2020-2021学年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高一下学期期中联考数学试题（解析版）

这是一份2020-2021学年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高一下学期期中联考数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高一下学期期中联考数学试题一、单选题1．设复数z满足（i为虚数单位），则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数的除法运算法则即可即可.【详解】，.故选：D.2．下列说法正确的是（    ）A．直四棱柱是长方体B．两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形D．平行六面体不是棱柱【答案】C【分析】根据棱柱、棱锥、棱台的定义判断．【详解】直四棱柱的底面不一定是长方形，因此不一定是长方体，A错；两个平面平行，其余各面是梯形的多面体，当侧棱延长后不交于同一点时，就不是棱台，B错；正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，C正确；平行六面体一定是棱柱，D错．故选：C．3．如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中①、④处于正方体的两个相对面的是（    ）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）【答案】B【分析】分别判断出每个展开图的相对面即可.【详解】（1）①⑤相对，②④相对，③⑥相对，故（1）错误；（2）①④相对，②⑤相对，③⑥相对，故（2）正确；（3）①④相对，②⑤相对，③⑥相对，故（3）正确；（4）①⑥相对，②⑤相对，③④相对，故（4）错误.故选：B.4．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状可能（    ）A．锐角三角形 B．钝角三角形C．钝角或锐角三角形 D．锐角、钝角或直角【答案】B【分析】根据大边对大角的性质确定的范围后可得的范围，从而判断出三角形形状．【详解】因为，所以，所以，三角形为钝角三角形．故选：B．5．已知向量满足，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据条件求出和的值，然后根据向量的夹角公式来求与的夹角.【详解】因为，所以，所以，所以，即，所以，又因为，所以，即.故选：A.6．已知复数z满足，则（i为虚数单位）的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】设对应的点为，求出，由复数模的几何意义得的轨迹，根据圆的性质可得最值．得范围【详解】因为，所以对应的点在以原点为圆心，2，3为半径的圆环内，如图，记对应的点为，则，，，由图可得：，，所以的取值范围是．故选：D．7．已知点P是边长为1的菱形内一动点（包括边界），，则的最大值为（    ）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根据题意，利用平面向量数量积的几何意义即可求解.【详解】解：在菱形中，因为边长为1，，所以，且，如图，过P作PQ垂直于AB于Q，过C作CE垂直于AB于E，因为点P是边长为1的菱形内一动点（包括边界），所以由平面向量数量积的几何意义，有,所以当点P在C点处时最大为，即最大，此时，所以的最大值为，故选：B.8．已知向量的夹角为，，向量，且，则向量夹角的余弦值的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】依题意可得，，令，则，通过换元可得，所以，当时，可得的 最小值.【详解】依题意可得，，则，，，则，所以，，令，则，令，由得，则，所以，故所以，当时，有最小值.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键点是：令，通过换元得到.二、多选题9．已知函数，则（    ）A．是偶函数 B．值域为C．在上递增 D．有一个零点【答案】BD【分析】画出的函数图象即可判断.【详解】画出的函数图象如下：由图可知，既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；值域为，故B正确；在单调递减，在单调递增，故C错误；有一个零点1，故D正确.故选：BD.10．已知圆锥底面半径为3，高为4，则（    ）A．圆锥的体积是B．圆锥的侧面积是C．圆锥的内切球体积是D．圆锥侧面展开图扇形的圆心角为【答案】BD【分析】根据圆锥的性质求解．【详解】由题意圆锥体积为，A错；圆锥母线长为，侧面积为，B正确；设圆锥内切球半径为，如图是圆锥轴截面，则其内切圆为球的大圆，则，，，C错；圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，D正确．故选：BD．【点睛】思路点睛：圆柱、圆锥、圆台的计算问题，掌握画出它们的轴截面，在轴截面中有底面圆半径，高，母线，有侧棱与底面所成的角．这个轴截面截它们的内切球得轴截面的内切圆，截外接球得轴截面的外接圆，这样关系一目了然，偏于计算．11．中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，下列选项正确的是（    ）A．B．若，则有两解C．若为锐角三角形，则b取值范围是D．若D为边上的中点，则的最大值为【答案】BCD【分析】由数量积的定义及面积公式求得角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC选项，利用，平方后应用基本不等式求得最大值，判断D．【详解】因为，所以，，又，所以，A错；若，则，三角形有两解，B正确；若为锐角三角形，则，，所以，，，，C正确；若D为边上的中点，则，，又，，由基本不等式得，，当且仅当时等号成立，所以，所以，当且仅当时等号成立，D正确．故选：BCD．【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的应用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是解题关键．