FPQ，
∴QF＝QP，
∴△PFQ是等腰三角形．

（3）如图③中，

∵四边形PGQF是菱形，
∴PG＝GQ＝FQ＝PF，
∵QF＝QP，
∴△PFQ，△PGQ都是等边三角形，设QF＝m，
∵∠FQP＝60°，∠PQD′＝90°，
∴∠DQD′＝30°，
∵∠D′＝90°，
∴FD′＝DF=12FQ=12m，QD′=3D′F=32m，
由翻折可知，AD＝QD′=32m，PQ＝CQ＝FQ＝m，
∴AB＝CD＝DF+FQ+CQ=52m，
∴ADAB=32m52m=35．
故答案为35．
26．【解答】解：【探究】∵四边形ABCD和AEFG都是平行四边形，
∴AE∥GF，DC∥AB，
∴四边形AGHD是平行四边形，
∵AD＝AG，
∴四边形AGHD是菱形；
【操作一】根据题意得，这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为：
ME+EF+MC+AD+DM+AM+AG+GN+AN+BN+BC+NF＝（ME+AM+AG+EF+NF+GN）+（AD+BC+DM+MC+AN+BN）＝2（AE+AG）+2（AB+AD）＝2×（9+5）+2×（9+5）＝56，

故答案为：56；
【操作二】由题意知，AD＝AG＝5，∠DAB＝∠BAG，
又AM＝AM，
∴△AMD≌△AMG（SAS），
∴DM＝GM，∠AMD＝∠AMG，
∵∠AMD+∠AMG＝180°，
∴∠AMD＝∠AMG＝90°，
∵sin∠BAD=45，
∴DMAD=45，
∴DM=45AD＝4，
∴DG＝8，
∵四边形ABCD和四边形AEFG是平行四边形，
∴DC∥AB∥GF，DC＝AB＝GF＝9，
∴四边形CDGF是平行四边形，
∵∠AMD＝90°，
∴∠CDG＝∠AMD＝90°，
∴四边形CDGF是矩形，
∴S矩形DCFG＝DG•DC＝8×9＝72，

故答案为：72．