高考专题1 第2讲基本初等函数、函数与方程（教师版）

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考点一基本初等函数的图象与性质
1．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分01两种情况，着重关注两函数图象的异同．
2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，eq \f(1,2)，－1五种情况．
【热点突破】
【典例】1 (1)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|A．有最小值－1，最大值1
B．有最大值1，无最小值
C．有最小值－1，无最大值
D．有最大值－1，无最小值
【答案】 C
【解析】画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|(2)已知函数f(x)＝ex＋2(x<0)与g(x)＝ln(x＋a)＋2的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,e))) B．(－∞，e)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,e)，e)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－e，\f(1,e)))
【答案】 B
【解析】由题意知，方程f(－x)－g(x)＝0在(0，＋∞)上有解，
即e－x＋2－ln(x＋a)－2＝0在(0，＋∞)上有解，
即函数y＝e－x与y＝ln(x＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点．
函数y＝ln(x＋a)可以看作由y＝ln x左右平移得到，
当a＝0时，两函数有交点，
当a<0时，向右平移，两函数总有交点，
当a>0时，向左平移，由图可知，将函数y＝ln x的图象向左平移到过点(0,1)时，两函数的图象在(0，＋∞)上不再有交点，
把(0,1)代入y＝ln(x＋a)，得1＝ln a，即a＝e，∴a【方法总结】 (1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和01时，两函数在定义域内都为增函数；当0(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．
【拓展训练】1 (1)函数f(x)＝ln(x2＋2)－ex－1的大致图象可能是( )
【答案】 A
【解析】当x→＋∞时，f(x)→－∞，故排除D；函数f(x)的定义域为R，且在R上连续，故排除B；f(0)＝ln 2－e－1，由于ln 2>ln eq \r(e)＝eq \f(1,2)，e－10，故排除C.
(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－eq \f(1,2)的解集是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
【答案】 A
【解析】当x>0时，f(x)＝1－2－x>0.
又f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(x)<－eq \f(1,2)的解集和f(x)>eq \f(1,2)的解集关于原点对称，由1－2－x>eq \f(1,2)得2－x即x>1，则f(x)<－eq \f(1,2)的解集是(－∞，－1)．故选A.
【要点提炼】
考点二函数的零点
判断函数零点个数的方法：
(1)利用零点存在性定理判断法．
(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．
考向1 函数零点的判断
【典例】2 (1)(2020·长沙调研)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xex，x≤0，,2－|x－1|，x>0，))若函数g(x)＝f(x)－m有两个不同的零点x1，x2，则x1＋x2等于( )
A．2 B．2或2＋eq \f(1,e)
C．2或3 D．2或3或2＋eq \f(1,e)
【答案】 D
【解析】当x≤0时，
f′(x)＝(x＋1)ex，
当x<－1时，f′(x)<0，
故f(x)在(－∞，－1)上单调递减，
当－10，
故f(x)在(－1,0]上单调递增，
所以x≤0时，f(x)的最小值为f(－1)＝－eq \f(1,e).
又当x≥1时，f(x)＝3－x，当0作出f(x)的图象，如图所示．因为g(x)＝f(x)－m有两个不同的零点，所以方程f(x)＝m有两个不同的根，等价于直线y＝m与f(x)的图象有两个不同的交点，且交点的横坐标分别为x1，x2，
由图可知1若1若m＝0，则x1＋x2＝3；
若m＝－eq \f(1,e)，则x1＋x2＝－1＋3＋eq \f(1,e)＝2＋eq \f(1,e).
(2)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2,0]时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))x－1，则关于x的方程f(x)－lg8(x＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】 C
【解析】对于任意的x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，
∴f(x＋4)＝f[2＋(x＋2)]＝f[2－(x＋2)]＝f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)是一个周期函数，且T＝4.
又∵当x∈[－2,0]时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))x－1，且函数f(x)是定义在R上的偶函数，
且f(6)＝1，则函数y＝f(x)与y＝lg8(x＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示，
根据图象可得y＝f(x)与y＝lg8(x＋2)在区间(－2,6)上有3个不同的交点，即f(x)－lg8(x＋2)＝0在区间(－2,6)上有3个根．
【特点突破】
考向2 求参数的值或取值范围
【典例】3 (1)已知关于x的方程9－|x－2|－4·3－|x－2|－a＝0有实数根，则实数a的取值范围是________．
【答案】 [－3,0)
【解析】设t＝3－|x－2|(0由题意知a＝t2－4t在(0,1]上有解，
又t2－4t＝(t－2)2－4(0∴－3≤t2－4t<0，
∴实数a的取值范围是[－3,0)．
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3，x>a，,x2＋6x＋3，x≤a，))若函数g(x)＝f(x)－2x恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围为____________________．
【答案】 [－3，－1)∪[3，＋∞)
【解析】由题意得g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3－2x，x>a，,x2＋6x＋3－2x，x≤a，))
即g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x，x>a，,x2＋4x＋3，x≤a，))
如图所示，
因为g(x)恰有两个不同的零点，
即g(x)的图象与x轴有两个交点．
若当x≤a时，g(x)＝x2＋4x＋3有两个零点，
则令x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1，
则当x>a时，g(x)＝3－x没有零点，所以a≥3.