在用正弦定理解三角形时可能会出现两解的情形，实际上不一定要死记结论，可以按正常情况求得，然后根据的大小关系判断角是否有两种情况即可．12．已知等腰中，P为内部及边上的点，则的值可能是（    ）A． B． C．24 D．16【答案】ACD【分析】以为轴，的中垂线为轴建立如图所示的直角坐标系，设，用坐标表示出，然后结合几何意义可得其最大值、最小值，得出正确选项．【详解】如图，以为轴，的中垂线为轴建立如图所示的直角坐标系，显然在轴上，由，得，设，则，，因为为内部及边上的点，所以时，取得最小值，时，取得最大值24（内部及边上到点距离最大），故选：ACD．【点睛】方法点睛：本题考查平面向量的数量积的最值问题，解题方法解析法，即建立平面直角坐标系，用坐标运算表示向量的数量积，把数量积转换为平方式，再由其几何意义得最值．三、填空题13．已知函数，则________．【答案】．【分析】由分段函数定义计算．【详解】，．故答案为：．14．如图，是水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）．若，则原的面积是_________．【答案】【分析】由题可得，则可得原图中，，即可求出面积.【详解】在直观图中，，则，则原图中，，且，则的面积是,故答案为：.15．已知向量满足若对任意实数x都有，则的最小值为_________．【答案】【分析】将对任意实数x都有成立，转化为对任意实数x都有 成立，利用判别式法求得，再由，利用二次函数法求解.【详解】因为对任意实数x都有成立，所以对任意实数x都有成立，因为，即对任意实数x都有 成立，所以 ，即，解得，所以，，，当时，取得最小值.故答案为：16．已知的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A为________．【答案】【分析】由的重心为G，可得，再代入已知的等式中可得，而不共线，则，且，即，然后利用余弦定理可求得结果【详解】解：因为的重心为G，所以，即，因为，所以，因为不共线，所以，且，所以，所以，因为，所以，故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查平面向量的有关知识，考查余弦定理的应用，解题的关键是由由的重心为G，可得，再结合已知条件可求得，从而利用余弦定理可得结果，考查计算能力，属于中档题四、解答题17．已知复数，i为虚数单位．（1）当z是纯虚数时，求m的值；（2）当时，求．【答案】（1）0；（2）．【分析】（1）根据复数有分类求解；（2）由复数的除法法则计算．【详解】（1）由题意，解得；（2）由题意．18．已知单位向量的夹角为，向量，向量．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据向量平行的条件求解；（2）由向量垂直得数量积为0求得，再把向量平方，把模的运算转化为数量积的运算求解．【详解】（1）若，则存在实数，使得，即，因为不共线，所以，解得；（2）单位向量的夹角为，则，由得，解得，，所以．19．如图长方体，底面是边长为3的正方形，高为4，E为的中点．（1）求长方体的表面积和它的外接球的表面积；（2）求三棱锥和长方体的体积之比．【答案】（1）长方体的表面积为66，它的外接球的表面积为；（2）【分析】（1）根据长方体的表面积公式直接求解即可，求出外接球半径，即可求出外接球表面积；（2）求出长方体体积，根据等体积法求出三棱锥的体积，即可求出体积之比.【详解】（1）由题可得该长方体的表面积为，该长方体的外接球的半径为，则外接球的表面积为；（3）长方体的体积为，，则三棱锥和长方体的体积之比为.20．某市需拍卖一块近似圆形的土地（如图），内接于圆的平面四边形作为建筑用地，周边需做绿化．因地面限制，只能测量出，测角仪测得角．（1）求的长；（2）因地理条件限制，不能变更，但点C可以调整．建筑商为利益最大化，要求在弧上设计一点C使得四边形面积最大，求四边形面积的最大值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）在中利用余弦定理即可求出；（2）在中利用余弦定理结合基本不等式可得，即可求出，进而求出四边形面积的最大值.【详解】（1）由题意可得，在中，由余弦定理可得：，，故的长为；（2）在中，，则由余弦定理可得，则，当且仅当等号成立，，则，故四边形面积的最大值为.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是正确利用余弦定理结合基本不等式求解三角形.21．如图，M，N分别是的边上的点，且，交于点P．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用向量的线性运算可求的值，从而得到的值；（2）设，可根据平面向量基本定理求出，再以为基底向量可求的值.【详解】（1）因为，故，故，所以，故.（2）设，连接，故，整理得到，同理，因为不共线，由平面向量基本定理可得 ，解得 ，所以，故.【点睛】思路点睛：向量的数量积的计算，有四种途径：（1）利用定义求解，此时需要知道向量的模和向量的夹角；（2）利用坐标来求，把数量积的计算归结坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；（3）利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算；（4）靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量的数量积转化到题设中的角或边对应的向量．22．已知向量．令函数．（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的角平分线交于D．其中，函数恰好为函数的最大值，且此时，求的最小值．【答案】（1）的最小正周期为，单调递增区间为；（2）【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简可得，即可求出最小正周期，令可解出单调递增区间；（2）可得，解得，再根据正弦定理解得，进而表示出，利用基本不等式可求解.【详解】（1），，则的最小正周期为，令，解得，故的单调递增区间为；（2）由恰好为函数的最大值可得，即，，则可解得，则，在中，由，可得，在中，由，可得，，在中，，则可得，，则，，，当且仅当等号成立，故的最小值为.【点睛】关键点睛：本题考查平面向量、三角函数的性质、解三角形的综合应用，解题的关键是利用三角恒等变换化简，利用正弦定理表示得出.