高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示教案

6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示教学设计

(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第六章)

一、教学目标

1. 掌握向量数乘运算坐标表示，提要相应的数学抽象和数学运算核心素养。

2. 理解并掌握平面向量共线的坐标表示的充要条件，会根据向量的坐标，判断向量是否共线，三点是否共线，从而提高逻辑推理核心素养以及等价转化的能力。

3.掌握平面上线段的中点坐标公式并会推导定比分点坐标公式，能把向量作为工具，用代数的方法解决一些几何问题。

二、教学重难点

1.教学重点：平面向量数乘运算的坐标表示，向量共线的充要条件的推导以及三点共线的坐标表示。

2.教学难点：用向量呈现几何问题，定比分点公式推导。

三、教学过程

1.复习回顾，温故知新

问题1：上节课我们学习了平面向量加减法的坐标表示已知，则 的坐标是什么？已知A,B两点的坐标，如何求的坐标？

【答案】

【设计意图】通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立新旧知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

2．探索新知

问题2：除了向量的加减法运算外，我们还学习了向量的数乘运算，如何用坐标表示向量的数乘运算呢？已知 ，你能得到的坐标吗？

中的相当于是倍数，倍数在坐标中相当于是横坐标和纵坐标的倍数.

【答案】因为，所以即。

结论：这就是说，实数与向量的积的坐标等用这个实数乘以原来向量的相应坐标.

【设计意图】：让学生回顾向量坐标的定义，并巩固向量数乘的运算律。

例1.        已知的坐标。

解：

【设计意图】通过例题让学生进一步识记向量加、减法、数乘的坐标运算，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

问题3：探究：设，若向量共线（其中），则这两个向量的坐标应满足什么关系？

【答案】 向量共线的充要条件是存在实数，使，用坐标表示为 即整理得，这就是说，向量共线的充要条件是。

【设计意图】通过探究，掌握共线向量的坐标之间的关系，提高学生分析问题、概括能力。

例2.已知

解：因为，解得。

例3：已知判断A，B，C三点之间的关系。

【设计意图】先让学生通过作图直观感受三点共线，再引导学生如果证明三点共线，只需要从共起点的向量入手，从而总结出三点共线问题等价于对应向量共线。同时需要说明只要所选两个向量由公共点即可。

【答案】解：猜想A，B，C三点共线。因为，

，又所以。又直线AB，直线AC有公共点A，所以，A，B，C三点共线。

【设计意图】通过例题练习共线向量的坐标运算，提高学生解决问题的能力。

例4.设点P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别为  ，

（1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；

（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。

【设计意图】通过例题进一步掌握向量加法、减法、数乘向量的坐标运算，提高学生的观察、概括能力。本题求解P点坐标方法不唯一，思路一：把P点坐标等价于向量坐标，再把作为基地，线性表示出，即，也就是基底表示法。

思路二：待定系数法先把设出来，然后把已知中点条件以向量的形式呈现出来，即，再将已知等量关系式用坐标表示出来，得到

从而得到进而求出P点坐标。

教师小结：若点P1，P2的坐标分别为， 线段P1P2的中点P的坐标为，

则。

（2）中教师要注意引导学生三等分点有两种情况，解题思路与（1）中中点坐标求解过程基本一致。求得P点坐标为或者

问题3探究：如图，线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别为

  ，点P是直线P1P2上的一点，当时，点P的坐标是什么？

【答案】

【设计意图】：探究是前面例题的一个拓展，把特殊问题一般化，我们可以借助于前面的解题思路求解一般情况下P点的坐标，从而让学生发现向量是一个非常好的解题工具，能够有效解决平面几何中线段和直线问题。

4：小结

在平面向量加减法坐标表示基础上进一步学习了数乘运算的坐标表示即；以及两个向量共线的充要条件，还有三点共线的充要条件。

【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

四：课后作业