数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示优质课件ppt

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向量是近代数学重要的概念之一，它是沟通代数，几何，三角函数的一种工具 向量的工具作用决定它的双重属性即代数属性和几何属性代数属性体现在运算上，是向量的可度量性，如向量的加减运算，数乘，数量积运算;向量的几何属性则体现在它具体形象地对于客观世界的陈述优势，我们能清楚的领略向量的加法，减法，数乘所产生的变化，能体悟向量数量积的物理意义.它的双重属性体现了数形结合的思想.
根据a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数b，使b=λa; 或运用向量共线的坐标表达式: a=(x1,y1)与b=(x2,y2)共线<=>x1y2-x2y1=0来解决问题.
1.有关向量共线的问题
例题1:若a与b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同，则实数t为何值时，a, tb,(1/3)((a+b)三向量的终点在同一直线上?
分析:首先根据向量的三角形法则表示出在这同一直线上的任意两向量，然后运用向量共线的条件去解决.
解:由题设易知，存在唯一实数λ,使a-tb=λ{a-((1/3)((a+b)} 化简得{(2/3)λ-1}=（λ/3-t）b 因为a与b不共线，所以
即t=1/2时，三向量的终点共线.
例题2:已知a=(1,2), b=(-3,2)， 若ka+ 2b与2a-4b平行，求实数k的值.
解法1:因为ka + 2b与2a-4b平行，则存在唯一实数λ,使 ka+ 2b= λ(2a- 4b).因为ka+ 2b=k(1,2)+2( -3,2)=(k-6,2k+4), 2a- 4b=2(1, 2)-4(-3,2)=(14, -4)所以(k -6, 2k +4)=λ2(14,-4)所以
解法2： 因为ka +2b= k(1,2)+2( -3,2)=(k-6, 2k +4) 2a -4b=2(1, 2)-4( -3,2)=(14,-4) 又因为ka + 2b与2a-4b平行 (k-6)×（-4）-( 2k +4)×14=0 解得k=-1.
解法一依据: a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数使b=λa. 解法二依据:向量共线的坐标表达式，若a=(x1,y1)与b=(x2,y2)共线<=>x1y2-x2y1=0.
2.有关向量模的问题与向量模有关的公式
a∙a=a^2=|a|^2设a=(x,y),|a|^2=x^2+y^2 若A(x1，y1), B(x2，y2)则|AB|^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2;||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|; a∙b= |a||b|csӨ, (Ө为向量a与b的夹角).
例3:已知|a|=3,b|=4, 求|a- b|的范围.
分析:本题考查向量的模，要求同学们熟练掌握研究向量模的方法.
解法1:因为||a|-b||≤|a-b|≤|a|+|b|, 所以l≤la-b|≤7. |a- b|的范围是[1,7].
解法2:因为|a-b|^2 =a^2+b^2-2a∙b = a2 +b2 - 2|a|b|csӨ=25-24csӨ Ө为两向量a、b的夹角，所以Ө∈[0,π],所以|a-b|^2∈[1,49],所以|a- b|∈[1,7].
解法一:利用了不等式||a|-b||≤|a±b|≤|a|+b|求解取值范围。解法二:利用函数思想解决取值范围问题，此题是利用了余弦函数在给定区间上的值域解决取值范围问题.
3 .有关利用向量求解垂直和夹角的问题
已知非零向量a=(x1，y1),b=(x2，y2),则 a⊥b<=>a∙b=0<=>x1x2+y1y2=0;
例4:非零向量(a+b)与(2a-b)互相垂直， 且(a-2b)与(2a+b)互相垂直，求向量a与b的夹角的余弦值.
解:因为(a+b)与(2a- b)互相垂直，且(a- 2b)与(2a+b)互相垂直，所以
解得a^2=(5/8)b^2，所以|a|^2=(5/8)|b|^2所以a∙b=b^2-2a^2=|b|^2-2|a|^2=(-1/4) |b|^2
1.复习了平面向量知识的网络，加深了平面向量基础知识的理解;2.讲解了平面向量知识的典型问题，如向量的有关概念与运算，向量与三角函数的综合问题，向量运算的几何意义与平面几何相关问题; 3.对平面向量知识的应用中，要重视转化与化归，数形结合，数学运算能力的锤炼.
已知向量a、b均为非零向量，当|a+tb|取最小值时,(1)求t的值; (2)求证:b与a+tb垂直.