若当x≤a时，g(x)＝x2＋4x＋3有一个零点，
则当x>a时，g(x)＝3－x必有一个零点，
即－3≤a<－1，
综上所述，a∈[－3，－1)∪[3，＋∞)．
【方法总结】利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
【拓展训练】2 (1)已知偶函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x)＝x2－3x(x≥0)，若函数g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,－\f(1,x)，x<0，))则y＝f(x)－g(x)的零点个数为( )
A．1 B．3 C．2 D．4
【答案】 B
【解析】作出函数f(x)与g(x)的图象如图，由图象可知两个函数有3个不同的交点，所以函数y＝f(x)－g(x)有3个零点．
(2)(多选)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2a，x<0，,x2－ax，x≥0，))若关于x的方程f(f(x))＝0有8个不同的实根，则a的值可能为( )
A．－6 B．8 C．9 D．12
【答案】 CD
【解析】当a≤0时，f(x)仅有一个零点x＝0，故f(f(x))＝0有8个不同的实根不可能成立．当a>0时，f(x)的图象如图所示，
当f(f(x))＝0时，f1(x)＝－2a，f2(x)＝0，f3(x)＝a.又f(f(x))＝0有8个不同的实根，故f1(x)＝
－2a有三个根，f2(x)＝0有三个根，f3(x)＝a有两个根，又x2－ax＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,2)))2－eq \f(a2,4)，所以－2a>－eq \f(a2,4)且a<2a，解得a>8且a>0，综上可知，a>8.
专题训练
一、单项选择题
1．(2020·全国Ⅰ)设alg34＝2，则4－a等于( )
A.eq \f(1,16) B.eq \f(1,9) C.eq \f(1,8) D.eq \f(1,6)
【答案】 B
【解析】方法一因为alg34＝2，
所以lg34a＝2，
所以4a＝32＝9，
所以4－a＝eq \f(1,4a)＝eq \f(1,9).
方法二因为alg34＝2，
所以a＝eq \f(2,lg34)＝2lg43＝lg432＝lg49，
所以4－a＝＝＝9－1＝eq \f(1,9).
2．函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点一定位于区间( )
A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)
【答案】 B
【解析】函数f(x)＝ln x＋2x－6在其定义域上连续且单调，
f(2)＝ln 2＋2×2－6＝ln 2－2<0，
f(3)＝ln 3＋2×3－6＝ln 3>0，
故函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点在区间(2,3)上．
3．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax和g(x)＝lga(x＋2)(a>0且a≠1)的大致图象可能为( )
【答案】 A
【解析】由题意知，当a>0时，函数f(x)＝2－ax为减函数．若01，则函数f(x)＝2－ax的零点x0＝eq \f(2,a)∈(0,2)，且函数g(x)＝lga(x＋2)在(－2，＋∞)上为增函数．故A正确．
4．(2020·广东省揭阳三中模拟)已知a，b，c满足4a＝6，b＝，c3＝eq \f(3,5)，则( )
A．aC．c【答案】 B
【解析】 4a＝6>4，a>1，b＝＝－2，c3＝eq \f(3,5)<1,0c>b.
5．(2020·全国Ⅲ)Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病典例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：I(t)＝eq \f(K,1＋e－0.23t－53)，其中K为最大确诊病典例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)( )
A．60 B．63 C．66 D．69
【答案】 C
【解析】因为I(t)＝eq \f(K,1＋e－0.23t－53)，
所以当I(t*)＝0.95K时，＝0.95K，
即＝0.95，
即1＋＝eq \f(1,0.95)，
即＝eq \f(1,0.95)－1，
∴＝19，
∴0.23(t*－53)＝ln 19，
∴t*＝eq \f(ln 19,0.23)＋53≈eq \f(3,0.23)＋53≈66.
