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人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行教学设计
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行教学设计，共8页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程，课外作业等内容，欢迎下载使用。
一、教学目标
1.理解基本事实4，会用基本事实4证明线线平行；
2.掌握等角定理及其证明方法，能用等角定理求角度。
二、教学重难点
1.基本事实四，等角定理
2.利用基本事实4证明线线平行
三、教学过程
1.情境引入
1.1创设情境，引发思考
【实际情境】在长方体 中，，那么与平行吗？观察你所在的教室，你能找到实例吗？实际生活中还有没有这样的实例呢？
问题1：在平面中平行线具有传递性，这个性质在空间中是否仍然成立？
【预设的答案】仍然成立
【设计意图】本节课的内容就是平面图形中的两个结论推广到空间图形中，平面图形的性质不一定能全部推广立体图形，一般来说，要把平面图形的结论推广到空间，要经过证明.
问题2：在平面内，一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则两个角相等或互补，在空间中，这一结论是否还成立呢？
【活动预设】引导学生从已知到未知，由平面上的问题思考空间中的问题。
1.2探究典例，形成概念
【平行直线】基本事实4 平行于同一条直线的两条直线相互平行。
可以用符号语言表示为，若，则
基本事实4表述的性质通常称为空间中平行线的传递性。
【设计意图】创设数学情境，生活中的实例，让学生体会到平行关系在空间中也具有传递性，从而很自然的得出基本事实4。.
【等角定理】当空间中的两个角的对应边分别平行时，两个角有如图所示的两种位置关系
对于图（1）可以构造两个三角形，通过三角形全等来证明
教师讲授：如下图，分别在和的两边上截取和，使得，连接
且
四边形是平行四边形，
且
同理可证且
四边形是平行四边形
【设计意图】证明空间中的等角定理，培养学生数学思维的严谨性.
【等角定理】空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补
特别说明：若两个角的两边分别平行且方向相同，则两个角相等；如果两边分别平行，且一边方向相同，另一边方向相反，则这两个角互补。
1.3具体感知，理性分析
例1、已知是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，分别是的中点，连接，求证四边形是一个平行四边形。
思考：在例1中，如果再加上，那么四边形是什么图形？
【设计意图】
基本事实4的一个简单应用，考察学生的空间想象能力和空间中平行线传递性的理解.
练习 如图，四边形ABEF和四边形ABCD都是直角梯形，且，且，分别为的中点。
证明：四边形BCHG是平行四边形。
C，D，F，E四点是否共面？为什么？
2.初步应用，理解概念
1 下列结论中正确的是（ ）
在空间中，若两条直线不平行，则它们一定相交；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它和另一条也相交；④空间中有四条直线，若，且，那么。
A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③
【预设的答案】B
【设计意图】通过概念辨析，进一步理解空间中直线的位置关系
2 如图，在三棱锥中，分别是线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
【预设的答案】C
【设计意图】
（1）进一步加深对基本事实4的理解；
（2）会判断平面外一点和平面内一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
3．已知，，则（ ）
【预设的答案】B
【设计意图】在解题中加深对等角定理的理解，形成解题的基本思路.
4．如图所示，在长方体中，与交于点，分别是的中点，则长方体各棱中与平行的有（ ）
A．三条 B．四条 C．五条 D．六条
【预设的答案】B
【设计意图】强调空间中平行线的传递性的应用。.
3.归纳小结，文化渗透
本节课的重点内容：
基本事实4 平行于同一条直线的两条直线相互平行。
可以用符号语言表示为，若，则
等角定理 如果空间中的两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补。
作用：判断两个角相等或互补。
【设计意图】
梳理本节课的两个重点内容，理解平面图形的有关结论推广到空间图形，必须经过证明；
求证两直线平行，目前有两种途径：一是应用基本事实4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点．
求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．
证明线线平行的常用方法：(1)利用三角形、梯形中位线的性质．(2)利用平行四边形的性质．(3)利用平行线分线段成比例定理．(4)利用基本事实4.
（5）进行数学文化渗透，进一步体会数学逻辑的严谨性以及数学在实际生活中的应用 .
四、课外作业
1．如图，三棱柱中，，，分别为，，的中点.求证：.
2．长方体中，分别为棱的中点.
（1）求证：；
（2）求证：.
3．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点.
求证：（1）四边形是梯形；
（2）∠DNM＝∠D1A1C1.
解答：
1． 证明：因为，分别是，的中点，所以，
所以四边形为平行四边形，所以.
同理可证，
又与方向相同，所以.
2．证明：（1）如图，取的中点，连接.
在矩形中，易得，
因为，，所以，
所以四边形为平行四边形，所以.
在矩形中，易得，.
所以四边形为平行四边形，
所以，所以.
（2）因为，，
又与的对应边方向相同，
所以.
3． （1）连接，
因为M，N分别是棱CD、AD的中点，所以，，
又因为且，所以四边形为平行四边形，
所以，且，
所以且，
所以四边形是梯形.
（2）由（1）知，又根据正方体的性质可知，，且与的方向相同，
所以根据等角定理可得.
