人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用教案设计

 6.4.2 向量在物理中的应用举例

(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第六章)

一、教学目标

1.知识与技能目标：让学生感受物理问题与数学模型的关联，能够把物理问题转换为数学问题，并用向量知识处理问题。

2.过程与方法目标：让学会体会抽象化问题的过程，培养学生数学建模的素养，提高学生从向量角度分析和解决实际问题的能力。

3情感，态度与价值观目标：让学生领略自然界的和谐奇妙，激发学生的求知欲，养成热爱科学的意识。在运用数学知识和方法解决问题的过程中，认识数学的价值。

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二、教学重难点

1.熟悉并掌握用向量方法解决实际问题的方法与步骤。

2.如何将实际问题转化为向量问题，并证明。

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三、教学过程

1.创设情境，引发思考

【实际情境】教材在之前介绍了向量符号的进化史，这里引用之前的数学史，再次为同学们介绍向量符号的改革。从著名的牛顿到学生中相对了解较少的汉密尔顿，可以同时帮助同学们复习向量的符号，巩固基础。

【设计意图】向量不是凭空提出的，向量的提出和发展是与物理学家紧密联系的。物理学家在实际生活中发现了大量需要用向量解决的问题，从而引导了向量的发展。通过这些物理学家和数学家的故事，为同学们展示数学中有趣的一面。

问题1：同学们可以看出，物理学中有着大量需要向量的情景，思考一下，既带有方向，又带有大小的物理量，同学们第一时间能够想到什么？

【设计意图】前面一系列的引入物理学家的例子都是为了让同学们产生关于物理问题中向量的联想，由学生提出问题，让学生主导课堂。

【预设的答案】力和速度

2.探究典例，形成概念

【活动预设】

解决例一：小明做引体向上十分费力，可是他把两个手臂靠近后，发现变得更加轻松了。请从数学的角度解释这个现象。

【设计意图】一个非常有趣并且难度不高的力学问题，也是许多同学在生活中实际遇到的问题，带动课堂氛围。

教师讲授：同学们先进行受力分析，为了便于计算，我们假设两手的拉力相同并且以身体为中心相同的角度展开。

【设计意图】

解决问题的第一步，也是学生们最容易遇到问题的一步，建立该实际问题对应的数学模型。在这个环节中，同学们会有许多不同的意见和顾虑，教师在这个环节需要适当的指引，如何建立模型，使用条件，简化条件是一个很重要的数学技能。

问题2：根据受力分析列出力的平衡方程，并解决问题。

【预设的答案】

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教师讲授：根据我们的平衡方程，同学们现在可以开始解决问题了：为何双手靠近会让引体向上更轻松。

【设计意图】从建模到用数学知识解决问题，已经到了第二个关键过程，教师的提醒让学生们转回到数学问题本身上。

问题3：分析角度变化对拉力的影响。

【预设的答案】两手靠近，角度变小，根据三角函数的单调性，拉力会变小。

【活动预设】

解决例二：

【设计意图】

第一个问题中使用了力的模型，第二个问题继续展开，带来常见的速度路程模型，并提出两个相关的问题，让同学们进一步感受向量的特点。

问题4：第一个问题中的最快到达对岸是什么意思？

【设计意图】

很多时候解释数学的原理需要找到合适的语言去描述，这个问题需要学生们将心中的逻辑，理解用正确的语言表达出来。在这一个章节，学生不仅需要学会根据物理问题建立数学模型，也需要用物理现象说明数学结论。

【预设的答案】

要最快达到对岸，必须船头朝着正对岸行驶。

问题5：此时的航程是什么方向？

【设计意图】再度考察数学和物理的联系，一个物理量到底如何用找到正确的数学的语言去描述。

【预设的答案】

航程指的是实际行驶的路线，也就是和速度的方向。

【活动预设】

让同学们以讨论第一问的基础，讨论并解决第二问。

【预设的答案】

有了第一问的经验，第二问中的题目目标也变得明朗了起来，这个环节可以交给学生做主，让学生们感受利用数学方法解决实际问题的成就感。

3.课堂总结，主次分明

【设计意图】一堂课进行完后，再带领同学们总结这节课的内容，两个重点：1.将物理文体抽象化成数学模型；2.利用数学知识解决问题。

4.课后作业，巩固知识

【设计意图】课后作业直接选取教材后的习题，教材后的习题情景化做得十分好，很贴近生活，与例题的模式比较相近，主要锻炼学生的数学建模能力。