河南省南阳市2019-2020学年高二下学期期中质量评估数学（理）试题 Word版含解析

2020年春期高中二年级期中质量评估

数学试题(理)

注意事项:

1．本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效．

2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．

4．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．

5．保持卷面清洁，不折叠、不破损．

第I卷 选择题

一、选择题

1.已知，为虚数单位，则的值为（    ）

A. -1 B. 0 C. 1 D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据复数的乘法和加减运算，即可求出结果.

【详解】.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了复数的运算，属于基础题.

2.下列值等于的是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用微积分基本定理逐个计算每个选项中的定积分，可得出正确选项.

【详解】由微积分基本定理可得，，

，，故选D.

【点睛】本题考查定积分的计算，解题的关键就是利用微积分基本定理进行计算，考查计算能力，属于基础题.

3.如图是函数的导函数的图像，则下面判断正确的是(  )

A. 在区间（-2,1）上是增函数

B. 在区间（1,3）上是减函数

C. 在区间（4,5）上是增函数

D. 当时，取极大值

【答案】C

【解析】

【分析】

利用导函数的正负来判断原函数的单调性,对选项逐一进行判断即得答案.

【详解】选项A, 区间（-2,1）导函数先是负后是正,所以原函数先减后增,A错误

选项B, 区间（1,3）导函数先是正后是负, 所以原函数先增后减,B错误

选项C, 区间（4,5）导函数恒大于0，原函数单调递增，C正确

选项D，当处，左边减右边增，取极小值，D错误

答案是C

【点睛】本题考查了导函数的正负和原函数单调性关系，以及极大值极小值的判断，考查同学们对于图像的理解和判断.

4.如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，(n=1、2、3、…)则在第n个图形中共有（    ）个顶点.

A. (n+1)(n+2) B. (n+2)(n+3) C.  D. n

【答案】B

【解析】

【分析】

分别由图形得到当,,,时顶点的个数,进而归纳推理即可

【详解】由图形可知,

当时顶点共有（个）；

当时,顶点共有（个）；

当时,顶点共有（个）；

当时,顶点共有（个）；

则归纳推理可得,第个图形,顶点共有个,

故选:B

【点睛】本题考查归纳推理,属于基础题

5.已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则 (    )．

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

解：因为根据已知函数的图像可知x=0,x=1，x=2是函数的零点，

∴f（1）=1+b+c=0，f（2）=8+4b+2c=0

解得b=-3，c=2

又由图可知，x1，x2为函数f（x）的两个极值点

∴f′（x）=3x2-6x+2=0的两个根为x1，x2，

∴x1+ x2=2，x1x2="2" 3∴x12+ x22=（x1+x2）2-2 x1x2=4-=

故选C

6.已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（ ）

A. 2 B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

试题分析：，，所以，解得，故选D.

考点：导数的计算

7.若等差数列的前项之和为，则一定有成立．若等比数列的前项之积为，类比等差数列的性质，则有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果，在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积．

【详解】在等差数列的前项之和为， 因为等差数列中的求和类比等比数列中的乘积， 所以各项均为正的等比数列的前项积.

故选：D．

【点睛】本题考查类比推理、等差和等比数列的类比，搞清等差和等比数列的联系和区别是解决本题的关键．

8.已知是函数就函数的极小值点，那么函数的极大值为（    ）

A. -2 B. 6 C. 17 D. 18

【答案】D

【解析】

【分析】

求出导数，由题意得，，解出，再由单调性，判断极大值点，求出即可．

【详解】函数的导数，

由题意得，，即，．

，，

令，得或；，得，

所以当时取极大值，即．

故选：D．

【点睛】本题考查导数的应用：求极值，同时考查运算能力，属于基础题．

9.由曲线y＝x2和曲线y围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分面积为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出曲线与的交点为,,则,求解即可

【详解】由题,曲线与的交点为,,

则

故选：A

【点睛】本题考查利用定积分求面积,考查微积分基本定理的应用

10.设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

求导，先求函数得单调递减区间，结合题意将原问题转化为子区间的问题，得到关于a的不等式组，求解不等式组即可求得实数a的取值范围.

【详解】，解不等式，得，

即函数的单调递减区间为，

又函数在区间上单调递减，

则，即且，解得，

所以实数的取值范围是.

故选C

【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：

(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；

(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

11.已知复数，，，满足，则点的轨迹是（    ）

A. 线段 B. 圆 C. 双曲线 D. 椭圆

【答案】D

【解析】

【分析】

根据复数模长的几何意义，结合椭圆的定义知，复数z对应的点在某一椭圆上．

【详解】复平面上，复数满足， 则对应的点到点，点的距离和为， 即， ∴复数对应的点在以为焦点，长轴长为的椭圆上．

故选：D．

【点睛】本题考查了复数的代数形式与模长几何意义应用问题，也考查了椭圆的定义应用问题，是基础题．

12.已知定义在上的函数，满足且，则函数的最大值为（    ）

A.  B. 0 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意构造函数，可解得，利用导数判断函数单调性，求得最大值即可．

【详解】，令，则，

， ，，

当时，，当 时，，

∴当时， ．

故选：A．

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，解题的关键是构造函数，逻辑性较强，属于中档题．

第II卷非选择题

二、填空题

13.设为纯虚数(为虚数单位),则________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据纯虚数定义,即可求得答案.

【详解】,为纯虚数

即实部为,虚部不为

解得:

故答案为:.

【点睛】本题主要考查了根据复数类型求参数,解题关键是掌握纯虚数定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.

14.已知函数，则________．

【答案】6.