一、教学目标
1.理解基本事实4，会用基本事实4证明线线平行；
2.掌握等角定理及其证明方法，能用等角定理求角度。
二、教学重难点
1.基本事实四，等角定理
2.利用基本事实4证明线线平行
三、教学过程
1.情境引入
1.1创设情境，引发思考
【实际情境】在长方体 中，，那么与平行吗？观察你所在的教室，你能找到实例吗？实际生活中还有没有这样的实例呢？
问题1：在平面中平行线具有传递性，这个性质在空间中是否仍然成立？
【预设的答案】仍然成立
【设计意图】本节课的内容就是平面图形中的两个结论推广到空间图形中，平面图形的性质不一定能全部推广立体图形，一般来说，要把平面图形的结论推广到空间，要经过证明.
问题2：在平面内，一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则两个角相等或互补，在空间中，这一结论是否还成立呢？
【活动预设】引导学生从已知到未知，由平面上的问题思考空间中的问题。
1.2探究典例，形成概念
【平行直线】基本事实4 平行于同一条直线的两条直线相互平行。
可以用符号语言表示为，若，则
基本事实4表述的性质通常称为空间中平行线的传递性。
【设计意图】创设数学情境，生活中的实例，让学生体会到平行关系在空间中也具有传递性，从而很自然的得出基本事实4。.
【等角定理】当空间中的两个角的对应边分别平行时，两个角有如图所示的两种位置关系
对于图（1）可以构造两个三角形，通过三角形全等来证明
教师讲授：如下图，分别在和的两边上截取和，使得，连接
且
四边形是平行四边形，
且
同理可证且
四边形是平行四边形
【设计意图】证明空间中的等角定理，培养学生数学思维的严谨性.
【等角定理】空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补
特别说明：若两个角的两边分别平行且方向相同，则两个角相等；如果两边分别平行，且一边方向相同，另一边方向相反，则这两个角互补。
1.3具体感知，理性分析
例1、已知是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，分别是的中点，连接，求证四边形是一个平行四边形。
思考：在例1中，如果再加上，那么四边形是什么图形？
【设计意图】
基本事实4的一个简单应用，考察学生的空间想象能力和空间中平行线传递性的理解.
练习 如图，四边形ABEF和四边形ABCD都是直角梯形，且，且，分别为的中点。
证明：四边形BCHG是平行四边形。
C，D，F，E四点是否共面？为什么？
2.初步应用，理解概念
1 下列结论中正确的是（ ）
在空间中，若两条直线不平行，则它们一定相交；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它和另一条也相交；④空间中有四条直线，若，且，那么。
A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③
【预设的答案】B
【设计意图】通过概念辨析，进一步理解空间中直线的位置关系
2 如图，在三棱锥中，分别是线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
【预设的答案】C
【设计意图】
（1）进一步加深对基本事实4的理解；
（2）会判断平面外一点和平面内一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
3．已知，，则（ ）
【预设的答案】B
【设计意图】在解题中加深对等角定理的理解，形成解题的基本思路.
4．如图所示，在长方体中，与交于点，分别是的中点，则长方体各棱中与平行的有（ ）
A．三条 B．四条 C．五条 D．六条
【预设的答案】B
【设计意图】强调空间中平行线的传递性的应用。.
3.归纳小结，文化渗透
本节课的重点内容：
基本事实4 平行于同一条直线的两条直线相互平行。
可以用符号语言表示为，若，则
等角定理 如果空间中的两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补。
作用：判断两个角相等或互补。
【设计意图】
梳理本节课的两个重点内容，理解平面图形的有关结论推广到空间图形，必须经过证明；
求证两直线平行，目前有两种途径：一是应用基本事实4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点．
求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．
证明线线平行的常用方法：(1)利用三角形、梯形中位线的性质．(2)利用平行四边形的性质．(3)利用平行线分线段成比例定理．(4)利用基本事实4.
（5）进行数学文化渗透，进一步体会数学逻辑的严谨性以及数学在实际生活中的应用 .
四、课外作业
1．如图，三棱柱中，，，分别为，，的中点.求证：.
2．长方体中，分别为棱的中点.
（1）求证：；
（2）求证：.
3．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点.
求证：（1）四边形是梯形；
（2）∠DNM＝∠D1A1C1.
解答：
1． 证明：因为，分别是，的中点，所以，
所以四边形为平行四边形，所以.
同理可证，
又与方向相同，所以.
2．证明：（1）如图，取的中点，连接.
在矩形中，易得，
因为，，所以，
所以四边形为平行四边形，所以.
在矩形中，易得，.
所以四边形为平行四边形，
所以，所以.
（2）因为，，
又与的对应边方向相同，
所以.
3． （1）连接，
因为M，N分别是棱CD、AD的中点，所以，，
又因为且，所以四边形为平行四边形，
所以，且，
所以且，
所以四边形是梯形.
（2）由（1）知，又根据正方体的性质可知，，且与的方向相同，
所以根据等角定理可得.
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