6．(2020·泉州模拟)若函数y＝lga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是( )
A．1C．0【答案】 A
【解析】令u(x)＝x2－ax＋1，函数y＝lga(x2－ax＋1)有最小值，∴a>1，且u(x)min>0，∴Δ＝a2－4<0，
∴17．(2020·太原质检)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex，x>0，,－2x2＋4x＋1，x≤0))
(e为自然对数的底数)，若函数g(x)＝f(x)＋kx恰好有两个零点，则实数k等于( )
A．－2e B．e C．－e D．2e
【答案】 C
【解析】 g(x)＝f(x)＋kx＝0，即f(x)＝－kx，如图所示，画出函数y＝f(x)和y＝－kx的图象，
－2x2＋4x＋1＝－kx，
即2x2－(4＋k)x－1＝0，
设方程的两根为x1，x2，
则Δ＝(4＋k)2＋8>0，且x1x2＝－eq \f(1,2)，
故g(x)在x<0时有且仅有一个零点，
y＝－kx与y＝f(x)在x>0时相切．
当x>0时，设切点为(x0，－kx0)，f(x)＝ex，
f′(x)＝ex，f′(x0)＝＝－k，＝－kx0，
解得x0＝1，k＝－e.
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，x＝0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))|x|＋1，x≠0，))若关于x的方程2f2(x)－(2a＋3)f(x)＋3a＝0有五个不同的解，则a的取值范围是( )
A．(1,2) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))
【答案】 D
【解析】作出f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))|x|＋1，x≠0的图象如图所示．
设t＝f(x)，则原方程化为2t2－(2a＋3)t＋3a＝0，
解得t1＝a，t2＝eq \f(3,2).
由图象可知，若关于x的方程2f2(x)－(2a＋3)f(x)＋3a＝0有五个不同的实数解，只有当直线y＝a与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点时才满足条件，
所以1又方程2t2－(2a＋3)t＋3a＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝(2a＋3)2－4×2×3a＝(2a－3)2>0，
解得a≠eq \f(3,2)，综上，得1二、多项选择题
9．(2020·临沂模拟)若10a＝4,10b＝25，则( )
A．a＋b＝2 B．b－a＝1
C．ab>8lg22 D．b－a>lg 6
【答案】 ACD
【解析】由10a＝4,10b＝25，得a＝lg 4，b＝lg 25，则a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，故A正确；b－a＝lg 25－lg 4＝lg eq \f(25,4)>lg 6且lg eq \f(25,4)<1，故B错误，D正确；ab＝lg 4·lg 25＝4lg 2·lg 5>
4lg 2·lg 4＝8lg22，故C正确．
10．已知函数f(x)＝lga(x＋1)，g(x)＝lga(1－x)，a>0，a≠1，则( )
A．函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1,1)
B．函数f(x)＋g(x)的图象关于y轴对称
C．函数f(x)＋g(x)在定义域上有最小值0
D．函数f(x)－g(x)在区间(0,1)上是减函数
【答案】 AB
【解析】 ∵f(x)＝lga(x＋1)，g(x)＝lga(1－x)，a>0，a≠1，∴f(x)＋g(x)＝lga(x＋1)＋lga(1－x)，由x＋1>0且1－x>0得－11时，函数f(x)＋g(x)在[0,1)上单调递减，无最小值，故C错；∵f(x)－g(x)＝lga(x＋1)－lga(1－x)，当01时，f(x)＝lga(x＋1)在(0,1)上单调递增，g(x)＝lga(1－x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)－g(x)在(0,1)上单调递增，故D错．
11．(2020·淄博模拟)已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，对于任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立．当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－1.给出下列结论，其中正确的是( )
A．f(2)＝0
B．点(4,0)是函数y＝f(x)图象的一个对称中心
C．函数y＝f(x)在区间[－6，－2]上单调递增
D．函数y＝f(x)在区间[－6,6]上有3个零点
【答案】 AB
【解析】对于A，因为f(x)为奇函数且对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，令x＝－2，则f(2)＝f(－2)＋f(2)＝0，故A正确；对于B，由A知，f(2)＝0，则f(x＋4)＝f(x)，则4为f(x)的一个周期，因为f(x)的图象关于原点(0,0)成中心对称，则(4,0)是函数f(x)图象的一个对称中心，故B正确；对于C，因为f(－6)＝0，f(－5)＝f(－5＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，－6<－5，而f(－6)>f(－5)，所以f(x)在区间[－6，－2]上不是单调递增的，故C错误；对于D，因为f(0)＝0，f(2)＝0，所以f(－2)＝0，又4为f(x)的一个周期，所以f(4)＝0，f(6)＝0，f(－4)＝0，
f(－6)＝0，所以函数y＝f(x)在区间[－6,6]上有7个零点，故D错误．
12．对于函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin πx，x∈[0，2]，,\f(1,2)fx－2，x∈2，＋∞，))则下列结论正确的是( )
A．任取x1，x2∈[2，＋∞)，都有|f(x1)－f(x2)|≤1
B．函数y＝f(x)在[4,5]上单调递增
C．函数y＝f(x)－ln(x－1)有3个零点
D．若关于x的方程f(x)＝m(m<0)恰有3个不同的实根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝eq \f(13,2)
【答案】 ACD
【解析】 f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin πx，x∈[0，2]，,\f(1,2)fx－2，x∈2，＋∞))的图象如图所示，
当x∈[2，＋∞)时，f(x)的最大值为eq \f(1,2)，最小值为－eq \f(1,2)，∴任取x1，x2∈[2，＋∞ )，都有|f(x1)－f(x2)|≤ 1恒成立，故A正确；函数y＝f(x)在[4,5]上的单调性和在[0,1]上的单调性相同，则函数y＝f(x)在[4,5]上不单调，故B错误；作出y＝ln(x－1)的图象，结合图象，易知y＝ln(x－1)的图象与f(x)的图象有3个交点，∴函数y＝f(x)－ln(x－1)有3个零点，故C正确；若关于x的方程f(x)＝m(m<0)恰有3个不同的实根x1，x2，x3，不妨设x1三、填空题
13．(2019·全国Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax.若f(ln 2)＝8，则a＝________.
