高中6.4 平面向量的应用评优课课件ppt

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余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式 a^2 =b^2 +c^2 – 2bccsA
如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢?
在△ABC中，设A的对边为a，B的对边为b， 求A,B,a,b之间的定量关系.
在△ABC中，已知A，B，a，求b.
我们从熟悉的直角三角形的边、角关系的分析入手. 根据锐角三角函数，在RtΔABC中， 有sinA=a/c，sinB =b/c
显然，上述两个关系式在一般三角形中不成立.观察发现，它们有一个共同元素c，利用它把两个式子联系起来，
又因为sinC=sin90°=1，所以，上式可以写成边与它的对角的正弦的比相等的形式
对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是否仍然成立?
如图，在锐角△ABC中CD=a∙sinB=b∙sin A,
钝角三角形中，请同学们课下给出证明.
我们换个角度来思考，因为涉及三角形的边、角关系，所以仍然采用向量方法来研究. 我们希望获得△ABC中的边a,b,c与它们所对角A,B, C的正弦之间的关系式.在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来探究. 向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦，如何实现转化?
由诱导公式cs(（π/2）-a)=sina可知，我们可以通过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系，下面先研究锐角三角形的情形.
如图，在锐角△ABC中，过点A作与AC垂直的单位向量j，则j与 AB的夹角为（π/2）-A，j与CB的夹角为（π/2）-C
因为AC+CB=AB，所以j∙(AC+CB)= j∙AB. 所以j∙AC+ j∙CB= j∙AB. 所以|j||AC|cs(π/2)+ |j||CB|cs（（π/2）-C）=|j||AB|cs（（π/2）-A） 整理得a∙sinC = c∙sinA.
同理，过点C作与CB垂直的单位向量m，
当△ABC是钝角三角形时，不妨设A为钝角，如图.过点A作与AC垂直的单位向量j,则 j与AB的 夹角为A-（π/2），j与CB的夹角为（π/2）-C 仿照上述方法，同样可得
这个公式表达形式的统一性、对称性，不仅使结果更和谐优美，而且更突显了三角形边角关系的本质、 以上我们利用向量方法获得了正弦定理，事实上，探索和证明正弦定理的方法很多，有些方法甚至比上述方法更加简洁，你还能想到其他方法吗?
作用一:已知两边及一边所对的角，求角; 如图，利用
作用二:已知两角及一边，求边. 先利用三角形内角和等于180° ,求出C.
分析: 画出示意图. 标出已知条件. 根据问题与条件，设计解题思路，选择运算公式.
解:由三角形内角和定理， 得C=180°-(A+ B)= 180°-(15° +45 °)= 120°  由正弦定理
2.正弦定理的特点，并分析了正弦定理的基本作用.3.正弦定理推导的过程
必做题;1.在利用直角三角形证明正弦定理过程中，完成钝角三角形的证明过程. 2.在利用向量数量积推导正弦定理过程中，请补充钝角三角形的完整证明过程.