课题

《复数的三角表示》

教学目标

1.  知识目标

了解复数乘法运算的三角表示，了解复数除法运算的三角表示，能说出复数乘、除运算的三角表示及几何意义，会利用复数乘、除运算的三角表示及几何意义解决简单的问题，在利用复数乘、除运算的三角表示及几何意义解决问题的过程中，感受数形结合思想方法.

2.   能力目标

通过对复数乘法以及除法运算的三角表示的学习，培养学生数形结合能力，发展学生数学运算的核心素养

3.   情感目标

通过对复数乘法以及除法运算的三角表示的学习，体验探究学习数学知识的过程，从而增强探究问题的意识

教学重点

复数乘、除运算的三角表示及几何意义

教学难点

利用复数乘、除运算的三角表示及几何意义解决问题.

教学准备

教师准备：多媒体课件、学情分析

学生准备：复数乘法、除法巩固

教学过程

一、新课导入

前面，我们研究了复数代数形式的乘、除运算.
z1z2 =(a+bi)(c +di)= (ac - bd)+ (ad + bc)i

复数的三角表示:
z=a+bi= r(cosθ +isin θ)
r=|z|=
θ表示复数z=a+bi的辐角.
下面我们利用复数的三角表示研究复数的乘、除运算及其几何意义.

二、探究学习

思考:如果把复z1,z2分别写成三角形式z1 =r(cosθ + isinθ),z2 =r2(cosO2 +isinO2)，你能计算z1z2并将结果表示成三角形式吗?
根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到

z1z2 = r1(cosθ1 + isinθ1)∙r2(cosθ2 + isinθ2)
= r1r2(cosθ1 + isinθ1)(cosθ2 + isinθ2)
= r1r2[(cosθ1 cosθ2 - sinθ1 sinθ2) + i(sinθ1cosθ2 + cosθ1 sinθ2)]

= r1r2[cos(θ1 +θ2)+isin(θ +θ1)],
即r(cosθ1 + isinθ1)∙r2(cosθ2 + isinθ2)= r1r2 [cos(θ1 +θ2)+ isin(θ1+θ2)]

这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
 

探究:由复数乘法运算的三角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗?
两个复数z1,z2相乘时，可以像右图那样，先分别画出与z1,z2对应的向量OZ1,OZ2，然后把向量OZ1绕点O按逆时针方向旋转角θ2 (如果θ2<0，就把OZ1绕点O按顺时针方向旋转角θ2)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量OZ，OZ表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义.
 

你能解释i^2=-1的几何意义吗?
因为i=cos（π/2）+ isin（π/2）
所以记i^2= (cos（π/2） + isin（π/2）
=cos(（π/2）+（π/2）)+  isin（（π/2）+ （π/2））
= cosπ+isinπ=-l .

复数的除法运算是乘法运算的逆运算.根据复数乘法运算的三角表示，你能得出复数的除法运算的三角表示吗?
设z1 =r(cosθ1 +isinθ1)，z2 =2(cosθ2 +isinθ2)，且z1≠z2,

计算z1/z2=?
只z2∙?=z1
也就是r2(cosθ2 + isinθ2).?= r1(cosθ1 + isinθ1)
r2(cosθ2 + isinθ2)∙(r1/r2)[cos( θ1- θ2)+ isin(θ1 - θ2)]= r1(cosθ1+ isinθ1)
所以根据复数除法的定义，有


这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.

三、巩固提升

例如图，向量OZ对应的复数为1+i,把OZ绕点O按逆时针方向旋转120°，得到OM,求向量OM对应的复数(用代数形式表示).

分析:根据复数乘法的几何意义，向量OM对应的复数是复数1+i与z的积，其中复数z的模是1，辐角的主值是120°
解:向量OM对应的复数为
(l+ i)(cosl20°+isin 120°)
=(1+i)(-1/2+ (√3/2)i)
=(-1-√3)/2+i(√3-1)/2
本题小结:
(1) 考查复数的乘法运算的三角表示;(2)理解复数乘法运算的几何意义.

四、课堂小结

1.复数乘法的三角表示及几何意义

(1) z1z2 == r1r2 [cos(θ1 +θ2)+ isin(θ1+θ2)]
(2) 两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
(3) 复数乘法的几何意义
2.复数除法的三角表示及几何意义

(2) 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.

课后作业

在复平面内，把与复数3-√3i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转60°，求与所得向量对应的复数(用代数形式表示).

板书设计

复数的三角表示

复习巩固

探究学习

巩固提升

课堂小结