【解析】

【分析】

令，利用导数的乘法运算法则可得，将代入计算，即可求出结果．

【详解】令，所以，所以，

所以.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查导数的乘法运算法则的应用，属于基础题．

15.定义在上的函数，满足，且对任意都有，则不等式的解集为________．

【答案】.

【解析】

【分析】

设，由于，得到小于，得到为减函数，将所求不等式变形后，利用为减函数求出的范围，即为所求不等式的解集．

【详解】设，

，， ∴为减函数，

又，所以

即，

又

∴

∴．

又为底数是10的增函数，

∴，故不等式的解集为.

 故答案为：．

【点睛】此题考查了其他不等式的解法，涉及的知识有：利用导数研究函数的增减性，对数函数的单调性及特殊点，以及对数的运算性质，是一道综合性较强的试题．

16.分形几何学是数学家伯努瓦．曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图．若记图(2)中第行黑圈的个数为，则________．

【答案】(364也对）.

【解析】

【分析】

根据图甲所示的分形规律，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，根据第三行的数据可求出第四行的“坐标”；再根据前五行的白圈数乘以2，分别是，即，可归纳第行的白圈数，黑圈数，即可得出结论．

【详解】根据图甲所示的分形规律，个白圈分形为个白圈1个黑圈，个黑圈分形为个白圈个黑圈，第一行记为，第二行记为，第三行记为，第四行的白圈数为；黑圈数为，第四行的“坐标”为； 第五行的“坐标”为，各行白圈数乘以，分别是，即，

∴第行的白圈数为 ，黑圈数为，

所以，即.

故答案为：（）

【点睛】本题考查了归纳推理的应用，多观察几组数据是发现规律的有效方法，根据归纳推理得出一般规律．

三、解答题

17.设均为正数，且．

证明：（1）；

（2）

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）将不等式相加得出 ，再将 两边平方，即可得出结论；

（2）对 两边平方，可得；又因为， ，，可证，即可证明结果.

【详解】(1)由（当且仅当时取“”），（当且仅当时取“”），（当且仅当时取“”）

所以．

由题设得，

即，

所以，即（当且仅当时取“”）.

(2)因为，

所以，

因为， ，，

所以，

所以，即（当且仅当时取“”）．

【点睛】本题考查了不等式的证明，基本不等式的应用，属于中档题．

18.已知函数

（1）求函数的极值;

（2）设，求函数在区间上最大值．

【答案】（1）有极大值，无极小值；（2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用导函数的符号求解函数的单调区间即可．

（2）结合（1）通过与的大小讨论函数的单调性求解函数的最大值．

【详解】(1)因为函数的定义域为，且，

由得；

由 得

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

所以，有极大值，无极小值；

(2)①当，即，函数在区间上单调递增，

所以

②当，即时，函数在区间上单调递增，在上单调递减，

所以

③当时，函数在区间上单调递减，

所以

综上所述，当时，

当时，；

当时，

【点睛】本题考查函数与导数的应用，函数的最值以及转化思想的应用，是中档题．

19.用数学归纳法证明：，为虚数单位，，，且．

【答案】见解析.

【解析】

【分析】

利用数学归纳法即可证明，注意三角函数两角和差公式的应用．

【详解】(1)当时，

所以，时，等式成立；

(2)假设当时，等式成立，即

那么，当时，

所以：当时，等式也成立.

综上可知，要证明的等式，当时成立.

【点睛】本题考查了数学归纳法、复数的运算法则、模的计算公式、和差公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

20.某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转而成，如图2.已知圆O的半径为，设，，圆锥的侧面积为（S圆锥的侧面积（R-底面圆半径，I-母线长））

（1）求S关于的函数关系式；

（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥侧面积S最大.求S取得最大值时腰的长度

【答案】（1），（）；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据题意，设交于点，过作，垂足为，分析可得，，由圆锥的侧面积公式可得的表达式，即可得答案；

（2）由（1）可得的表达式可得，设，，求导求出其在区间上的最大值，求出的值，即可得当，即时，侧面积取得最大值，计算即可得答案．

【详解】解：（1）根据题意，设交于点D，过O作，垂足为E，

在中，，，

在中，，

所以，（）.

（2）由（1）得：，

设，（），

则，令，可得，

当时，，函数在区间上单调递增，

当时，，函数在区间上单调递减，

所以在时取得极大值，也是最大值；

所以当，即时，侧面积S取得最大值，

此时等腰三角形的腰长；

答：侧面积S取得最大值时，等腰三角形的腰的长度为.

【点睛】本题考查导数的实际应用，利用导数求函数的单调性、极值和最值，还涉及圆锥的侧面积公式和三角函数的恒等变形，关键是求出的表达式．

21.已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）证明：当时，．

【答案】（1）切线方程是（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程．

（2）当时，,令，只需证明即可．

【详解】（1），．

因此曲线在点处的切线方程是．

（2）当时，．

令，则，

当时，，单调递减；当时，，单调递增；

所以 ．因此．

【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，由导数的几何意义可求出切线方程，第二问构造很关键，本题有难度．

22.已知函数

（1）当时，求函数的最大值；

（2）当时，判断函数的零点个数．

【答案】（1）0；（2）2.

【解析】

【分析】

（1）利用导数，求得函数的单调性，进而求得最值；（2）先通过导数研究函数的单调性，求出极值，再根据零点存在性定理，即可求出零点个数．

【详解】

当时，

当时，

所以

根据题意

令，解得，或

因为，所以，且

所以当时，

当时，

所以在上单调递增，在上单调递减

因为，所以在上有且只有个零点

又在上单调递减，所以

当时，，，所以，

又函数在上单调递增

所以

故当时，函数有个零点

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值以及最值，同时考查函数的零点个数判断方法，意在考查学生分类讨论思想意识和数学运算能力．