【答案】－3
【解析】当x>0时，－x<0，f(－x)＝－e－ax.因为函数f(x)为奇函数，所以当x>0时，f(x)＝
－f(－x)＝e－ax，所以f(ln 2)＝e－aln 2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a＝8，所以a＝－3.
14．已知函数f(x)＝|lg x|，若f(a)＝f(b)(a≠b)，则函数g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2\r(2)x＋5，x≤0，,\f(ax2＋2b,x)，x>0))的最小值为________．
【答案】 2eq \r(2)
【解析】因为|lg a|＝|lg b|，所以不妨令a则有－lg a＝lg b，所以ab＝1，b＝eq \f(1,a)(0所以g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\r(2)2＋3，x≤0，,ax＋\f(2,ax)，x>0，))
当x≤0时，g(x)＝(x＋eq \r(2))2＋3≥3，取等号时x＝－eq \r(2)；
当x>0时，g(x)＝ax＋eq \f(2,ax)≥2eq \r(ax·\f(2,ax))＝2eq \r(2)，
当且仅当x＝eq \f(\r(2),a)时，等号成立，
综上可知，g(x)min＝2eq \r(2).
15．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(2x,x＋1)，x∈[0，1，,1－|x－3|，x∈[1，＋∞，))则函数F(x)＝f(x)－eq \f(1,π)的所有零点之和为________．
【答案】 eq \f(1,1－2π)
【解析】由题意知，当x<0时，
f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(2x,1－x)，x∈－1，0，,|x＋3|－1，x∈－∞，－1]，))作出函数f(x)的图象如图所示，
设函数y＝f(x)的图象与y＝eq \f(1,π)交点的横坐标从左到右依次为x1，x2，x3，x4，x5，由图象的对称性可知，x1＋x2＝－6，x4＋x5＝6，x1＋x2＋x4＋x5＝0，令－eq \f(2x,1－x)＝eq \f(1,π)，解得x3＝eq \f(1,1－2π)，所以函数F(x)＝f(x)－eq \f(1,π)的所有零点之和为eq \f(1,1－2π).
16．对于函数f(x)与g(x)，若存在λ∈{x∈R|f(x)＝0}，μ∈{x∈R|g(x)＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f(x)与g(x)互为“零点密切函数”，现已知函数f(x)＝ex－2＋x－3与g(x)＝x2－ax－x＋4互为“零点密切函数”，则实数a的取值范围是________．
【答案】 [3,4]
【解析】由题意知，函数f(x)的零点为x＝2，
设g(x)的零点为μ，满足|2－μ|≤1，
因为|2－μ|≤1，所以1≤μ≤3.
方法一因为函数g(x)的图象开口向上，
所以要使g(x)的至少一个零点落在区间[1,3]上，
则需满足g(1)g(3)≤0，或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(g1>0，,g3>0，,Δ≥0，,1<\f(a＋1,2)<3，))
解得eq \f(10,3)≤a≤4，或3≤a故实数a的取值范围为[3,4]．
方法二因为g(μ)＝μ2－aμ－μ＋4＝0，
a＝eq \f(μ2－μ＋4,μ)＝μ＋eq \f(4,μ)－1，
因为1≤μ≤3，所以3≤a≤4.
故实数a的取值范围为[3,4]．